Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002 (947395), страница 15
Текст из файла (страница 15)
10.3. Кольца и алгебры множеств Определение 10.10: усть Лз — произвольное мнолсесп~во. Непустая совокупность Ь' некоторых его подчножеств называетсл кольцом, если для любых А, В е ск А1)Весу, А) Ве Ь'. Определение 10.11: Непустая совокупность Н подинолсеств множества ЛА называется азгеброй, если она удовлетворяет следующич условиям: если А, В е У, то А) ) В е У; если А е !й то и его дополнение С = ЛРА е ГУ Теорема 10.6: Для того чтобы совокутюстл Н подмножеств мнолсества М была алгеброй, необходичо и достатотю, ~тобзы она была кольцом и чпюоы И ~С1 Определение 10.12: Непустая совокипность У подмножеств множества Лт называется о — кольцом, если она — кольцо, зачкнутое по отношению к операции сложения не только конечного, но и счетного семейспнщ мно- жеств, т.
ех из условия А, е Н В -.— 1, 2, ...) следует, что А = ) ).4, е Ь'; ч 2. из условия А, В и ГУ следует, что А)В и Г Введение в теорию фракталов !36 Определение 10.13: Непусгпая совокуггность (1 подмнолсеств множества М называтпся <т-ачгеброй, если она удовлетворяет условию 1 из определения о — кольца иусловию 2 из определенггя алгебры . Утвержденпе 10.1г Для того, чтобы совокупность (1 была гтыьчгеброгк ггеобходичо и достаточно, чтобьг она была о-кольцом и чтобы М е (1. 10.4.
Точечные множества в евклидовом пространстве Рассмотрим и-мерное пространство, образованное множеством всех точек х = (хн хг, ..., х„). Расстояние между точками х и у введем по формуле: ( ! О.! ) р(х,у) = г (х, — у,) Существуют и другие способы введения расстояния. р(х„у) = вир!х, — у,~ Определение 10.14: и-мерное точечное пространство, в котором расстояние между то<кама определено по формуле (10.1), называется п.черным евкл адовы и пространство ч и обозначается )1". Утвержденпе 10.2: Для любых х, у, г е Я" справедливо неравенство тре- угольника: р(х, у) < р(х„г) ь р(г, у) (!02) 10.5.
Предельные точки Определение 10.15: Точка х е Я" называется предеюм последовательности точек хг ~ в )1" (хтг — ьх илих =)ппх"'), если р (х~~~, х1 -+ 0 при 2 Из формулы р(х'"',х)= 2.(х,~'"'-х,) ясно. что соотношение х — эх равносильно одновременному выполнению соотношения х, ьх, гчс ! ко привсех 1 = 1,2, 137 К аткие све ения из тео ии множеств Т. е. сходимость последовательности точек из А означает сходи- масть по координатам. Определенно 10.1бг Открытым >паром 5(х~>, в) с центром в точкех( е А" и радиусом в > О называется совокуппоснгь всех точек х е А", с)ля которых р(х, х )) < а Всякий о>пкрыпт>гг игор с центром х> называепгся окрестностью точь>и х' (илг> в-окрестностью).
,л) Пусть А е А" (произвольное множество ггз А"). Определение 10.17: Точка х и А" называется предельной >почкой гти точкой сгущения множества А, если существует такая последовательное>пь >почекх аА, (т и х), ч>пох ' — >>х Определение 10.18: Если х и А (А и А") и не является его предельной лгоч- кой, то х назьтается изолированной точкой мнолсества А. Теорема 10.7: Для того чтобы точка х е Я была преоельной точкой множества А, необходнно и достаточно, чтооы любая окрестность точки» содержаьц по краиней иере, одну точку» еА, отгт>ную от х. Определение 10.!9з Множество А е А" называется ограниченным, есгн координаты всех точек х е А ограzичсны в совокупности. (Зто равносигьно требованию, чтобы А содержазось в некотором игоре) Теорема 10.8> Всякое бесконечное ограниченное множество инее>п, по крайней мере, одну предельную точку (которая маркет и не принадлежать А).
10.6. Замкнутые и открытые множества Определение 10.20> Множество Г е А" называется заикн>тым, если, какова бы ни была с одящаяся к пределу последовательность точек х' >еР, ее предел исодит в А Замкнутое множество содержит все свои предельные точки. Определение 1021> Пусть А — произвольное множество точек из А". Точка х е А»азьтается внутренней точкои нножества А, если прн нет>- ягором с> О окрестность Ых, с) и А.
Введение в теорию фракталов Определение 10.22: гч1ножество С и Я" называется открыты ю если все еео точки внутренние. Все пространство Ян" открытое множество; пустое множество кз также причисляется к открытым. Теорема 10.9: Дгя тово, чтобьг .нножество С в гг было открытыи, ггеобходггно и доспгаточно, чтобы еео дополнение Š— — гг ~ С бьто заик- пятым Определение 10.22н Пусть А е Я".
