Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002 (947395), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2) Почти каждая то гка Р(х, у) имеет два прообраза. Действительно, разрешая (7.1) относительно х иу, получаем (х„' ч-у„') =(х„' — у„') ч-4х„'у„' =(х„ч — а)'-~(у, — Ь) Поэтому х„' +у' = и,следовательно, х„' = г)г2(х„ч — )+Я Из этой формулы находим два значения для х„: ( 7.2 ) Если х„известно, у„можно найти из второго соотношения в формуле (7.1): у„= (у„„-. Ь)/2х„ (7.3) Итак, точка Р(х, у) имеет два прообраза. Каждый из этих прообразов имеет, в свою очередь, также по два прообраза и т. д. Снова мы получаем сгруктуру двоичного дерева. Согласно Жюлиа, прообразы заполняют.У всюду шютно. 3) все неустоггчивые периодгтеские иикгы расположены в.У.
4) Орбита произвольной то~ки Р в.У остается в .1 и является либо перггодическгсгг г)ггкгои, либо хаотической орбитои. 5) Для обратного отображения (7.2), (7.3) .ггножество Жкьгиа — аттрактор. Используя формулы (7.1), несложно написать компьютерную программу для построения фрактала Жюлиа — множества Жюлиа.У(а, Ь). На рис. 7.3 показан фрактал,)(0, 1), а на рис. 7.4 — фрактал,У(-314, О). Фракталы Жюл»я и Мандельброта 103 Фракталы Жюлиа всегда симметричны относительно начала координат. Если же Ь = О, то они симметричны относительно обеих осей х и у. Этот факт можно использовать при написании программы построения фракталов.
Рассмотрим подробнее случай Ь = О. Если в (7.1) положим Ь = 0 и начнем итерации от точки 7>(х,у) на оси х (у =- 0), то ее образ также будет лежать на оси к. Таким образом, для орбиты, выходящей из этой точки, у„= О, и г х„, =х„+а То есть, отображение (7.1) в этом случае сводится к одномерному отображению (7.4). Отображение 17.4) эквивалентно модели ограниченного роста популяции ( 7.5 ) Действительно, делая в этом отображении замену ~",„= 1/2 — к„/а, получаем (7.4) с а = а/2 — а /4 . В главе 5 мы нашли, что для 1 < а < 3 отображение !7.5) имеет устойчивую неподвижную точку С =1 — 1/а, и установили поведение при а >3, А именно, при увеличении а от а=3 наблюдается удвоение периода по Фейгенбауму. Значение гг = 3 соответствует а — —.
- 3/ 4, а неподвижная точка 4 = 2/3 соответствует х= — 1/2. Итак, эта неподвижная точка находится на границе области устойчивости. Для двумерного отображения (7.1) это означает, что неподви>кная точка (-1! 2, 0) находится на границе области устойчивости и, следовательно, принадлежит фракталу. Дальнейший анализ показывает, что фрактал на рис. 7.4 состоит из бесконечного ряда островов, которые касаются друг друга попарно на оси х.
Рис. 7.5 показывает фрактал,/(0.11, 0.66). Примечательно, что он не является связным, а состоит из отдельных компонент, подобно точечному множеству Кантора. Фракталы такого типа обычно называют кпылью Фату» в честь математика Фату. 104 Введение в теорию фракталов Рис.
7.3. Фрактал Жюлиа при а = О, Ь =- 1 Рнс. 7.4. Фрактал Жюлиа прн а = -0.75, Ь = 0 Фрактаты )Кюлия и Мандельброта 105 Рис. 7.5. Фрактал Жюлна при и О.11, Ь О.бб Фракталы Жюлиа дают много прекрасных картин, особенно если использовать при их построении цвет. При построении цветных фракталов используется условие приближения орбиты к аттрактору — бесконечно удаленному, как для фракталов Жюлиа, или к конечному, как для фракталов Ньютона, о которых речь пойдет ниже. Так как для приближения к аттрактору орбите может потребоваться огромное количество итераций, то в программе необходимо использовать некое предельное значение для числа итераций, после которого считаем, что орбита подошла к атграктору. Цвет же каждой точки на экране определяется числом итераций, которое потребовалось орбите, чтобы приблизиться к аттрактору.
Если использовать 25б цветов, то номер цвета можно, например, определить по формуле ашот 256, где п — число совершенных итераций. 10б Введение в теорию фракталов 7.2. Фрактал Мандельброта Фракталы Жюлиа (множества Жюлиа.У(а, Ь)) можно разделить на два основных класса; 1) связные и 2) вполне несвязные.
Во втором случае фрактал состоит из несчетного множества дискретных точек. Классический пример подобного множества — точечное множество Кантора на отрезке [О, 1), Если же фрактал связный, то он состоит из набора линий, иногда — из единственной замкнутой кривой, иногда — это петли внутри петель, внутри петель и т. д., иногда †э дендрит.
Рис. 7.б. Фрактал Мандельброта и множества Жюлиа для указанных точек из множества Мандельброта. Фракталы Жюлия и Мандельброта !07 Для фракталов Ж>олиа,У(а, Ь) тип зависит от значений параметров а и Ь. Мандельброт нашел множество параметров на плоскости (а, Ь), для которого фрактал Жюлиа связный. Ключ к построению такого множества дал Жюлиа: надо проверить орбиту, выходящую из начальной точки х„= а, у« = Ь. Если эта орбита уходит на бесконечность, то ,У(а, Ь) — несвязный, подобно пыли Кантора. Это дает алгоритм для построения «бифуркационного» множества. Все точки на плоскости (а, Ь), для которых,У(а, Ь) — связное множество, составляют, так называемое множество Мандельброта.
