Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002 (947395), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Глава 12. Хаусдорфова мера и размерность Следуя [2], дадим краткую информацию цо хаусдорфовой мере и размерности и далее, следуя (4), по лругим размерностям, в частности, по фрактальной размерности. 12.1. Хаусдорфоаа мера Вспомним, что если (l — любое непустое подмножество и-мерного евклидового пространства Р", то диаметр (У опрелеляется как !Ь~ — — зцр~!х — у!: х.у е (>' ~, т.е, наибольшее рассгоя иие между любой парой точек в (.'. Если ((г, ~ счетный (илн конечный) набор открытых множеств диаметра, не большего о, который покрывает Г, т.е. Г с: Д У, с О < ((У, ~ < 6 для каждого >', мы говорим, что ((,', ~ является Б-покрытием г.
Предположим, что Р— подмножество Я и з — неотрицательное число. Для любого 6> О мы определяем Нь. (Е) = зпГ ) (У,: )((>>, >(. — сьпокрытие Е ~. ( 1=1 ( !2! ) Среди широкого разнообразия «ф)>актпльных разя>ернос>пейя, которые используются в настоящее время, определение Хаусдорфа, основанное на конструкции Каратеодори, является самым старым н. возмо>кно, наиболее важным. Преимущество размерности Хаусдорфа в том, что она определена дпя любого множества и математически удобна, так как она основана на мерах, которыми относительно легко манипулировать.
Главный недостаток в том, что во многих случаях она тяжела в вычислении или оценке численными методами. Олнако лпя понимания математики фракталов близость хаусдорфовой меры и размерности существенна. Ввеление в теорию фракталов 144 Таким образом, мы смотрим все покрытия Г множествами наибольшего диаметра д и отыскиваем минимальную сумму к-х степеней диаметров.
Когда буменьшается. класс допустимых покрытий Г в (12.1) уменьшается. Поэтому 1п! Н,'. (Г) возрастает и таким образом постигает предела, когда д — ь О . Запишем Н'(Г) = 1пп ЕЕ,'(Г) . ( !2.2) Этот предел существует для любого подмножества Г из ЕЕ", хотя предельное значение может быть (и обычно есть) О или ю. Назовем Н'(Г) х-.черной хаусйоргйовой мерой Г Можно доказать, хотя и с опрелеленными трудностями, что Н' действительно является мерой. В частности, Н'(О)= О.
Если Е содержится в Г, тогда Н'(Е) < Н'(Г), а если (Г) — любой счетный набор непересекающихся борелевых множеств, тогда (12.3 ) Хаусдорфовы меры обобщают близкие идеи длины, площади, объема и т.д. Можно показать, что для подмножеств Я", и — мерная хаусдорфова мера является, с точностью до постоянной составляющей, просто и-мерной мерой Лебега, т.е, обычным и — мерным объемом. Более точно, если Г является борелевым подмножеством й", тогда Н "(Г) = с то!" (Г), ( !2.4) где постоянная с„является объемом и — мерного шара диаметра 1. Индекс и означает и-мерный объем: гор.
Аналогично, для кхороших» маломерных подмножеств из ЕЕ" мы имеем, что ЕЕ" (Г) — число точек в Г! Н'(Г) дает длину гладкой кривой Г; Н'(Г) =(4/и)х агеа(Г), если à — гладкая поверхность; Н'(Г) = (бЕи)хко!(Г); и Н"'(Г) = с„х хо!" (Г), если Г— Хатсло оваме аи азме ность 145 гладкое т †мерн подчногообразие й" (то есть т-мерная поверхность в классическом смысле). Маештабноеевойство: Если ГсЯ" и Л >О, тогда !!к(ЛГ) = Лхы'(Г), где ЛГ = (Лх: х в Р), т.е. множество Гмасштобируется с коэфг7>и- >)иентом ) . Доказательство. Если (с>,) является б — покрытиеы Г, тогда (Л(l, ! является ) б — покрьжием Лг. Следовательно, 7!'„.(Лр) < ~(Л(/ )' = =Ля~~(7,~ <Ля!!1(Р), так как это справедливо лля любого б-покрытня ((7, ). Переход Ь -+ О дает !!'(Л7г)< Л'!!'(Г).
