Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002 (947395), страница 11
Текст из файла (страница 11)
=х ч и и разделить реальную и мнимые части, то мы придем к двумерному вещественному отображению. Заметим, что коэффициенты полиномов также могут быть комплексными числами. Отображения )1 вида (6.3) являются, вообще говоря, необратимыми отображениями. Например, у таких отобрахсений обратное отобра>кение может быть неоднозначным. Подобные отображения называются зндоэнорг]>измаил. Отметим, что полиномиальные отображения, рассмотренные в п. 6.1, являются частным случаем (6.3) при т=0. Исследованию эндоморфизмов вида (6.3) посвящены объемные труды французских математиков Жюлиа 18] и Фату 19, 10].
Неслучайно, что многие из экспериментов Мандельброта (1] сделаны на основе работы Гастона Жюлиа (1893 -1978). Хотя Мандельброт родился в Польше (1924), он получил образование во Франции и имел возможность ознакомиться с работами Жюлиа и Фату. В 1918 г.
Жюлиа опубликовал работу (8], в которой он, по сути, заложил основы фрактальной теории для конформных преобразований, т.е. отображений, которые "оствляют углы неизменными". Примером такого отображения является аналитическое преобразование '„, = з„ч с, с = сопв1, ( 6.4 ) которос является частным случаем отображения (6.3). В последние годы интерес к таким отображениям возрос, благодаря, в частности, красивым компьютерным представлениям их нерегулярных репеллеров (множеств Жюлиа), которые являются фракталами. В дополнение к п. 6.1 приведем краткую информацию по таким отображениям, следуя, например, обзорной статье Якобсона 113]. 96 Введение в теорию фракталов Если положить е = х ь су, с' = ч) — 1 и разделить в (6.3) действи- тельную и мнимую части, то придем к двумерному вещественному отображению плоскости 1х, у).
Итерации отображения (6.3) — это последовательность точек = = 1х,у ). Эту последовательность точек называют траекторией или орбитой отображения (6.3). Отображение 16.3), как мы отметили в п. 6.1.1, может иметь циклические траектории. А именно, точка М называется периодической (циклической) периода р точкой отображения К, если Р'М = М, и для любого 1 <1 <р имеем )с'М е ЛХ'. Наличие периодической точки означает сушествованпе р точек Мь М, ..., М, которые последовательно под действием отобраг' жения Я переходят одна в другую, и последняя точка совпадает с первой '(М,— ' — +.М,— "— +М,— "— + "— "— ьЛ1е =М,). Итак, точки М,, / н 1,р, образуют циклическую последовательность илн, иначе говоря, цикл периода р.
Подобно одномерному вещественному отображению, рассмотренному в 5-й главе, итерации отображения (6.3) могут быть как асимптотически устойчивыми, так и иметь нерегулярное поведение. Для описания возможных типов динамики в последнее время используется следующая классификация периодических траекторий !иначе, циклов) мгдоморфизма 16.3) [13]. Обозначим циклическую последовательность (траекторию) е периода р через а (аь, аы ..., арп), то есть )(а„= а,, )са, = а,, ..., )са„, = а, . Определение 6.1. Цикл ц называется р-~ р' '- ° ь' й -с ° и=(и'()) =с~'(,~ ~: с нейтрачьныхс рационазьнысс, если,и = ехр12тг), г н Д 1г — рационагьное число); нейтральньст иррациональныт, если р = ехр(2шо),  — иррациональное; оттачкссеави(им, если,и > ! .
Точки с нерегулярным поведением содержатся в так называемом множестве Жюлиа,!(Я), которое совпадает с замыканием множества отталкивающих траекторий отображения (6З), Одномерные комплексные отображения 97 Мноягество,Уф) непустое, совершенное и инвариантное относительно Я и к . Если.У(Я) содержит внутреннюю точку (то есть точки из ее окрестности также принадлелгат.У(Я)), то все точки плоскости (х, у) принадлеягат .У(й). Такая ситуация реализуется, например, для ( ' + 1)' 11 =, .
Однако в смысле категории такие эпдоморфизмы явля- 4 ' — 1 ются исключением. Обозначим через С комплексную плоскость (х,у), г=х Ьгу. Если Л1Я)=С1,71Я)еО, то всякая компонента связности В ~ Л(Л) состоит из точек с одинаковым асимптотическим поведением. Поведение точек г е Л(й) изучалось Жюлиа 18) и Фату 19, 1О). Окончательный результат был получен Сулливаном П 2). Теорема 6.2. Пусть  — компонента связности г) Я). Тогда существует такое 1гв, что область Я'"В= В, — периодическая, то есть В, =А (В,), Р~В11 1г~В, =И при )й — I! <т и некотором т; число периодических компонент конечно; динамика на любой периооической' колтоненте В относилюся к одному из следующих типов: а) ~)ля всякого н В траектория 1Я (г)1 сходится к точкам некопюрого пригпягивающего цикла а = (а„, а„..., а„,), где а екВ; о) для всякого е В траекпюрия 111 (г)1 сходится к тачкам некоторого рационального притягивающего цикла а = (а„, а,, ..., а„,), где а, принадлежитгранице А'В; с) В содерлкил~ точку некоторого ирртщонального нейтрального цикла а = (а„, а„..., а,„,) и Й" ~В топологически сопряжено с поворотом на иррациональный угол в единичном круге; 98 Введение в теорию фракталов е>2 Н"'~22 топологически.