Совокуггн ость В открытых множеств С„е Я' называепгся покрытием мнолсества А, если любсгя точка х е А входит, по крайней мере, в одно из С е В. Теорема 10.10 (Борелн — Лебега): Из всякоео покрыгпюг В ограниченного замкнутого множества Р и Я" можно выделить конечное покрытие, т.е.
конечное число множеств С в В, также образугггиггсх покрытие множества Е Определение 10.24: Множество А е К" называется борелевым, если оно принадлежит о-алгебре, порожденной совокупностью всех замкнутых множеств из гх", Совокупность всех борелевых множеств из Я" обозначим через В. Тогда любое замкнутое множество г е В по определению; каждое открытое множество С е В.
Глава 11. Что такое линия? Здесь мы дадим ответ на этот вопрос, следуя [6]. 11.1. Первые определения пинии. Жордановы кривые. Кривая Пеано Определение 11.1; Линия —. это множество точек, координаты которых удовпепьворяют уравнению г (х, у) =- 0 . ( 11.1 ) Здесь обычно предполагают непрерывность функпии Г(х,у) в соответст- вуюпзеуб области изменения аргументов. Это -- неудачное определение, ибо ему удовлетворяет всякое замкнутое подмножество плоскости. Определение 11.2 (параметризации): Линия — это множество точек, координаты которых удоаэетворяют уравнениям х — 1з(г), у = дф), ( 11.2) где р, уэ — непрерывные и дифференцируеиые на отрезке а < г < Ь функ- Это не топологическое определение.
Одну из попыток топологического определения линии предпринял Жорда- но в 1882 г. Определение 11аи Линия — это непрерывный образ отрезка. В случае плоскости это определение совпадает с (11.2). но при этом я, уэ— произвольные непрерывные функции. Это определение переносится на любое топологическое пространство.
140 Введение в теорию фракталов Определение 11.4 (пзопочогического просзпранства): Пусть во лчпожестве Х произвольной природы указана совокупность г = !(), ~ подлзкожеств, обладающая следующичи своиствачи: !) к) Х~гз 2) объединение любой совокупности множеств из т принадлежит г; 3) пересечение любого конечного числа.нножеств из г принадлежит г.
Совокупность подлзпоясеств т называется топологией в Х, а множество Хв этом случае называется монологическим пространством. Пример: Х вЂ” числовая прямая Я . Топология задается следуюпзим набором множеств: В, всевозможные ин- тервалы и их объединения П = !) !а., Ь.) . Определение 11.5г л)кожество точек топологического пространства, являющееся непрерывным образоч отрезка, называется жордаковой кривой. Удар по этому определению был нанесен в 1890 г. итальянским математиком Ивано, который построил непрерывное отображение отрезка на квадрат.- так называемую кривую Псано.
)':1-+1з Рис, ! !.1. Последовательные приближения кривой Пеано В настоязнее время жордановы кривые, то есть непрерывные образы от- резка, называзотся пеаковскиии копл~ипуумаии. Что такое линия Из существования кривой Пеано вытекает возможность отобразить отрезок на куб конечного числа измерений. Теорема 11.1 (Хана-Мазуркевича)г Леоновские континуу>иы это в точности локально связные континуумы. 11.2.
Канторовы кривые. Ковер Серпинского Жордапово определение липин оказалось неудачным не только потому. что под него попадали объекты совсем непохожие на линии, но и потому что сущесгвуют континуумы, которые естественно рассматривать как линии, но которые, будучи локально связными, не являются непрерывным образом отрезка.
Таков. например, континуум„определяемый графиком функпии у = з1п —, 0 < х < 1, с предельным отрезком х = О, — 1 < у < 1. х Общее определение линии на плоскости было дано Кантором в 70-е годы Х1Х века. Определение 11.6: Плоско>> континуугг, не содержащий внутреннггх точек, то есть конт>>чти>>, в любой окрестности каждой точки которого имеются не принадлежащие еиу точки плоскости, называется канторо- вой кривой.
Важным примером канторовой кривой' является ковер Серпинского. На и-м шаге получаем 8' квадратов со стороной 11/3) . Пересечение полученных таким образом множеств называется ковром Серпинского 5. Рис, 1! .2. Последовательные приближения ковра Серпинского 142 Введение в теорию фракталов Ковер Серпинского является локально связным континуумом и, следовательно, по теореме Хана-Мазуркевича, может быть представлен в виде непрерывного образа отрезка. Он является универсальным для канторовых кривых, то есть, какова бы ни была канторова кривая 1., она момгет быть топологически вложена в ковер Серпинского Я, то есть в Я содержится континуум 1.
', гомеоморфный Е. Стандартный ковер Серпинского о получен из единичного квадрата плоскости выбрасыванием открытого множества полной меры, то есть мера 5 равна нулю (мера мнозкества, остающегося после и шагов рав- на (8/9)" ). 11.3. Урысоновское определение линии В !921 г, П. С. Урысон дал наиболее общее типологически инвариантное определение липин. Определение 11.7г Линией назьтаетсн одномерный континуум, то есть связное компактное метризуаиое пространство, каждая точка которого обладает сколь угодно латой окрестностью с нупьмерной еранийей. Ковер Серпинского удовлетворяет урысоновскому определению линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
