Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002 (947395), страница 9
Текст из файла (страница 9)
со значительными трудностями, и мы это увидим на примере простейших нелинейных отображений, которые можно представить в виле одномерного комплексного отображения. Такие отображения наиболее изучены. Их исследование связано с именами Жюлиа [8], Фату [9), Монгола [! ! ), Суллнвана [12! и др. Одномерные комш1ексные отображения порождают наиболее популярные в последние годы фракталы Жюлиа, Мандельброта, г(ыотона и др. Этот раздел фрактальной теории, по сути, стал классическим, и мы изложим его основы в этой части. В главе 9 мы рассмотрим обобщение фракталов Жюлна на трехмерное гиперпространство, являющееся подпрострапством пространства кватерпиоцов.
Аттракторы Жюлиа и Ньютона являются отталкивающими (пеустойчиаыч) множествами. Для обратных отображений имеем аттрактор. Этн отобразкения индуцируют па аттракторе хаотические отображения. Точное доказательство хаотичности подобных отобран<ений имеется лишь в некоторых случаях наборов линейных или кусочно- линейных преобразований (систем итерированных функций [ ! 3!). Глава 6.
Одномерные комплексные отображения 6Л. Итерации комплексных функций. Множества Жю- лиа и Фату Множества Жюлиа дают наиболее впечатляющие иллюстрации того, как простой процесс может привести к чрезвычайно запутанным множествам. Итерации (отображения) г„, = 1(х„), и —. О, 1, 2, ...
с простой функцией на комплексной плоскости С, например с Г'(х)=-х' -ьс, где с — ненулевая константа, вызывают появление различных экзотических фракталов (см. рис. 7.1). Множества Жюлиа появляются в результате итераций фупкпии Р комплексной переменной к и относятся к дискретным динамическим системам. В общем, множество Жюлиа — это динамический репсллср (отталкивающее множество).
Как правило — это фрактал. Для функпий, которые являются аналитическими па комплексной плоскости 1и, следовательно, дифференпируемыми, то есть у ( ) — йши, Ьгэ) у(г))/гэ существует как комплексное число, где я а, ген СК мы можем использовать мощные методы теории функций комшзсксной переменной лла получения намного более детальной информации о структуре таких отпщкивающих множеств. 6.1.1.
Основы теории множеств Жюлиа Для улобства изложения мы предположим, что Р: С -+ С является полиномом степени и > 2 с комплексными коэффициентами, г (х) = а, + а,д + ... + а„д . Заметим, что с небольшими изменениями теория остается справедливой, если Р " радиональная функпия .7(к) =)1(-")= Р(здйд ггдс Р, 0 . по:шномы) на расширенной ком- Введение в теорию фракталов плексной плоскости С 'ь1(:с),и многое из нее выполняется, если « — мероморфная функция (то есть функция, которая аналитична на С 11(сс), за исключением конечного числа полюсов). Дадим краткое изложение основ теории комплексных отображений, следуя, в основном, Монтелю [111 и Фальконеру [21.
Будем обозначать через «'" А-ю итерацию (композицию) «' о ... ~ «' функции«: Если «[и>) = а>, то точку а> назовем неподвижной точкой/, и если « "(а>) = а> для некоторого целого р л 1 — то периодической точкой «; наименьшее«> такое, что « "(о>)=ш называется периодом щ Мы назовем щ Т(ш) ...,«''(оз) орбитой периода р. Пусть а> - периодическая точка периода р, с (« ') (а>) = Л, где штрих означает комплексное дифференцирование. Точка а>называется †притягивающ, если 0 < ~Х~ < 1; -. индифферентной, если Ц вЂ” — 1; отталкивающей, если Я > 1.
