Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002, страница 2

139 ! 1.2. Канторовы кривые. Ковер Серпинского................................... 141 11.3. Урысоновское определение линии............................................ 142 Глава 12. Хаусдорфова мера и размерность...................................... 143 12.1. Хаусдорфова мера. .. 143 12.2. Хаусдорфова размерность. . 146 12.2.1. Открытые множества.. .

147 12.2.2. Гладкие множества. .. !48 12.2.3. Монотонность.... .. 148 12.2.4. Счетная устойчивость. . 149 12.2.5. Счетные множества... .. !49 12.3. Вычисление хаусдорфовой размерности — простые примеры. 151 12.4. О других размерностях.. . 155 12.4.1. Предельная емкость. Фрактатьная размерность....,...... 155 12.4.2. Инвариантиая мера. .. 156 12.4.3. Поточсчная размерность....„...............................,.......,. 157 Список литературы...

.. 158 Введение В прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, для которых могут быть применены методы классических вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладкими или регулярнымич часто игнорировались как «иатологичвские» н не стоящие изучения. В последние годы отношение к негладким функциям (или нерегулярным множествам) изменилось, пбо нерегулярные функции [множества) обеспечивают значительно лучшее представление многих природных явлений, чем тс. которые дают объекты классической геометрии. Фрактальная геометрия связана с изучением таких нерегулярных множеств [21. Основной объект фрактальной геометрии — фракталы —.

находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алгоритмах сжатия информации. Столь популярные ныне фрактальные обьскты — порождение нашего компьютерного мира, н их сфера применения еще до конца не раскрыта. В последние 20 лет фракталы стали очень популярны. Большую роль в этом сыграла книга франко-американского математика Бенуа Мандельброта «Фрактальная вванечрия природы» [1].

Что жс такое фрактал? В настоящее время нет однозначного определения «грракаала». Следуя Лаверье [31, г))рактал — это геометрическая фигура, в которой один н тот же фрагмент повторяется прн каждом уменьшении масштаба. Фракталы, обладающие этим свойством и получаюпгиеся в результате простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных преобразований), будем называть конструннщвныти фрактавами. 'Гаким образом, нонсарунтивный франтсп — это множество, получающееся в результате линейных (аффинных) сжимающих отобразкений подобия.

Результирующее сжимающее отображение обладает устойчивой неподвижной «точкой» вЂ” фракталом. Введение в теорию фракталов Наряду с конструктивными фракталами были обнаружены множества, которые похояги на фракталы. Как правило, подобные множества возникают в нелинейных динамических системах и. в первую очередь, в дискретных динамических системах. Их построение не так просто, как в случае конструктивных фракталов, и они могут обладать масштабной инвариантностью лишь приближенно. Подобные множества будем назьгвать диназщческции фрактачаии.

В связи с этим Мандельброт ввел дру~ое определение фрактала. гйрактгьз — это такое множество, которое имеет хаусдорфову (или фрактальную) размерность, большую топологической. Естественно, это определение требует уточнения, и мы сделаем это ниже. В первом определении слово кфрактсит — это от латинского «фас!их», означающее изломанный.

Во втором определении оно связано с английским к7гасГГанаЬ вЂ” дробный. В последние годы появилось большое число книг (в основном, на Западе), посвященных фракталам (сьь, например, 11-3, 7,15-181). В этих книгах приводятся фракталы, получснньгс с помощью компьютера. И эти фрактальные картины впечатляют. В связи с этим, говоря о фракталах, довольно часто используют термины: ккамльютсрнос искусство»з ихудааюестненный дгмайп», чэстнтический хаосах На рпс.

0.1 приведен динамический фрактал Мандельброта — это граница черной области. Примером конструктивного фрактала может служить дерево, ствол которого разделен на две более мелкис ветви. В свою очередь, каждая из этих ветвей разделяется на две более мелкис ветви и т. д. В уме мы можем проделать эту процедуру бесчисленное число раз и получить древовидный фрактал с бесконечным числом ветвей. Каждую отдельную ветвь можно, в свою очередь, рассматривать как отдельное дерево.

Эта конструкция имеет сходство с двоичной системой счисления. Другой пример фрактала — это множество Кантора. Это не только один из самых старых фрактшюв, он является так же существенной частью многих современных фракталов, например, таких, как кривые Коха и Минковского. Введение Одним из первых описал динамические фракталы в 1918 году французский математик Гастон Жюлиа в своем объемном труде в несколько сотен страниц 1в"1.

Но в нем отсутствовали какие-либо изображения. Компьютеры сделали видимым то„что не могло быть изображено во времена Жюлиа. Визуальные компьютерные результаты превзошли все ожидания. Рис. 0.1. Фрактал Мандельброта Понятие «фракл>ал» уже доказало свою пользу в ряде прикладных областей. Например, если вводить случайное возмущение в регулярный математический древовидный фрактал, можно добиться сходства с настоящим деревом.

