Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002, страница 8

А. Г1уанкаре указал на возможность существования в динамических системах гомоклинных и гетероклинных движений, Позже было доказано, что в окрестности гомоклинных движений решения ДС ведут себя квазислучайным образом. В настоящее время сложную динамику в детерминированных ДС связывают с терминами «хаос» и кстохасеичность». Мы не будем здесь касаться этого достаточно сложного раздела в современной теории ДС, а лишь проиллюстрируем возможность возникновения сложной динамики иа наиболее простом примере одномерной дискретной ДС.

5.2.1. Модель ограниченного роста популяции Предметом обсуждения в данном примере является математическая модель ограниченного роста популяции, которая описывает число насекомых (скажем, мух) в последующих поколениях. Введем в этой задаче масштабирование так, чтобы число мух определялось числом между О и 1. Модель неограниченного роста очень проста: х ~ = а х„, и = О, 1, ...

Это означает, что в каждом поколении будет в ка» раз больше мух, чем в предыдущем поколении. Показатель а называется показателем Мальтуса (по имени экономиста Мальтуса (17бб- 1334), который посвятил свою жизнь изучению моделей рост). Число Мальтуса можно интерпретировать как степень плодовитости популяции насекомых. В 1845 г. Верхольст вывел отсюда модель ограниченного роста: Т: х„, = ах„(1 — х„). (5.1 ) Это и есть одномерная дискретная динамическая система — отображение Т. Действительные биологические модели, конечно.

более сложные, 76 Введение в теорию фракталов Обратимся к исследованию модели (5.!). Положим 0 < а < 4. Тогда итерации х„не выходят из единичного отрезка [О, 11. График функции у = д(х) = ах (1 — х) показан на рис. 5.5. Рис. 5.5. График функции у = ах (1 — х) Пересечение графика функции у = я(х) с прямой у = х определяет неподвижные точки отображения (5.1). На рис.

5.5 также показан итерационный процесс, сходящийся к неподвижной точке. Глядя на этот рисунок, нетрудно понятгь что нетривиальная неподвижная точка х'" будет устойчивой, если ~у'(х'в)~ <1. Обратимся к более строгому анализу отображения (5.1). Из уравнения х — а х (1 — х) находим неподвижные точки х"' = О, х"' = (а — 1)/а . У!инеаризуя отображение (5.1) в окрестности неподвижной точки, получаем х„„= а(1 — 2х"')(х„— хо'7', я = 0,1. Число р= ~а(! — 2х ) является мультипликатором неподвижной точки. При !г < 1 неподвижная точка устойчивая, а при ц > 1 — неустойчивая.

При р — 1 устойчивость неподвижной точки определяется нелинейным членом. Случайность во фракталах 77 При 0 < а < 1 отображение (5. !) имеет одну неподвижную точку на отрезке (О, 1), при 1 < а < 4 — две неподвижные точки: х'" = О, х'л = (а — 1)/'и . Соответственно, величина р равна а и 2- а. Поэтому при 0 < а < 1 имеем единственную устойчивую неподви>кную точку хв!. При а= 1 эта точка теряет устойчивость и при 1 < а < 3 нмссм другую устойчивую точку х! !.

Если 1 < а 2, то последовательность х„асимптотически приближается к хн! с одной стороны, а при 2 < а < 3 с двух сторон (в этом случае последовательность косниллируетл относительно точки х ). (0 Таким образом, для биологической модели важно, что прн 1 < а <3 имеется устойчивое решение. Г!ри дальнейшем увеличении параметра а неподвижная точка хп! теряет устойчивость. Куда же будет сзремиться последовательность х„, если хе взять вблизи хн!? Оказывается, к периодической периода 2 точке. Такая точка находится из условия х = Т(Тх) — — 7 х или л — — а'х(1-. х)(1 -- ах(! т)), или из уравнения а (1-.

х)(1 - ах(1 .- т)) = 1. Далее приведем компьютерные результаты для бифуркационных значений параметра а, т. е, дпя значений а, при которых периодическая периода р = 2' точка теряет устойчивость: 3 (/ — О), 3.449499 (/= 1), 3.544090 (/ — 2), 3.564407 (/ — -3), 3.568759 (/ = 4), 3.569692 (/ = 5), 3.569891 (/' = 6), 3.569934 (/ = 7). Последовательность бифуркационных значений аз сходится к значению а =3.569946 и похожа на геометрическую прогрессию, ибо а,,— а, Г = ' ' ' м 4.6692016.