Множество Жюлиа .«[«') преобразования «определим как замыкание множества оггалкивающнх периодических точек «; Дополнение множества Жюлна называется множеством Фату [9, 10~ и обозначается через Г(«). Здесь мы исследуем геометрию и фрактальную природу множеств Жюлиа в случае, когда « — полипом. Мы покажем, что ,«[«) является инварнантным множеством как для отобра>кения «; так н для обратного отобра>кения « . то есть,« = «[.!) = «(,У). Также покажем, что множество Лнег>устое и компактное. Более того, итерации « ведут себя кхаотически» на,«, и,«обычно является фракталом.
г Обратимся к простейшему примеру, когда «1л) = д и, следовательно, «[г) = а . Точки, удовлетворяющие « " (г) = г, это [ехр(2>пд/(2" — 1)): 0 < г«< 2~ — 2). Они являются отталкивающими, Одномерные комплексные отображения 85 «>т'1а~=>' * „,.т >р,, ж . лиа У(У) — это окружность единичного радиуса: Я=1. Очевидно, ,У = У(У)= У (У) и У (2) + 0 при Уг -+ ес, если И < 1; У'(е)-я -"с, если ~е) >1 и итерации У'(л) остаются на У для всех У>, если Я =1.
Итак, множество Жюлиа,У является границей между множествами точек, которые стремятся к 0 и ее, то есть это — окружность. Конечно, в этом особом случае,У не является фракталом (рис. 6.1(а)). Изменим теперь немного функцию У положив ф)=х +с, где с — это небольшое комплексное число. Легко вилеть, что мы все еще имеем У (л) ь гз, если х мало, где и — это неподвижная точка У, близкая к О, и что ~'й(л) ь со, если я велико. Опять, множество Жю- лиа — зто граница между этими двумя типами поведав>и, но оказывается, что теперь .У является фрактальной кривой, схематически изображенной на рис.
6.1(Ь)). Чтобы установить основные свойства множеств Жюлиа, нам потребуется понятие нормальных семейств аналитических функций и теорема Монтеля . > Пусть УУ является открытым множеством в С, и пусть я> . УУ -+ С является семейством комплексных аналитических функций (то есть функций, дифференцируемых на б> в комплексном смыслеУ. У"оворянп, чн>о се.кейса>во ~К> ~ является нори>гльным на С> если л>абая последовательность функ>1ий, выбранных из ге,'е ~, инеет подпоследователт ность, которая сходится равномерно на любом компактном подмножестве >Улибо к ограниченной аначатической функиии, либо к аа Заметки, что по стандартной теории комплексной переменной это означает, чп>о подпоследовательность сходится либо к конечной анати- Читатели, которые хотят опустить зтн технические подробности, могут перейти к главе 7.
Введение в теорию фракталов тической функции, либо к аг на каждой связной компоненте ~/. В первом случае производные подпоследовательности должны сходиться к производной от предельной функции. Семейство (б,~ является нормальным в точке т множества К если существует некоторое открытое подмножество Г~(/, содерлгащее т такое, что ~дг~ является нормальным семейством на Г. Это эквивалентно тому, что существует окрестность Р точки щ в которой каждая последовательность из имеет подпоследовательность, равномерно сходящуюся к ограниченной аналитической функции или к с. !пг с !та Кес Ь)с и О Рис. 6.1 Теория множеств Жюлиа основывается на фундаментальной теореме Монтеля.
Эта глубокая теорема утверждает, что ненормальные семейства функиий принимают все комплексные значения, исключая возможно одно около каждой точки. Теорема Монтеля б.1 [11)г Пусть ~д ~ явллетсл сечействоч кочплексггых аналит>>лесках функций в открытойг области Еl. Есгги )а ~ не являетс» ггормальнвич сечействоч, то для всех со а С, с не более чет Одномерные комплексные отображения 87 одним искто >ением, мы ичееи д„(г) = т для некоторого - и 1У и некоторого Ус Мы проверим иоргаальиость итераций комплексного полино- ма У.
Определим ,У (У) = ( и Г: семейство) « ~ ! ие нормально в г) . 1 6,1 ) Используя теорему Моителя, мы покажем, что У„(У) совпадает с замыканием отталкивающих периодических точек, то есть с,У(У'), Фактически 16.1) часто рассматривается как определеиие множества Жюлиа. Хотя наше определение .У(У) интуитивно более понятно, ,У„(У) гораздо легче для исследования.
