Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002 (947395), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Таким образом, если (У'г» уеч г»1 нормально на любом открытом множестве 1г, то это справедливо и для У ""~»ы, г=0,1, ...,Уг — 1. Но любая подпоследовательность (У")„, содержит бесконечнучо подпоследовательность (У~ ")„, лля некоторого целого г с 0 < г < р — 1, которая имеет подпоследовательност»ь равномерно сходяшуюся на компактных подмножествах г1 Отсюда нормальна, поэтому г„(У') ~ У'„(У') .
Наш следуюгций результат утверждает, что У есть «пврвтвгиивоющеея преобрггэование, то есть окрестности точек в .Уч покрывают почти всю комплексную плоскость при итерацияхУ. Утверждение 6.5. Пусть у — полинам, ю е,У»(У) и пусть УУ— любая окрестность а» Тогдгг И' и Ц У г(»У) совпадает с' С, искгючая, воз»»ос»сна, «дивов»сенную точку. Любая токая исюпочитвльная точка не принадгеэгсит,У,(/) и не зависит от ти УУ Доказательство. По определению,4 семейство 1у') не иор- мально в точке гц поэтому первая часть непосредственно вытекает из теоремы Монтеля. Прелположим, что о и И' . Если У (з) = и, то, так как У'(И') ~ И', то = и И'.
Так как Г1 И' состоит из самое большее одной точки, то = = и . Отсюда, У' — полином степени и такой, что единственное 90 Введение в теорию фракталов решение ((з) — о = Π— это ц и У(г) — о = с(г — о) для некоторой кон- с санты с. Если е достаточно близка к ц то У'(г) — о -о О при к — э ьс и сходимость имеет место, например, па )а: ~г — о~ < (2с) ' П Таким об-е И разом, )( ) нормальна в точке о, поэтому исключительная точка о и У,(У ). Очевидно, о зависит только от полиномаУ.
(Фактически„если )г'не содержит точку о из С. то .У,(У) — это окружность с пентром в точке о и радиуса с и" и). Следующее угверлсдение (следствие) является основой многих компьютерных картинок множеств Жюлиа. Утверждение 6.6. (а) Следующее свойство выполняется для всех е е С с, сачое большее, оонич исключением: если УУ вЂ” открытое лаьотгество, пересекающее ,У,(У), то У'(е) пересекает У/для бесконечно,чногихзначений)с (б) Если хе,Уь((), то.Уь(У) — этозачыкание 0( '( ).
Доказательство. га) При условии, что = не является исключительной точкой утверждения 6.5, е в У'(~У). Поэтому У '(г) пересекает У/ для некоторого Е Используя это повторно, мы получим бесконечную последовательность к с У' '(е), пересекающей сУ. гб) Если з н,У,(У), то У"'(е)~.У„(У) по утверждению 63, так что ЦУ ь(г) и, поэтому, его замыкание содержится в замкнутом множестве о,,(().
С другой стороны, если УУ вЂ” открытое множество, содерзкашее н.У,(У), то У '( ) пересекает УУ для некоторого к по пункту (а), г не может быть исключительной точкой по утверждению 6.5. Другое непосредственное следствие из утверждения 6.5 — это то, что Л,(У) не может быть ислшикот толспаыэох Одномерные комплексные отображения 91 Утверждение 6.7. Еслгг / — полинам, пю .1„(/') ииеет пустую внупгренноспгь.
Доказательство. Предполо>ким, ./,'1/) содержит открытое множество //. Тогда .1,1/') ~ /'" (1/) для всех /г, по утвер>кдению 6.3, поэтому ./А/) ~ О /'1//). По утверждению 6.5, л',1/") это вся плоскость С, исключая, возможно, одну точку. Это опровергает утверждение 6.1 об ограниченности,/, ( г') . Утверждение 6.8..1„1/') .- совершенное лпгоаюество /то еспгь золгкнутое и не имеет изолированных точек! и позтоггу несчетна. Доказательство. Пусть и н,/гг /) и пусть П бчдет окрестностью и Мы должны показать, что // содержит другие точки .1„(/) . Мы рассмотрим эти три случая отдельно.
(1) и не является пеподви>киой или периодической точкой /; !!о утвер>кдепию 6.3 и утверждению 6.6(б), 1/ содержит точку /' '(г>) ~,/,(/ ) для некоторого /г > 1, и эта точка должна быть от- лична от и. (2) /1о) = и. Если ф) = о ие имеет решения отличного от и, тогда так >ке, как и в доказательстве утверждения 6.5, и И,/,(/'). Таким образом, существует шеи с /1т)=о. По утверждению 6.б(б) // содер>кит точку /' '(т) для некоторого >1 >1. Любая такая точка находится в ./„1/') с помощью обратного инварианта и отличается от м так как /' (и) = г> .
(3) 1" '1о) = и для некоторого р ь 1. По утверждению 6.4, ,/,(/) = ./„(/'), поэтому, применяя (6.2) к /', мы видим, что Ь' содержит точк>г,/„(1" ) =./„1/) другие, чем и Введение в теорию фракталов Мы можем теперь доказать главный результат этого раздела, что .У„(у') — множество точек ненормальности (У') Г это точно то же самое, что и .У(У'), замыкание отталкивающих периодических точек У'). Утверждение 6.9. ЕслкУ' — ноялнозс тогда,У(У) =,У,(У'). Доказательство. Пусть гэбудет отталкивающей периодической точкой У периода р, поэтому аз .- отталкивазощая неполвижная точка д = У".