г Число Г называется постоянной Фейгенбаума, который первым обнаружил такую закономерность в последовательности (а,). Описанное нами явление удвоения периода в модели х -ьах(! "х) напоминает фрактад, основанный на двоичной системе с показателем масштабирования, равным числу Фейгенбаума. Удвоение периода останавливается на значении а м 3.569946. Что язе произойдет при дальнейшем увеличении а? Оказывается, будет наблюдаться чередование апериодического (хаотического) движения с Введение в теорию фракталов периодическим.

Например, около значения а = 3.83 существуют устойчивьте периодические точки периода 3. При а = 3.841 этн точки теряют устойчивость и далее возникают устойчивые периодические точки периода б (или, как иногда говорят, цикл периода б). Далее этот процесс кудвоению> периода тройных точек идет подобно описанному выше процессу удвоения периода. Оказывается, что на интервале (а, 4) существует бесчисленное множество кокон» существования устойчивых периодических точек.

Впервые подобный результат был получен украинским математиком А. И. Шарковским в бО-х годах ХХ века. Удвоение периода является одним нз сценариев перехода к хаосу. Этот сценарий называют обычно сценарием Фейгенбаума. При а = а. имеем хаос — апериолическое движение. Итак, при а, < а < 4 модель (отображение) ведет себя либо хаотически, либо периолически. Рис. 5.б показывает нам чередование этих областей, а также бифуркации удвоения периода.

Рнс. 5.6. Порядок и хаос в модели ограниченного рос- та популяции к -+ ах (1 — х) Случайность во фракталах 79 На рис. 5.7 представлен в увеличенном виде фрагмент рис. 5.6. О 3.8 3.9 Рис. 5.7. Увеличение предыдущей лиаграммы вблизи и = 3.83 Введение в теорию фракталов 80 Наряду с моделью (5.1) можно использовать модели: х = )(х,а), где)' = аз)пгж, )' = х ехр(а(1 — х)), (5.2) !' = х(1 та(1-х)),)' = (1 еах) Для этих моделей интересующийся читатель может сам построить бифуркационные диаграммы, подобные той, которая показана на рис. 5.б.

5.2.2. Определение детерминированного хаоса по Девами 120) Рассмотрим отобраягение ! (х) метрического пространства ( Х, ьгг ) в себя: 1 (х): Х вЂ” + Х . Здесь аг — метрика в пространстве Х . Например, если в качестве Х взять евклидова пространство Я", то в качестве метрики можно рассматривать евклидова расстояние ((,) ~( )2 ыг Определение 1.

БИем испывать отображегше /(х); Х вЂ” +Х хаотическим, если: !) ) обладает сугцеспгвенной зависичостью оиг начальных условий; 2) ! транзитивно; 3! периодические точкгг !' иютны в Х. Определение 2. Пусть х е К, а () — открытое множество, содержащее х. Говорят, что отображение ! обладает существенной зависиносгпью от начальных условий, если для некоторого ос > 0 с)чг!ествуепг такое целое число п>0 и такая гпочка У Е (), что й()'м(х) ! г"г(у)) > б- Случайность во фракталах 81 Определение 3.

Опюбражение г называется транзнтивным, если для любой пары 1з', 1г открытых множеств существует такое и > О, что гг 1"1ГгггЗ Л р' ~ я . Определение 4. 1оворят, чпго периодические точки отображения у плотны вХ, если в любой окрестности любой точки Х снцествует по крайней мере одна периодически» точка 1й, следовательно, беско»ечно.нного пергюдических точек). В работе 121! было показано, что в случае непрерывной г условие 1) в определении хаотического отображения является избыточ- Заметим такгке, что сушествуют и другие определения хаоса.

1 1 11етрудно показать, что отображение окружности /: Я вЂ” + 5, в ъв определяемое соотношением у 1е ) = е, является хаотическим. В качестве примера рассмотрим отображение (5.1) при сг = 4, т.с. нрн 1'г',х) = 4к(! — н), х АЙ!0,Ц, делая замену х =яп гз, придем к отображению огг = 2оо пзос!гг, которое является хаотическим. Часть 2. Введение во фрактальную динамику В предыдущей части, где мы рассматривали конструктивные фракталы.

было показано, что в основе их построения лежат линейные двумерные отображения. В послелнем параграфе первой части мы познакомились с нелинейным одномерным отображением, которое является простейшей моделью ограниченного роста популяции. Было установлено, что повеление итераций х„„= а х„[1-х„) может иметь хаотический характер (например, при а = 4). Здесь мы пойдем дальше и рассмотрим некоторые классы двумерных нелинейных отображений, которые относятся к дискретным динамическим системам. Наша цель — показать, что в таких отображениях могут существовать фрактальные структуры или фракталы. Анализ нелинейных динамических систем сопряжен, как правило.