Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002 (947395), страница 13
Текст из файла (страница 13)
для случая А = 5, а = 1. Ф акталы 11ьютона 2 Рис, 8, 2. Фрактал Ньютона нри к = 4, а = 1 Рис. 8.3, Фрактал Ньютона ири /с= 5, а = 1 Глава 9. Элементы гиперкомплексной динамики Здесь мы рассмотрим квадратичное отображение в 3-х мерном гиперпространстве 1з' з, исслсдуем свойства замыкания множества отталкивающих точек, которое является аналогом множества Жюлиа [22). В заключение приведем компьютерные визуализации этого множества.
Далее, следуя [23), рассмотрим задачу построение цветных паттернов (мозаик) в трехмерном гиперпространстве О, обладающих опре- 3 деленным типом симметрии. Предваряя эти результаты, начнем с гиперкомплексных чисел. 9.1. Гиперкомплексные числа и кватернионы Гиперкомплексные числа имеют вид (см., например, [24)) и г=~~1 а[ »=о 19.1) где а> — произвольные действительные числа [п„н й>), а 1„— некоторые символы, которые называют кмннмыми единицами». Иногда говорят, что имеется и+1-мерное пространство с базисом 1, 1„..., 1„над полем вещест> венных чисел )т' . Над выражениями (9.1) будем производить действия Р » сложения [вычитания) по формулам ~п, з.
~1>; — ~[а .ь1> ); . Для ыо >» определения кумножения>> необходимо задать ктаблицу умножения»„т. е. указать, чему равны всевозможные произведения 1»1>, /г,1 = 1,2,..., н. Задание разных ктаблиц умножения» приводит к разным системам гиперкомплексных чисел, Например, в случае комплексных чисел, когда н=п 113 Элементы гипс комплексной инамики табл>гпа умножения сводится к единственному равенству >' 1 = †1 >'.
В случае и=3 определим табл>пзу умножения следующим образом: — 1 3 2 (9.2) — 1 1 — — 1 1 Таким образом, !',1„= — 1 и умножение некоммутативно. Введем обозначение Ь = >, >, = ~', >, = к, Тогда из (9.2) следует >> = / = А> = > >' 1с = — П В этом случае гиперкомплексные числа д = а ь Ь> -~ с~'+ гй, а, Ь, с, сУ н )1', (9.3) называются кватернионами. Соотношение (9.3) можно представить в виде Д=и+>9, и=с>.~.Ь>,. >>=сч.й, и,геС.
Здесь через С обозначено пространство комплексных чисел. Через Н 4 4 будем обозначать пространство кватернионов. Для любого д е Н (также как и в пространстве С) можно определить сопряженный кватернион: с> = а — Ь1 — су — сй. По аналогии с комплексными числами число 3 3 2 2 а +Ь +с +и> =~0~ называется модулем кватерниона д. Справедливы следующие соотношения ~ П ~= Я =~ и ~ + ~ 3' ~ . Наконен, ги- перкомплексная система кватернионов .- это система с делением. Гн»еркомш>ексные системы н, в частности, кватернноны хорошо известны шн ебраисзам. Здесь мы будем использоваты иперкомплексную систему при рассмотрении кдинамической задачи» об отобра>кениях, обобщающих известное отображение Жюлиа.
9.2. Отображение Жкзлиа в гиперпространстве Рассмотрим отобра>кение (дискретную дннамическу систему) -,, = Т'1д ), и = 0,1,2,..., д е Н', (9.4) Введение в теорию фракталов 114 где у (д) = Р,(з) — полипом степени и, коэффициенты которого, вообще говоря, являются кватерннонамн. В качестве примера такого отображения рассмотрим квадратичное отображение ам 1 =а -~-ф л,дБН г я 19.5) где О = а + Ь1 + с1 ч- сй -- вещественные параметры. Многое из того, о чем мы будем говорить, переносится на отображения = „= Р„(г„, ), где и ) 2 . Исследование (9.5) сведем к анализу траекторий отображения (9.6) у „=2х,„ум+Ь р„„, =2хирв+с (9.7) Если ге =О и г1 =О,то г =О, т=Ь2,.....