На рис. 7.6 множество Мандельброта — это точки, расположенные в черной области. Это множество симметрично относительно оси а . Граница множества Мандельброта представляет собой фрактал Мандельброта„ в чем легко убедиться. увеличивая его отдельные фрагменты. Множество Мандельброта напоминает конгломерат фруктов или овощей; иногда его называют «картофельны и человеко>о>. Часть, по форме похожая на почку, ограничена кривой, похожей на сердце. Сглаженная (круговая) часть на самом деле является окружностью с пентром (-1, О) и радиусом 1> 4. Вокруг нее лежит ряд маленьких и крошечных кругов. Более подробные картины показывают.
что это явление повторяется при уменьшении масштаба. Иа оси а множество Манлсльброта описывается одномерным отображением вида (7.4), (7.5). Для такого отображения мы установили явление улвоения периода Фейгенбаума с универсальным масштабированием. Это явление для отображения (7.5) характеризуется бифуркационными значениями а — — 3; 3.4495; 3.5441; 3.5644; 3,5688; ...; 3.5699. Для отображения (7.4), соответственно, имеем: а — -0.7500; — ! .2500; — ! .3681; — 1.3940; — 1.3996; ...; .1.4012. Эти значения соответствукп точкам касания круговых областей, диаметры которых уменьшаются, и их уменьшение определяется постоянной Фейгенбаума. Можно найти подобные области вокруг больших кругов.
Изучая отображение 17.5), л>ы установили, что лля а= 3.83 сушествует 3-цикл. Д;ш фигуры Мандельброта это соответствует островам с а= 1.75, Ь = О. Пр>з более деталыюм рассмотрении этн острова оказываются «колл>пнептои» в миниатюре. Мы также можем увидеть подобные острова в окрестности значения, а=-0.12, Ь= ~0.74. Они, в 108 Введение в теорию фракталов свою очередь, соответствуют устойчивому 3-циклу отображения Жюлиа (7.1). На рис.
7.6 показаны мнозкества Жюлиа для выделенных точек в множестве Мандельброта. 7.3. Фрактал Мандельброта на экране компьютера Хорошие иллюстрации фрактала Мандельброта можно получить на экране дисплея в цвете. Сформируем на экране дисплея прямоугольник с размером (2п, ч 1К2лз т 1) пикселей, где а,, л, определяются разрешением (растром) экрана. Каждый пиксель соответствует паре значений (а, Ь), которые нужно проверить.
Проверка состоит в повторяюшемся применении итерационного процесса (7.1) с заданными значениями (а, Ь) в качестве параметров. Чтобы получить множество Мандельброта, возьмите значения а а 1 — 2.5, 1,5), Ь е ~ — 2, 21. Вопрос в том, уходит или нет орбита на бесконечность. Оказывается, если за максимальное число итераций Ф, которое выбирается заранее, орбита не покидает круга х' ву' < 4, то точка (а, Ь) принадлежит множеству Мандельброта; на экране такие точки будем обозначать черным цветом.
Если же за число итераций А < 1 орбита покидает указанный круг, то считаем, что она уходит на бесконечность. Цвет соответствуюшей точки (и, Ь) выбираем, например, по формуле к шод 256, если используем 256 цветов, или по какой-то другой формуле, или же задавая палитру. Глава 8. Фракталы Ньютона Рассмотрим нелинейное уравнение: /'(х)=0.
Нас будут интересовать не только вешественные, но и комплексные корни уравнения. Поэтому вместо х будем писать г, Воспользовавшись алгоритмом Ньютона решения нелинейных уравнений, получаем „„= г„— /'(г„)//'(г„), и = О, 1, 2, ... ( 8.1 ) Если удачно выбрать начальное приближение гм то с помощью формулы (8.1) найдем быстро сходящуюся к корюо последовательность 1г„). Если /1г) — полинам. то (8.1) определяет рациональный эндоморфизм, В качестве примера рассмотрим случай/'= ~ - а, 1г» 1 —. целое число. Тогда формула (8.1) примет вид: и=0,1,2,...
1«-1)г,', ча (82) х г„' ' Выбирая какое-либо начальное приближение, мы найдем корень к-й степени из числа а. Как известно, рассматриваемое уравнение имеет А корней =,, ="/а(роз)2/о/~)г Iз1п(2/гг/й)), / = О,1, ..., 1 -1, расположенных на окружности радиуса э/а и отстоящих друг от друга на угол 2я1 lг. Заметим, что вычисление э/и в компьютерах основано на формуле 18.2) с начальным приближением г» = а и х = 2. Корни уравнения г'— о =- О являются устойчивыми неподвижными точками отображения (8.2). Основная проблема в применении метода Ньютона связана с выбором начального приближения. Она будет решена, если мы укажем области притяжения неподвижных точек отображения (8.2). Для этого попытаемся построить границу, разделяюшую области притяжения различных корней.
Оказывается, «грапойи» имеет фрактальную структуру, Оценив еаирго~1м Введение в теорию фракталов 110 фрактальной зоны, мы тем самым определим области притяжения различных неполвижпых точек отображения гразличных корней уравнения). Покажем это на примере А = 3, а = 1. Отображение 18.2) принимает вид: 2.' -»1 31г, 1 (8.3 ) Полагая г — -х+ 1у и разделяя вещественную и мнимую части, придем к двумерному вещественному отображению: Хг- 3(х„ч- у„) 18.4) (г г)г Рис 8.1. Фрактал Ньютона при к —" 3, а = 1 Далее, воспользовавшись программой кГгас1аЬ», получаем фрактал, пред- ставленный на рисунке 8.1. На рисунке 8.2 показан фрактал для случая 1: = 4, а = 1, а на рисунке 8.3 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