Мы выведем несколько основных свойств,У,(1) с конечной целью показать, что,У(У) =,У,(У'). Заметим, что дополнение «о1.У) = С > Ус(У ) = 1г и С и таких, что существует открьпое множество 1«с и 1«и семейством («1, иормальиымпа 1') 16.2) Уя) является, очевидно, открытым множеством. Утверигдеиие 6.1. Еа>и У вЂ” нолиноэ>, то .У,(У ) козтоктно.
Доказательство. По вышеприведенному замечанию .У,(У) имеет открытое дополнение, поэтому опо замкнуто. Так какУ'- полипом степени, по крайней мере, 2, мы можем найти такое «, что ~Щ > 2Ц и ~У'(г~ > 2'«, если ~г~ > «. '1'аким образом, У""(а) — эдас равномерно иа открытом множестве 1' = )г > Ц > «). По определению, (У >) нормально иа 1; так что 1' ~ С '>.Уе1 У). 1 аким образом, .У,(у ) ограничено и поэтому компактно.
13аметим, что если У: С ) ) (=с) -+С Д (с) является рациональной функцией, то .Уе должио быть замкнуто, ио ие обязано быть ограничениым. Действительно, возмо>кис,Ус будет всей комплексной плоскостью; например, если У(г) = ((г — 2)У' ) .) Введение в теорию фракталов Утверждение б.2..>',(г ) не пусто. Доказательство.
Предположим, что,/„ф=. Я. Тогда, для любого г> 0 семсйство (т"') нормально на открытом круге В„"(0) с центром в начале координат и радиусом г (так как замкнутый диск В„(0) является компактным, он может быть покрыт конечным числом открытых множеств„на которых /~ нормальна). Так как,> — полипом„взяв г достаточно большим, полу >им, что В,'(0) содержит точку -, лля которой ~ Г'Ц вЂ” э ~ и также содержит неподвижную точку а> преобразования у ~'(а>)=т шчя всех >с Таким образом, невозможно для любой полпоследовательности (т') равномерно сходиться либо к ограниченной функции, лабо к бесконечности на любом компактном подмножестве В„(0), которое содержит как ж так и а>„опровергая нормальность Утверждение б.З, 3,Я является илаариантнььи как д»я ~; так н для~, то есть,>„= >'(,>ь)= ~ '(>„).
Доказательство. Мы покажем, что дополнение Р,(г') — инвариант. Пусть У- открытое множество с (> ) нормальной на У, Так как> непрерывна, то 1' '(У) — открь>тое множество. Пусть (гь) является подпоследовательностью )у~). Тогда (Гь ') имеет подпоследовательность (/ ' ), которая равномерно сходится на компактных подмно>кествах У Таким образом, если Р— компактное подмножество )' '(У), то >> ' ) равномерно сходится на компактном множестве 1(Р), поэтому равномерно сходится на Р. Таким образом, () ~) нормальна на /' '(У), поэтому Р'„~/' '(Р;).
Другие требуемые вкточения могут быть получень> аналогичным способов, используя то, что полипом г: С -+ С вЂ” открьпос отображение, то есть, что ф') открыто, когда У открыто. Одномерные комплексные отображения 89 Утверждение 6.4..У, (У' ) = У, (У') для любого гнтоэгсипгель ново Чел ого р. Доказательство. Снова мы работаем с дополнением Р;. Очевидно, если любая последовательность (У') имеет подпоследователь- ность, равномерно схоляшуюся на паннам множестве, то же самое верно для (У" )„,. Таким образом, г;(У)- г;(У'"). Если 0 компактно и (8, ) семейство функций, равномерно сходящихся на В либо к ограниченной функции, либо к ю, то то же самое верно для (Уг ь я, ) для любого полинома Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