Замена 7. на 1 и Г на ).Г дает неравенство, противоположное требуемому. Полобный факт дает следующую основную оценку на хаусдорфовы меры множеств при действии более общих преобразований. Утверждение 12.1. Пусть Г ~ Я" иатобра»гение Г: à — э Н" такое, кто ! > (Х) — Г(уЛ < с!х — у'! (х, т я Г) (!2.6) для постоянна>х с > О и и > О. Тогда для каждого х 1! и" () ( г )) = си' !! ' Я), ( !2.7) Масштабные свойства длины, шюшади и объема хорошо известны. При растяжении в Л раз длина кривой умножается на Л, площадь плоской области умножается на Л, а объем 3 — мерного объекта умножается на г Л'. Как можно было бы предвидеть, х — мерная хаусдорфова мера изменяет масштаб с коэффициентом Л' .
Такие масштабные свойства являются фундаментальными для теории фракталов. Введение в тсорию фракталов 146 Доказательство. Если (~l,) 8 †покрыт Г, тогда, так как ~ Х (Г П гХ, 4 < с1!Х, ~, то (Х(Г П Ь', )! является в — покрытием Х(Г), где с = срг'. Таким образом, 2.!Х(Х'ПХI,) < сн'~)17,(, так что Н"" ЯГ)) = с'" ХХ,' (Г) .
Когда д — э О, то с -+ О, давая 112.7). Условие (12.6) известно как условие Гальдера с показателем а; такое условие предполагает, что Г непрерывна. Особенно важным является случай а = 1,т.е. ! Х(х) — ХЯ < с/х — у! (х, у н Х ), ! 12.8 ) тогдаХ называется огпабрахсели«и липитиа и Н И«))< с Н (Г). 1 !2.9) Любая дифференцируемая функция с ограниченной производной обязательно является липшицсвой по теореме о среднем значении. Если Хявлястся изоме трио й, то есть ~ Х(х) - Г(у) = 1х - у~, тогда Н г ( Х(Х')) = Н ' (Х ) . В частности, хаусдорфовы меры инвариантны относительно переноса Хто есть Нз(г м.)=Н'(Г), где Р мг= (хмх:хе Р)), и инвариантны относительно врашения, как конечно можно было бы ожидать.
12.2. Хаусдорфова размерность Возврашаясь к формуле (12.1), становится понятно, что дзав любого данного множества Х' и Б<! Н„'. (Г) является невозрастающей с х, так что, согласно 112.2), Н'(Н) также невозрастающая. Фактически верно слсдуюпгее; если г > л и (ХХ, ) -. д-покрытие Х, имеем: 1 12.10) так что, переходя к точным верхним граням, получаем Н' < д''Н',(Г). Когда д — э О, то если ХХ'(Г)< с, тогда ХХ'(Г)=0 для г> л.
Таким обра- Хатсдо оваме аи азме ность 147 зом, график Н'(г ) от в (рис. !2.!) показывает, что существует критическое значение в, при котором Н'(г ) «прыгаетв от с до О. Это критическое значение называется хагсдарфавай разиврностьв г и записывается Йпз„р . (Заметим, что некоторыс авторы ссылаются на хаусдорфову размерность как на раз игр«ость КаусдорфаБезакавич а). Формально дпп г =!п('(в:Н*(Г)=01 — — знр(в:П'(Г)= с), ( 12.11 ) так что Ьэ, если в < Йшя Г Н' р)=з '( )-' ' )-'( О, если в > Йша Р. (12.!2) Если в = Йш„г, тогда Н'(Р) моягет быть нуль или бесконечность, или может удовлетворять неравенству О < Н '(Р) < ю . Рассмотрим простой пример. Пусть à — плоский диск единичного радиуса в Я~. Из сходных свойств длины, площади и объема следует: Н (Р)=1еиЯХЯ=«с, 0<Н'(Р) —..(4/в)хагеа(Р) м и Н'(г)=(б(в)хго!(Р)=0.