сопрнлсено с поворотом кольйо на некоторый иррааионаллнь>й угол. ! 1а рис. 6.2, полученном с помощью программы «с'гас>а(л», показана структура множества,/(й) и компонент связности множества Л(Я) для отображения: е'= (5с — 2ез)>3 (6.5) 12 Рис. 6.2. Структура множества )Кюлиа для отображения (6.5) Множество Л(Л) состоит из инвариаптпой относительно Л области притя>кения к бесконечности е>„и областей притяжения В>. В > к неподвижным точкам г = 1, .
= -1, а так же объединения всех преобразований () й "(Ое). Мном<ество Жюлиа,>(й) совпадает с границей мно- > >кества О„. Дааее мы рассмотрим более детально отобраяеение Жюлиа г ч-с. Одномерные комплексные отображения Наиболее изучены рациональные эндоморфизмы, удовлетворяющие следующему условию пгперболичности. СУществУют такие с > 1 и )гч е ггг, что дла всЯкого з е,(1Л) спРаведливо неравенство 1)1 " 1з)) > с . Для гиперболических эндоморфизмов любая компонента множества.)Я) переходит в компоненту типа а). Необходимое и достаточное условие гиперболичности состоит в следуюшемг ггпгераг)игг яюбои критической точки отобратсегая ''=Я сходятся к некоторому притягивающему инклу (критической назьпается точка —.
з„„, для которой Я'(-, )= 0). Рациональные отображения с гиперболическим множествоьг Жюлиа вструктурно устойчивы», то есть не меняют структуры при малом изменении паРаметРов гкоэффициентов полиномов Рт Дч,). Хотя в настоящее время неизвестно, плотны ли гиперболические отображения, имеет место следукпцая теорема о структурной устойчивости на множестве Жюлиа (так называемая./-устойчивость), доказанная Любичем [14). Теорема 6.3. Дчя вгякоео семейства раг(ионачьных зндоггорфиачов, гояозгорфно зависящггх от параметров де С> ~С', к =юах1п, т), мнооюество б = 1)г: Г„(з) есть )усгпойчггвый зндоморфизм) открыто и всюду плотно в Ь'.
Естественно возникает вопрос об эргодическнх свойствах множества Жюлиа, то есть вопрос об инвариантных мерах, сосредоточенных на этом множестве. В частности, возникает вопрос о вычислении фрактальной размерности множества Жюлиа. Глава 7. Фракталы Жюлиа и Мандельброта 7Л. Фракталы Жюлиа В 1918 году Гастон )Кюлиа написал подробный киелгуарв в несколько сотен страниц, который был награжден призом Французской Академии. «Этот труд написан на высоко и уровне, но,.
едва ли лгожно найти в не и какгге-то изобраггсенилв [3). Работа Жюлиа игнорировалась в течение почти полувека, однако теперь она оказалась в центре внимания. Компьютеры сделали видимым то, что не могло быть изображено во времена Жюлиа. Визуальные результаты превзошли все ожидания [см., например, [41, [71). В работе Жюлиа рассматриваются итерации отображения вида: х — ь г1х,у), у-э8[х,у), которые сохраняют углы, то есть конформные преобразования. Наиболее изученным примером отображений такого вида является отображение (6.ч), которое после разделения вещественной и мнимой частей запишется в виде ( х = х ч гу, с = а и гд ): ( 7.1 ) 2 2 хи+1 х" У", л =О, 1,2 у„„= 2хну„ч- Ь Оказывается, это отображение дает множество фракталов, соответствующих множеству Жюлна а(а, Ь). Используя утверждение 6.11, ладим следующее Определеигге 7.1.
Множесгпво Жктгга.У(а, Ь) — это еранггг1а области 27 (то есть еранпиа области нритялгенпя бесконечноогнггу. Заметим, что прн а =- Ь.- О множество Жюлна — это окружность единичного радиуса. Действительно, в этом случае отображение з„„г = с„' имеет единственную устойчивую неподвижную точку . — О. Г!ри И <1 итерации стремятся к нулю, а при И >1 — уходят на бесконечность. При малых значениях а, Ь множество ./(а, Ь) уже не имеет Фракталы Жюлия и Маилельброта 1О1 форму окружности и, как правило, является фракталом (см. рис. 7.1). На рис. 7.2 показан увеличенный фрагмент рисунка 7.1.
Рис. 7.1. Фрак>я>з Жюлиа при а = -0.22, 1> = .0.74 О или мг >ч Рнс. 7.2. Фрагмент фрактала Жюлна при а = — 0.22, Ь = О.74 102 Введение в теорию фракталов Жюлиа подробно исследовал свойства этого мноягества. Вот наиболее важньге из этих свойств (см. Утверждение 6.11) . 1) Отображение (б.4) (или (7.1)) преобразует .У(а, Ь) в себя. Друлсчи словалги, .чножество,У(а, Ь) - ггнвариантное .чножесппо преобразования (7 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
