Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002 (947395), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Один из подходов к фракпипьной геометрии — рассиатривать два.иножества как «одинаковые», если существует би-липшииева отображение между нюни. Топологические инварианты используются лишь для различения между негомеоморфными множествами. Однако мы можем найти другие параметры, включая хаусдорфову размерность, чтобгл провести различия между множествами, которые не являются би-липшицево эквивалентными.
Так как би-липшипевы преобразования (12.13) обязательно непрерывны, то топо- логические инварианты могут использоваться в этом направлении, а хаусдорфова размерность (и другие определения размерности) дает более тонкие инварианты для различения фракталов. Вообще сама по себе размерность множества мало говорит нам о его топологических свойствах. Однако любое множество размерности Хатсдо оваме аи азме ность 151 меныпе 1 обязательно является вполне несвязным; т.е. никакие две его точки не лежат в одной и той же связной компоненте. Утверждение 12.3. Множество Г с Л' с г!!пз„Г <1 лолаостлью несвязно.
Даказататьстаа. ! !усть х и у различные точки гп Г. Определим отображение 1': й' — э '[О, -.с) как у (я) = !з — х~. Так как Гне увеличивает расстояния, т.е. ~ф) — г(и1<!з — и~, мы имеем из следствия !!г!), что Йп! „г"(Г)< Йпз „г' < ! . Таким образом, г"(г') — подмножество из К меры Н или длины нуль и, таким образом, имеет плотное дополнение. 1 Выбирая г такое, что г и г"(Р') и О < г < г (у), получаега Г = !хи Г:!з — к~ < г!!))я н г":!з — х)> г). Таким образом, Г содержится в двух разъединенных открытых множествах с х в одном множестве и у в другом, так что х ну лежат в различных связных компонентах г. 12.3.
Вычисление хаусдорфовой размерности — простые примеры В этом разделе показывается, как вычислить хаусдорфову размерность некоторых простых фракталов. Пример 12.1 Пусть г — пыль Кантора, полученная из единичного квадрата, как на рис. 12.2 1на каждой стадии конструирования квадраты лепятся на 16 квадратов с длиной стороны !/4, из которых остается одинаковый образец из четырех квадратов). Тогда ! < Н (г') < эГ2, так что Йгп„Р = 1. !)ычисзеиие. Возьмем очевидное покрытие г 4' квадратами со стороной 4 ' 1т.е. диаметра а =4 ~э!2 ) на Е,, А — й стадии конструирования. Получаем оценку Н,'.(Г)<4'4 'э!2 для точной нижней грани в !12.1).
Когда lс — ь с, то б-+О,давая Н'(г')<эГ2. Введение в тсорию фракталов 152 Для оценки снизу обозначим черезрго/ ортогональную проекцию на ось х. Ортогональная проекция не увеличивает расстояний, т.е. ~рго/х — Рго/у~ <~х — у~. Следовательно, если х, уе !!', то рго/ является отображением Липшица. Благодаря конструкции г, проекция «тени» Р' на ось х, рго/ г', это единичный отрезок 10, 1). Используя (12.9), получаем 1=!енК1л[0,1) = Н'([0,1))= Н'(рго/Р')<Н'(Р). Заметим, что такие же дово- ды и результат справедливы для множества, полученного повторяюшимся делением квадратов на и квадратов со стороной длины 1/т, из которых в каждом столбце остается один квадрат, Зтот трюк с использованием ортогональной проекнии для получения оценки снизу хаусдорфовой меры работает только в особых обстоятельствах и не является основой более общего метода.
Обычно дело об- стоит сложнее. Пример 12,2 ! !усть Н вЂ”. фрактал Кантора ( Н = () Е, . см. рнс. 12.3). Вели ьо х = !а 2/!я 3 = О.б309 ..., тогда дпп„Г = з и 1/2 < Н''(г ) < 1. Эерясгляческое вычясленпе, Множество Кантора г делится на левую Г = г 1) [О, 1/31 и правую г» = г () [2/3,11 части. Ясно, что обе части геометрически похожи на Г, ио масштабированы на 1/3, и г" = Г ()Г„с этим разрывом в объединении. Таким образом, для любого я Н'Я = Н '[~; ) е Н'(/„) = (1/3)* Н'[У) е (1/3)' Н *[~) по масштабному свойству хаусдорфовых мер. Предполагая, что при критическом значении х = бпп„г', мы имеем 0 < Н '(г') < =с (сильное допушение, но оно может быть оправдано), следовательно, можем подслить на Н'[Г), чтобы получить 1 = 21!/3)' или к = 1я2/1я3.
153 Ха сдо оваме аи атме ность ° ° ° И И И Е, Еа Е, Е, Рнс. 12.2 113 Рис. 12.3. Конструкция фрактала Кантора Введение в тсорию фракталов 154 Сглрогое вычисление. Назовем интервалы длины 3 ' (х = О, 1, 2,...), которые лают множества Ез при конструировании Е, основными инлгеэвгагьии. Покрытие ((У! Уь состоящее из 2 интервалов Е» длины 3 дает, что УУ'„(Г)< 2„!УУ,~ = 2'3 ' =1, если з = 1й2/1яЗ. Полагая Ус -+ю, получаем УУ'(Г) <! /2.
Чтобы доказать, что Н '(Г) > 1/2, мы покажем, что 2.!УУ, ~ > 1/2 = 3 ' ( 12.14 ) лля любого гюкрытия (1У! Уь Ясно. что если ((У! конечный набор замкнутых подынтервалов из (О, 1], то, используя компактность Р, нам нужно только проверить (12.14). Для каждо~о УУ, пусть Уг — целое, такое, что 3 "" < !(У,) < 3 '.