Предположим, что (К ) нормально в точке а, тогда е имеет открьатую окрестность Г, на которой подпоследовательность (д ') сходится к конечной аналитической функции яе Гона не молсет сходиться к ю, так как д~(еэ) = лз для всех Усу. По известному результату из комплексного анализа производные также сходятся, (д ')(а) э д,'(з), если ........ 1~ 1ь(-ь'~.,э --.,-......-..-.„..- щая неподвижная точка и ~;д'(еэ)>1.
Это опровергает конечность д,'(ю), поэтому (дь) нс может быть нормальным в гц Таким образом, гц н .У,(д) =.У„(у"") =,/,(У) „по утверждению 6 4. Так как .У,( г) замкнуто, то отсюда следует .ф') ~,У, (У') . Пусть К=(азе.У,(У) такое, что существует мю с У(а)=лэ н У'(з) к Оу. Предположим, что ез е К . Тогда существует открытая окрестность 1'точки аз.
в которой мы можем найти локальную аналитическую обратную функцию/ ': Г'-э С 1 Г, так что У(У' '(а)) = з лля с и Г Гтолько выбирайте значения У' '(.) непрерывным способом). Определим семейство аналитических функций (Уз, ) на Г'с помощью (У (з) — а) ГУЧ4-*3' Пусть Убудет любая открытая окрестность аз с ГУ ~ 1' . Так как ю н.У,(У), семейство (У') и, таким образом, из определения, семейство (Уз, ) не является нормальным на ГУ. По теореме Монтеля А,(л) должно Одномерные комплексные отображения приничать значение О или 1 для некоторого» и г н Г .
В первом случае Т'(е)=: для некоторого ."нП; во втором случае ) (а)= > (е), поэтому )''"(в) = в д»я некоторого тнП. Таким образом, !» содержит периодическую точку 1, поэтому а> и /( Т) . Мы показали, что К ~ а'(гг); беря замыкание, получим К ~,>(>') =.ф).
Однако К солержит все точки из >,(Т ), исключая конечное число точек. Так как .У,(~') не содержит изолированных точек по утверждению 6.8, то./ь(~) = К ~ .>(1"), что и требовалось доказать. Если а> — притягивающая неподвижная точка преобразования>с, то мы назовем множество А(го) = ! в е С:/ (а) -+ и> црн я — > с ) бассейноч притяжения для в. Мы определяем бассейн притяжения бесконечности, А(сс), аналогично. Так как и> — притягивающая точка, то существует открытое множество 1; содержащее и> в А(т) (если и> = сс, мы можем взять !а: !е~ > г) для достаточно большого >).
Это означает„ что А(ш) открытое, ибо если ~'(в) н 1г для некоторого >1, то а е Т'(!г), которое открытое. Следующая характеристика,1 как границы любого бассейна притяжения чрезвычайно полезна в определении множеств Жюлиа. Обозначим границу множества А через ВА. У гверждение 6.10. Пусть ш прнпиг»вак>>чая неподвижная точкаЯ Тогда дА(го) =.
(> ). То э>се сил>ое справедливо, если о> = сс Доказательство. Если а н,Т(Т), то ~' (т) н,>(> ) для любых Е Следовательно, невозможна сходнмость к притягивающей неподвижной точке н аиЛ(а>). Однако, если ~/ — любая окрестность в, то множество >" (!>'), по утверясденню 6.5, содержит точки А(о>) для некоторого >!. Поэтому существуют точки произвольно близкие к г, которые приближаются к ш Такич образом, в н А(а>), и поэтому з н сА(а>) .
Введение в теорию фракталов Предположим,:нВА(т), ног и 3(1")=3,(3). Тогда имеет связную открытую окрестность 1г, иа которой (3') имеет подпоследовательность, сходящуюся либо к аналитической функции, либо к ю Подпоследовательность сходится к т на 1' () А(т), которое открыто и не пусто, и поэтому сходится и па 1; так как аналитическая функция постоянна на связном множестве, если она постоянна на любом открьпом подмножестве. Все точки Р'отображаготся в А(т) итерациями3; поэтому )' ~ А(т), опровергая, что г н ВА(т).
В качестве примера, иллюстрирующего это утверждение. рассмотрим случай 3(с) = = . Множество Жюлиа — это единичная окружность, которая является границей как для А(0), так н для А(гс), Теперь мы соберем все главные результаты этого раздела. Утвер»тление бА!. Множество Жюлиа 3(3') — это замыкание огптаткггвагои)их периодических точек полинолга3. Оно несчетно, компактно, не содержпт изолированны точек и инвариантно для 1 и 3 '. если - н 3( г ), то 3(1 ) — зто заиы копие (з 3' г (г) .
множество Жкглиа - это грангща оассетщ притяжения калсг)ои припгягиваюитей непоавижной точки(, вктючая гЧ и 3(г~) =. (3 ') для каждого пологз А') жнтельного целого р. Доказательство следует из 3(() = 3,Я. Можно обнаружить и более существенные свойства динамики 1' на мне»гестве Жюлиа, например, что 3 действует хаотически на 3 (см. п. б.2). Действительно, периодические точки 3 плотны в 3, по определению. С другой стороны,,3 содержит точки г с итерациями 3'(е), которые плотны в 3. Более того,3'имеет чувствительную зависимость от начальных условий на 3: ! 1'(е) — 3'(т~ будет большим для некоторого к при близких и т и .l .
Одномерные комплексные отображения 95 6.2. Одномерные комплексные рациональные эндоморфизмы Рассмотрим одномерные комплексные рациональные отображения вида: (63) где Р„=а,г" +а„.>г" '>-... + ао, Я = Ь -"~-6 >-~ ~ ~ь" -гЬо, щ <и. Если положить .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
