Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002 (947395), страница 14
Текст из файла (страница 14)
9.7, на плоскость (у,р). Рис. 9.9. Часть фрактальной поверхности для у > 0 и а = О. 1, Ь = 0.5, с = 0.2. 126 Введение в теорию фракталов Рис. 9. 10. Множество .УЗЙ(а, Ь,с) строилось также и другим методом, обобщающем на трехмерное пространство известный метод построения фракталов Жюлиа .12т2(а, Ь) . Соответствующий результат приведен на рис. 9.9, где показана половина «фрактальной поверхности». Эта кповерхность» имеет сложную форму. В каждом сечении, перпендикулярном улалснной оси У, имеем фралтальную кривую.
При этом форма кривой существенно изменяется при смещении вдоль оси У. При реализации этого алгоритма построения множества /Зй(а, Ь,с) можно параллельно вычислять фрак- 1и ~ч (е) тальную размерность ~~, = 1пп . Здесь дг(ь') — минимальное — 1пн число куоов со стороной ь', покрывающих .УЗЫ)(1 ) . Однако этот метод связан с пикселами и даст лишь грубое приближение с(эзп Теоретически более точный результат можно получить, используя (9.11), т.с. используя веществснныс координаты точек аттрактора-фрактала. Однако в этом случае очень большое время вычисления й' „, На рис.
9.10 приведен трехмерный аналог множества Мандельброта. 127 "Элементы гипс комплексной инамики 9.3. Группы симметрий и мозаики в 3-х мерном гипер- пространстве В этой части мы построим динамические системы, орбиты которых содержат симметрию группы Пикарда Г и обсудим автоматическое построение соответствующих цветных мозаик, следуя 1231. 3 Пусть à — группа дробно-линейных преобразований в Н, определяемых как (9,12) где зг,д а Н, у е Г, а, Ь, с, Ы е У+ Л = У' и аЫ вЂ” Ьс = 1(здесь через У обозначено пространство целых чисел).
В (9.12) а,Ь„с,а— комплексньге числа, у которых как действительные, так и мнимые части- целые числа, Г называется группой Пикарда. Она содержит хорошо известную модулярную группу Г как собственнуго подгруппу. Мы ограничим пан~с обсуждение отображением „, =Г(д„), ль и Н', ге =0„1„2,......, (9.13) где Н = (д е К: д = (х,у)э), )э > 0) или в терминах кватернионов Н = тгд еН~: д = х+у1+ 1э),р> 01. Орбита отобрюкения Е опре- делается ках счетная последовательность точек „, лы г„....
Необходимые и достаточные условия того, чтобы орбита отображения Г обладала симметрией группы Г, заключаются в том, что Е коммутирует с Г (или Г -эквивариантно), то есть г' о"„'='/о Г (9.13) для всех у е Г, Поэтому достаточно только проверить, удовлетворяют ли образующие группы Г условию (9.13).
В общем, Е(д) может не лежать в Н 12а Введение в теорию фракталов 9.3Л. Конструирование Г-эквивариантных функций. Для создания мозаик (паттернов) с симметрией группы Г мы выберем Г из условия (9.13), следуя 1231: 1 1 г(з) =а+ ('(х,у), з=х+у(+ 1 — х' — у !', 0<х < —, 0<у < —. 2 2 где /'(х, у) = /; (х, у) ь / (х, у)! + 1> (х, у) у', У)(х, У) = ф(х)Ь((х, 1'), .Уз(х,„!') = Дз(х)(зз(х, У) ь>„(0) = д„(1((2) = О, Ь, (и = 1,2) — произвольные функции. Е(д) = я+д((х)))(+ де(х)1>>(+ ( )-( +а(*)ы'-ь:-ьь)>)'-а(*м,(>))(- ((-"'-7)) В 123) доказано, что если выбрать т" (х) в виде; Г(Рг( )) + М(л), е ()'! Р(к) Г()7,), я (,г(, )я е () ' р ( ) = " '((:**: ~' , И(г) =((( г ()( ( ) О*)), 1( ) ! .
то ( (и) будет эквивариантным отображением в ('з' . Здесь 1 3 (г," п((к) — произвольная периодическая по х и у функция с периодом 1. В качестве примера определим отображение Е(а), выбрав функции д„(х) = О 2 з(п(2>ц) Уг„(х, у) = О 2 з)п(2>г(х + у)), п.=-1,3 г(>(х,у) =0.5ып(2)г(хч-у)) =02соз(2)п)), ьч(к) = 5!п(2>ц) з)п(2)п ) + з!п(2>п)1+ з1п(2>в") !', 129 Элементы гипс комплексной инамики 9.3.2.
Определение цвета Введем гиперболическое расстояние между точками орбиты (л„), зс = 012,...., д„еНз.пусть г = х + уз + ру и г' = х+у'1+ р' 7'. В качестве расстояния между зтими точками примем величину р(г,л')— (х — - ')' + (у — у')'+ р'+ р' 2рр' Для орбиты определим значение р = р(р (ло)~2' (ло)). Е[ля заданных )г в 7" н и е Р вычислим р„", = / ср" (ло)) . Это значение используется лля определения цвета точки го . Используя определенное вьшю отображение Г(л) и полагая )г = 7 н С = 100 в (23) были получены мозаики.