( 12.15 ) Тогда УУ, может пересечь самое большее один из основных интервалов Еь так как расстояние между этими основными интервалами, по крайней мере, 3 . Если у' >Уг, тогда, по построению, УУ, пересекает самое большее 2' ' = 2'3 " < 2'3'!УУ ~ основных интервалов Е» Если мы выбираем у достаточно болыпим, так что 3 Шп <(1У,( для всех УУ, то, поскольку (УУД пересекает все 2' основных интервалов длины 3', подсчет интервалов дает 2' < 2.2'3'!1У,( . Это доказывает(12.14).
С достаточной долей усилий можно показать, что УУ '(Р ) = 1, «Эвристический» метод вычисления, использованный в примере 12.2, даст правильный ответ относительно размерности многих самоподобных множеств. Например, кривая Коха, делается из четырех копий самой себя с масштабом 1/3 и, следовательно, сс размерность 1я4/1яЗ . Вообще. если Р = Д У;, где каждое Р; геометрически подобно У( но масштабировано с коэффициентом с„то при условии, что Р; не перекрываются Хатсдо оваме аи азме ность 155 «слишком на«ноя, эвристический метод дает Йпзя Г как число я, удовле- творяющее ~с,' =1.
12.4. О других размерностях 12.4.1. Предельная емкость. Фрактальная размерность Заменим в определении хаусдорфовой размерности класс покрытий. Л именно. будем покрывать множество А пе произвольными открытыми множествами диаметра, меньшего или равного д, а шарами одного и того же диаметра б. То есть, Ы-мерный объем мнозкества А будем при- ближать выражением: и(А, а, д) = шЕ ~;!и,!; Ди, ш А, гйагпи, = 6(, где ) и, —.
шар в Л" с центром в некоторой точке х, то есть множество точек у таких, что ЙМ(х,у) < Д!2, а à — покрытие множества .!. Перепишем выражение в фигурных скобках следукзщнм образом: Яи,! = М(А, д)о', где М(А, д) — число элементов в покрытии Г.
В отличие от хаусдорфовой размерности, величина и1А, а, д) может не иметь предела при б — О, поэтому рассматриваются ее верхний и нижний пределы. Пусть и. (А, а) = !1п1 и (А, а, д), и, (А, а) = 1пп и (А, ьа 6). Функции и,(А, а), и,(А,а) обладают следующими свойствами: существует а.!соответственно а,), что т,(А,а)= ж при а < а, и и,(А,а)=0 при а>а,(соответственно т,(А,а)=«з при а<а, и т,(А,а)=0 при а>а,). Верхней и нижней емкостью множества А называются числа с(А ) = а, = !пГ)т; и,.
(А, а) = 0~, с(А ) = а, = шт )а: и, (А, а) = 0). Введение в теорию фракталов 156 Нетрудно видеть, что — 1и Ж(А, В) ( ) . 1и йг(Л. В) (1 В! ' — — ' |[В) где Х(Л, д) — наименьшее число шаров диаметра д, покрываюших множе- ство А. Непосредственно из что определения вьпекает, Йш (А) < с(А) < с(А) . Из определения емкости нетрудно также установить, что если множество В плотно в А, то с(В)=с(А) и с(В)=с(А). Например, множество всех рациональных чисел на отрезке [О, 1) имеет емкость равную единице и нулевую хаусдорфову размерность, поскольку оно счетно. Верхнюю еикосгнь называют гррпктнльной ризтерпоетып, 12.4.2.
Инаарнантная мера Мера р называется инвариантной, если лля любого измеримого подмножества В ~ И и г > О имеем р(1 'В) = р(В), где г' — отображение сдвига на время Г динамической системы с фазовым пространством Лт'. В данном учебном пособии рассматриваются только дискретные двумерные динамические системы [главы 6- 8). Мера р [ниже используется,и ): 1) сосредоточена на множестве А [например, на аттракторе — притягивающем множестве), если мера любого подмнозкества, которое не содержит точек множества Л, равна нулю; 2) вероятностная, если р(А) =1; 3) эргодическая, если в А не существует инвариантных [т.е. состоящих из пелых траекториИ) подмножеств промежуточной [между нулем и единицей) меры, Инвариантные вероятностные и эргодические меры всегда существуют [теорема Боголюбова-Крылова устанавливает факт существования таких мер и дает рецепт их построения).
157 Ха сдо оваме аи азме ность Отвечающая установившемуся (в неконсервативном случае) движению системы траектория, с которой имеет дело исследователь, по своему опрелелению «типична» относительно некоторой меры. 12.4.3. Поточечнаи размерность Основной характеристикой, используемой при обработке результатов численного или натурального эксперимента, является поточечная размерность. Пусть А ~ И вЂ . атграктор динамической системы ~/', М) и гг-- инвариантпая (относительно у' ) мера, сосредоточенная па аттракторе А. Пусть х и А -.
точка на атгракторе, В(х, д)- шар радиуса б с центром в точке х. Положим Величины Ы„(х), И„(х) называются верхней и нижней поточечной раз- мерностями по мере д. Если атграктор в определенном смысле «оДнородел» -- его нижняя н верхняя поточечные размерности д почти всюду равны одному н тому же числу г7, то этому же числу равны хаусдорфова размерность и верхняя и нижняя емкости «наииеныаего» множества полной меры в А. Список литературы Маис!в!Бгог В. В. ТЛе Ггасга! бсогпспу оТ Насшс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