Вэтомслучаеотображение (9,7) сводится к 3-х мерному отображению (9.6): 2 2 2 Хн„, =Хн — у„, — рн+а у, =2х„,у +Ь рн„=2х р +с (9.8) з 4 где Н вЂ” подпространство пространства Н, элементами которого явля- 1 кпся всевозможные гиперкомплексные числа а+И+су, а, Ь„с е гг . Разделяя в (9.5) действительную и мнимые части (7(д) = 7, + ~ ) ч- Я+ 741г ), приходим к вещественному отображению в тг'": 115 Элементы гипс комплексной инамики А именно, это отобра>кеиие мы и рассмотрим в данном разделе. Будем называть его 3-х мерным отображением Жюлиа и обозначать через )Ю.
Если в (9.8) положить с=О и ре = О, то это отобраягеггие в свою очередь сведется к рассмотренному в гл. 6-7 двухмерному отображению Жголиа 32Р: 2 2 Наконец, если 6=О и ув — — О, то (9.9) приводит к одномерному (логистическому — 1о81зг)с >пар) отображению 31Р: 2 х „г=х„,+а (9.10) 9.2.1. Свойства отображения 330 Как мы заметили, справедливо Свойство1. Если с = О и )э = О, тод3В сводится к,/2О. Далее приведем другие свойства отображеи>гя 1313, снабжая их, по возможности, доказательством. Свойство 2. Обратное отображение 1 ~ ~(л) иисенг вид (9.1 1) р — с Р= 2 Свойсз'во 3.
Пргг г> т с ~ О отображение (9.8) имеет в оершгиченной 2 2 чатни пространства гг две неподвижных точки 0,(х',у', р') и Введение в теорию фракталов 11б Ог(х",у",р"), где х'=, у'= гэа, р'= са и х"= 2а 2а уо= — Ьа,р"= — са, а— Свойство 4. При выполненииусловий гэ + с ~ О, ( х')< 0.5, х' +у' +р' < 0.5 неподвижная точка О, устойчивая, а 0 всегда неустойчивая. Доказательство этого свойства следует из того, что для точки О при указанных условиях мультипликаторы )гг лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости ! Ке р, 1гп и), а для О имеется корень вне единичной окружности. Здесь,Иг г з — корни характеристического уравнения !2х —,и)!12х —,и) ч.
4!у '+р*')1 = О, где 1Х,у,р ) — одна из неподвижных точек. Свойство 5. При Ь = с = 0 и а Е !'-О. 75,0.25) сущестщэет единственная н „д „. „,„„. (1- )1-4а 1 и един „нн г 1-1- эг'! — 4а устойчивая неподвижная точка г) 0 О . При а = 0.25 2 эти неподвиэкные точки сливаются и пргг аг025 исчезаюпг; от сложной точки 10.5,0,0) родится инвариантное тножетпво — цикл: х = ~1/ у э. р = . Па интгрваге а е тэ — 2 — 0.75) гоиеетсн счет- г г 4а — 1 /'2 ' 4 нее тножестоо подынтервагов существования устойчивых периодических точек. 117 Элементы гипс комплексной ннамнки Доказательство существованггя счетного множества подынтервалов с устойчивыми периодическими точками следует из редукции УЗО к догистическому отображению 11 0 (9.10). Обозначим через УЗВ(0 замыкание множества отталкивающих (неустойчивых) точек отображения УЗгг::= У(е,й) = з~ -д, л,.гУ н УУ', Иногда это множество мы будем обозначать через .УЗВ(а,д,с).
Множество ,13010 является 3-х мерным аналогом множества >К!одна Л0(У). Как чы заметили выше, это множество может не содержать неустойчивую неподвижную точку (из-за ее отсутствия). Свойство 6. УУри ~>У =0 (а=Ь.— -с=О> .>гножество,УЗВ(0,0,0) нрннадле- 2 2 2 жит сфере Х + У + Р = 1 гг ггдуггггрованное на ней отображение яв- ляется хаотическим. 2 Действительно, и = л и сфера является отталкивающим множеством. 'г"ак как в силу (8) имеем и+! =, то множество УЗВ(0,0,0) расРнн! Р.! слаивается на окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащие в плоскости, проходящей через ось Х и прямую Уь р.ОтобРажение на окРУжности Г(е'~) = ег'в, о н (0,2>г), как Рь известно (18).