представленные на рис. 9.! 2 — 9.15'. (а) (Ь) Рнс. 9.12. Обласгь / х;< 0 92,/ у /Н 1,(а)0 < г < 1;(Ь)0 < г < 0.25 Зтн рисунки были построены К.Н. Крамковыч с помощью программы, представленной в [23). Введение в теорию фракталов 130 Рис.9.14. Область х' + у' <!. 0 < г < 0.95 Рис. 9.13. Обласп ) х < 0 92, ( у 1< 1 2 (и)0 < г < 1 (Ь)0 < г < 0 25 Рис.9.15.0блас х ЕУ -Ьг 1,г>0; (Ь)х > — 0.2 Приложение Глава 10. Краткие сведения из теории множеств Следуя, например. [51, рассмотрим некоторое множество (совокупность) элементов какой-либо природы.
Обозначим его через А. а его элементы через а: А = (а) . Запись а и А означает, что а является элементом множества А, а Ю А означает, что а не является элементом множества А. Например, А = Л' (множество натуральных чисел), В = (2п) (и еХ). Определение 10.2: Равными на- зываю~и одинаковые мнолсетнва: А =. В (все злвивнты А совпада- ют с эявмвнтачи В). Пример множества: множество вещественных корней алгебраического уравнения. Однако такие уравнения могут нс иметь вещественных корней, поэтому вводят понятие пустого множества: А =О. Пустое множество является подмножеством любого множества. АоВ Рис.
10.1 Определение 10.1: Пусть А,  — два множества. Если каждый элемент В входит также в А, то говорят, что  — подягножество А и обозначают: В и А. 1Зг Введение в теорию фракталов Определение 10.3: Суммой дв)х множеств А и В называенгся множество А 0 В, которое состоит из всех элементов, входящих, по крайней мере, в одно гамножеств А илн В. Определение обобщается для произвольного числа множеств: НЛ..
Определение 10.4: Разностью (дополнением к мнолсеству В) А ~ В назы- вается подмножество множества А, не входящее в В. Определение 10.5г Пересечениелг двух множеств А и В называется множество (обозначаемое А О В), состоящее из всех элементов, которые входят и в А, и в В. Очевидно; Л 'г В = А г 1Л О В). Если В е А, то 1А ', В ),) —. А . ( Дистрибутивностги Ц А, ) Д В = г ) 1А, Ц В) . 10.0.1. Мощность множества Конечные множества можно легко сравнить между собой, например, с помощью подсчета. Пример: сравнить число студентов, пришедших в аудиторию.
с числом стульев. Определение 10.6г Пусть даны два лгножества А и В. Говорят, что.лгежду их элементами установлено взаимно однозначное соответствие, если указано правило, по которому каждому элементу а е А соопгветствует один элемент Ь е В, называеиьт образом элемента ва», причеч выполнены следующие два углговггяг а) любые два элемента из А имеют различные образы; (г) любой элемент из В является образом некоторого эле.иента из А. Определение 10.7: Два множества Л и В называются эквивалентнылги илгг имеющими одинаковую лющность (обозначается Л - В), если .иежду их элеиентаии может быть установлено взаимно однозначное соотвегп- отвис. 133 К аткие све ения из тес ни множеств Очевидно, два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они состоят из одного числа элементов.
10.0.2. Примеры эквивалентных множеств 1. Множество Х всех натуральных чисел и множество Х, всех целых от- рицательных чисел (и -+ -п). 2. Множество Х и множество Р всех положительных четных целых чи- сел: Ъ' и е Х вЂ” > 2л и Р— > Л~ — Р, Р е Л', Р ~ Ф. 3. Множество Е всех вещественных чисел и множество ! всех вещественных чисел и из интервала (-и!2лк!2) (у=1ах, х е !, у е Е).
4. Пусть ЛК!.М - треугольник произвольной формы, а А и  — множества всех точек Л! на сторонах КЕ и КМ соот- Ь ветственно. Рнс. 10.2 А, ВЗ В, В1 Рис. 10.3 Справедливы свойства; 1. ЕслиА — В, В-С то А — С. Введение в теорию фракталов 134 2. Если множество А = [)А„. причем слагаемые А попарно не имеют общих элементов, а множество В = [)В и слагаемые В„также попар- но не имеют общих элементов, и если А, — В,„при каждом и, то А — В. 10.1.
Счетные множества Определение !08> Множество называется счетным, есчи оно эквива- лентно множеству всех ггагпурс>зыгых чисел. То есть, если А — гч', то А — счетно. Согласно [5], справедливы следующие теоремы: Теорема 10.1: Сумма счетного множества счетных множеств — тоже счетное л|ножество. Теорема 10.2: Множество всех рациональных чпссл счетно. Теорема 1ОЗ: Множество Р всех олгебраггческш гюлиномов с рацггональ- ными козффгнгиентами счетно. 10.2.
Множества мощности континуума Теорема 10.4: Множество всех вещественных чисел, содерэкащихся в отрезке [0,1], неси«и>но. Определение 10.9> Говорят, что множество А имеет моигность континуума (обозначение: «с»), если оно эквиваэентно.иножеспту всех чисел из отрезка [О;1]. Замечание 10.1: Лгобогг промежуток /а, Ь/ имеет мощносгпь «сл (у = а + (Ь - а) х: (О, )) е-э (а, (>)). Следствие 1О.1: Множество всех вещественных чисел юиеет мощность «с». Теорема 10.5: Множество всех арра>>ног>альных чисел имеет моигносгпь «сж 135 К аткие све ения из тес ни множеств Можно рассмотреть вопрос о сравнении мощностеГз (подробности см., на- пример, в [5]), Континуум гипотеза 10.1: Не существует множества про.челсуточнои .мощности между могцностью счетного.чножества и мощностью вся, но существует множество.чощности больщей всл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