Фракталы используются при анализе н классификации сигналов сложной формы, возникающих в разных областях, например при анализе колебаний курса валют в экономике. Они применяются в физике твердого тела, в динамике активных сред и т.д. В настоящее время фракталы используются д»я сжатия изображений. Идея фрактального сжатия состоит в нахождении в изображении подобных областей и сохранении в фа>зле только коэффициентов пре- Введение в теорию фракталов образований подобия.

Например, в качестве таких областей можно брать квадратные области. !(абор преобразований подобия — это сдвиг, отражение, поворот и изменение яркости с контрастностью. Сзкатие происходит в случае, если коэффициенты преобразований займут места меньше, чем исходное изображение. Структуры, похожие на фракталы, можно обнаружить в окружающей нас природе: границы облаков, границы морских побережий, турбулентные потоки в жидкостях, трещиньг в некоторых породах, зимние узоры на стекле, изображения структуры некоторых веществ, полученные с помощью электронного микроскопа, кровеносная система сердечной мышцы и т.д.

Чтобы прояснить неточные определения конструктивных и динамических фракталов, укажем основные свойства фрактальных множеств (ч следуя !2]: 1. Г имеет тонкую структуру, то есть содержит произвольно матые масштабы: 2. Е слишком нерегулярное, чтобы быть описанным на традиционном геометрическом языке; 3. (' имеет некотору!о форму самоподобия, допуская приближенную илн статистическую; 4.

Обычно «фрактальная разиерность» множества К больше, чем его топологическая размерность; 5. В большинстве интересных случаев К определяется очень просто, например, рекурсивно. В данном пособии рассматриваются в основном юшоскис фракгалы» (включая фракталы Кантора, которые интерпретируются на отрезке). Исключение составляет глава 9 «Элементы гиперкомплексной дипамикюь Рассмотрение объемных фракталов более сложно и заслуживает отдельного рассмотрения (хотя некоторые типы конструктивных фракшлов нетрудно обобщить с двумерного случая на трехмерный, см., например, в (1) ).

Фрактальным поверхностям посвящена книга Русса !16). В недавно вышедшей на русском языке книге Кроповера (181 рассматривается проблема хаотичности некоторых фракталов (систем итернрованных функций-СИФ). Основным Введение объектом этой книги являются дискретные динамические системы. Конструктивные фракталы, получающиеся с помощью рекурсивной процедуры (как правило — это СИчз, см. гл. 4), являются неподвюкной точкой некоторого сжимающего оператора (порожденного СИгр). Подробнее об этом можно прочитать в [Щ В последние годы появился термин кмультифракталыя — это так называемые, неоднородныс фракгалы, определяемые не одним параметром — фралтальной размерностью, а спектром таких размерностей (см., например, [19]).

Начнем изложение с наиболее простого и в то же время щрающего важную роль в понимании теории фракталов раздела «Конструктивные фракилы». Из многообразия литературы по этому вопросу наиболее удачной в методическом плане является книга Лаверье [3). Изложение этого раздела с незначительными изменениями следует этой книге. Рисунки, представленныс в этом разделе, в основном повторяют рисунки из книги [3) и бьгли получены, в большей части, с помощью программы кГщсга!зя, разработанной автором данного пособия и его учениками. Часть 1.

Конструктивные фракталы Для построения конструктивных фракталов характерно задание косновнл и кфрааиента», повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. Иногда для конструктивных фракталов используют термин кавтоиодгяьиыял фрактал. Хорошим примером такого автомодельного фрактала является Н-фрактаз.

Здесь в качестве повторяющегося фрагмента используется заглавная буква Н. Н-фрактал строится пошагово из горизонтального отрезка (находится в середине рис. 0.2), имеющего единичную длину. На первом шаге два более коротких отрезка помещаются перпендикулярно концам первоначального. Х*Х ХХ Рис.

0.2. Н вЂ” фрактал. Иа рис. 0.2 показатель уменьшения 1~ ~Г2 и показано 9 шагов. На десятом шаге должно добавиться 1024 отрезка, имеющих длину 1132 (исходный отрезок имел длину, равную 1). Практически, мы должны остановиться на каком-то шаге. Мысленно можно представить Часть ! 13 этот процесс до бесконечности. Фигура, которая появится, — это фрак- тал, в котором каждая часть, в свою очередь, представляет собой подо- бие исходного фрактада. Глава 1. Фракталы и системы счисления 1.1. Древовидная структура и системы счисления Можно интерпретировать Н-фрактал на рис. 0.2 как план города, непригодного для уличного движения, ибо дорога блокируется во многих местах. Н-фрактал относится к так называемым «дендритаил, от греческого кдепг1гоня — дерево.