хаотично. Этот факт указывает на возможность хаотичности отображения.УЗВ намножестве УЗВ(а,Ь,с) при а +Ь +с тО. Свойство 7. >Множество,УЗЫ(а,0,0) синметргтно относипгельно осей У,Р гг нри малых сг лежит на поверхности враи)еггия относительно оси Х. Свойство 8. Есги ~ д ~> 2 и ~ л ~> гУ, то гк>бая траекторггя отображения .УЗВ стреиипкя к бесконечноспп!. Введение в теорию фракталов 118 Доказательство повторяет соответствующее доказательство для У222 12,181.
Пусть ~ гУ ~= 2 + с, где ь' > О малое число. Тогда ! У(г,ч) )=(г + гУ )>)г' ( — (1т )>(г !' — ! г И г ((! г ( — 1) > 1 = ! (~ гу ~ — 1) >~ г ! (1+ с). Далее получаем ) У'~" (г, гУ) ( > ( У'(г, д) ) (1+ с) > ( ! (1+ с)-,... ) у 1" (г, 11) > ) г ( (1+ с)" .Следовательно, у Ю (г, гу) — ь со прн и — ь оо Свойство 9.
Множество,УЗУэ(У ) лежшп в оераниченной области проз странства Л и является границей области притяжения бесконечности и устойчивых точек. Доказательство. Первая часть свойства 9 следует из устойчивости беско- нечности, а вторая -. нз определения .У3.0(У ) . По аналогии с .У2.0( У ) последнее свойство множества,УЗУ2( У ) можно принять за его определение. -1 Свойство 10. Дтя обратноео отображения У множество .У30(У) аттрактор. Это свойство. а также свойство 2 будем использовать при компьютерном построении множества.УЗ О(У ) .
Свойство 11. Множество,УЗхэ(У) инварианпто относительно и Свойство 12. Если итерации точки (хь — — а,уь =Ь,рь =с! неуходят на бесконечность, то множество .УЗУз(а, Ь, с) связно: в противном случае это множетпво может содержать как связную, так и несвязную компот ненты. При ~ гУ ~= а + Ь + с > 2 лтолсество УЗУ2(а, Ь,с) вполне нес вез но. Элементы гипс комплексной ипамики Рис.
9.1. Многкество ЛЗВ10.1,0.5.02) 120 Введение в теорию фрактадов 1 2 у аа .О 4 а4 88 12 аа 1 2 ОБ 84 аа Р -а 4 -а а -1 2 -а4 аа 84 аа 12 -аа -1.2 18 аа у аа -1 Б -18 -12 -ОБ -81 ОО 81 ОБ 12 1Б Р Рис. 9.2. Проекпии мноакества 33Щ0.1,0.5.0.2) на координатные плоскости. Элементы гипс комплексной инамики 6 г 16 12 08 О6 у -О 4 -О В -1 2 -1 6 -1.2 -О В -О 4 О О О 4 О В 1 2 1 б н Рис. 93. Часть множества ЗЗР(0.2,-0.1,1.2) и его проекция на плоскость (и ). 022 Введение в теорию фракталов Рис.
9.4. Множество 130(0.2,-0.1.1.2). Элементы типе комплексной инамнки к аа -О 4 -ао -1 Б 00 12 -1 2 -*)8 -П4 00 04 12 00 04 Р 00 Оа -1 2 -1 2 -а а -а 4 а а 0 4 о 8 ОП -О4 аб 12 -1 Б -1 б -1 2 -0 8 -О 4 О О О О 0 1 2 1 Б 10 Рис. 9.5. Проекиии миогкества 130(0.2.-0.1,1.2). 124 Введение в теорию фракталов Рис. 9.6. Множество 1313(0.2,-0.1.1.4). Рис. 9.7. Часть множества 3313(-0.75,0,0). Элементы гипе комплексной инамики 12 08 а4 у оо -04 -08 -1 8 -1 2 -О 8 -0.4 0 О О 4 0.8 1.2 1 8 Р Рис. 9.8. Проекция части множества )ЗО(-0.75,0,0), представленного на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