Таким образом, Йшв Г = 2 с Н'(Г)=ьс, если в < 2, и Н'(Г)= О, если з > 2. Хаусдорфова размерность удовлетворяет следующим свойствам (которые, как можно было бы ожидать, будут справедливы для любого подходящего определения размерности). 12.2.1. Открытые множества Если г ~ )г" открьгтое. тогда Йш„г = л, так как Р содержит шар положительного и — мерного объема. Борелевское множество, удовлетворяющее последнему условию, называется з — мважвстваз«Математически в — множества являются наиболее удобными множествами для изучения, и. к счастью, они встречаются удивительно часто.
Ввеленис в тсорию фракталов 148 Рис. 12.1 12.2.2. Гладкие множества Если Е гладкое (т,е. непрерывно диффсренпнруемое) и-мерное подмиогообразие (т.е. гл — мерная поверхность) из Я", тогда б1юя Е = и. В частности, гладкие кривые имеют размерность 1, а гладкие поверхности вмеют размерность 2. Суп1ественно, что это может быть выведено из соотношения между хаусдорфовой и лсбсговой мерами. 12.2.3. Монотонность Если Е ~ Е, тогда г11зпв Е ~ дпп„Е.
Это непосредственно следует из свойства меры, ибо Л ' 1Е) ~ Л '(г ) для каждого ж Ха сдо оваме аи азме ность 12.2.4. Счетная устойчивость Если Г,Г„... — (счетная) последователыюсть множеств, тогда йпзи ДГ, = япр(йю„р ). Конечно, дпп, ДГ > дппв Г, для каждого 1 из 1ч 1ч свойства монотонности. С другой стороны, если в > Йпзв ГО для всех й тогда Н'(Г)=О, так что Н'(ЦР;)=О. Это дает противоположное неравенство.
12.2.5. Счетные множества Если Г счетное множество, тогда йпзя Г = О . Если Г, единственная точка, Н'(Р )= 1 и дппп Г, = О, так что по счетной устойчивости с1пп„ДГХ = О. Свойства преобразования хаусдорфовой размерности следуют непосредственно из соответствузогдих свойств хауслорфовых мер, данных в утверждении 12.1. Утверждение 12.2. Лусть Р ~ Р" и допустим.
что 1': à — + Я" удовлетворяет условию Гсльдерси фх) — /Ч < с~х — у~ (х, у е Г) Тогда дпи л ) (Р ) ь (1/а) Йиз Е . Доказательство. Если з > дппи Г, зпогда, по утверхсдепию 12. 1, Н'"(Т(Е))<с ! Н(Г)= О. Это означает, что дппл Г(Е)<(в/а) оля всех в > Йпзв Г. Следствие 12Л. 1а) Если Г: à — + Л" — липигииево преобразование !си. 112. 8)), то. да Йпз„Г()г) < йгл Г. Введснис в теорию фракталов 150 (!>) Ес>и (: Р' — + й" би-яипшииева преобразование, т, е.. с<(к — у~ < )((х) — (Я < с,!х — у~ (к, у н г ), где О < с, < с, < со, тогда г!ппн ((2' ) = г!>п>н Г .
! 12.13 ) Доказательство. Пункт (а) следует и утверждения !2.2, если взять а.= й Прииенение этого пункта к обратна>иу преобразованию ( ': ((г ) -> Г дает другое неравенства. Это доказывает пункт (бй Следствие 12.1 обнаруживает фундаментальное свойство хаусдорфовой размерности: Ха»сдарфава разиернотпь инвариантна относи>пельно би-.юипшииевага преобразования. Таким образом, если два множества име>от разные размерности, то не молзет быть би-липшицева отображения из одного множества в другое.
Это напоминает ситуацию в топологии, где различные «инварианты» (такие как группы гомологии или гомотопии) используются для различия множеств, которые не являются гомеоморфными: если топологические инварианты двух множеств различны, тогда не может быть гомеоморфизма !непрерывного взаимнооднозначного отображения с непрерывным обратным) между этими множествами. В топологии два множества рассматриваются как «одинаковые», если существует гомеоморфизм между ними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
