Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002, страница 4

Этот же феномен можно обнаружить, используя одну карту, но применяя каждый раз все более и более мелкие единицы измерения. Полученные Ричардсоном значения лежат вблизи прямой линии (см. рис. 2.1). Тогда !я5' = — 0.22!яач!я5',, (2.1 ) Введение в теорию фракталов 2.2. Степень изгибания кривой (первое знакомство с фрактальной размерностью) В математике существует несколько различных определений размерности, наиболее известна топологическая размерность. Идея определения размерности была высказана еще А. 11уанкаре. Размерность пустого множества полагаетсн ровной «-1» и д<мсе по т<дукпим Еслг< мы знаем, что такоеризмерноснгь до п-1, торизл<срность и некоторого.ипил<светка означает, что втг можно разбить на сколь угодно мелкие чисти мн<гжвспгваиг< размерности и-1 и нельзя зт<гго сделать мнол<сестваг<и риэмерностг< п-2.

Точка, линия, поверхность имеют, соответственно, топологические размерности О, 1, 2. Более точное понятие топологической размерности ввел нидерландский математик Брауэр (1881 — 1966), Другие математики (Хаусдорф, Безикович, Колмогоров) определили размерность по-другому.

Их определения необязательно дают целые размерности (подробности смотри в главе 12). Вернемся к зкспсрименгу Ричардсона. Мы выбираем произвольно малую единицу измерения <гаги линейку. Затем измеряем длину кривой линии, заменяя се ломаной линией, составленной из равных отрезков длины «ая. Если линейка используется А< раз, то общая измеряемая длина равна А<а. Далее, а соответствии с определением Мандельброта, «~~гран<и<с<иная размерность» ломаной линии равна; Р =!пгп ( 2,3 ) 18— а Назовем Р «сттитыо изгибинияя кривой линии (границы).

Более точное определение фрактальной размерности и других «нецслыхя размерностей см, в главе 11. В некоторых слу гаях дробь в (2.3) имеет постоянные значения на каждом шаге. Тогда Р=— 18 А (2.4) 1 18— Фракталы н меандры нлн ж =(%)". Если обозначить 5' = Юа, то получим 5 =(1/а) (2.5) (2.б) 2.3. Кривая Коха В 1904 голу математик Кох дал пример кривой, которая нигде не имеет касательной.

Представьте кривую, состоящую из частей, каждая из которых бесконечной длины. Рис. 2.2 (р= 5) является хорошим приближением кривой Коха. Построение кривой Коха похоже на построение точек множества Кантора. 1!ачинаем с отрезка-основы: удаляем его среднюю третью часть и заменяем ее сторонами равностороннего треугольника 1см. рнс. 2.3).

Рнс. 2.2. Кривая Коха Эта формула показывает, как измеряемая длина увеличивается при уменьшении единицы измерения. Введение в теорию фракталов 26 Мысленно мы можем представить кривую Коха как предел таких операций. Если основа имеет длину 1, то фрагмент будет состоять из четырех отрезков, каждый длины ! ! 3 и, следовательно, общей длины 4,' 3. На следующем с шаге получаем ломаную, состоящую из 16 отрезков и пмеющую общую длину 16! 9 или 14,' 3) и т.д. Т.к. на каждом шаге о !84 184' 183 183 Рис.2.3. 11оследовательные приближения тспияой Кох» ( 2.7 ) то можно применить формулу 12.4).

Тогда фрактальная размерность 13 = =!.26... !83 (2.8) Кривая Коха самоподобна; каждая часть является миниатюрной копией целого, Можно попробовать самим написать программу построения кривой Коха для случаев, когда основа — отрезок или многоугольник. Для облегчения этого задания дадим анализ построения кривой Коха. Фиксируем степень приближения р. Это означает, что мы будем применять «р» преобразований к «о«ноешь Если основа — это отрезок, то результатом будет ломаная линия, состоящая из 4' отрезков равной алины 3'". Будем нумеровать отрезки от О до 4г — ! включительно, Для каждого шага (соответствующего индексу и) должен нарисоваться отрезок, точнее говоря. вектор.

Направление вектора определяется следующим образом, Запишем индекс и отрезка в чствсричной системс. Например, для отрезка с номером 482 ломаной линии порядка 5 (р = 5) мы получим; 482 = 1 " 256 + 3 «64 + 2 «16 «О я 4+ 2, т, е, 482 равно 13202 в четвернчпой системе. Каждое из четырех возможных направлений (на Фракталы и меандры самом деле можно говорить о двух) определяется числом, как показано на рис.

2.4. Тогда мы найдем направление отрезка с и = 482: Ф = — еО+( — — ) ч-Ое( — — ) = — —. Общая формула имеет вид; Н=~, +1,4+1,4'+ "+1л,4к ' Ф = а[у,)+а['г,)+а['г,)+ "+а['1,,) [2.9 ) Рис. 2.4. Фрагмент фрактача Коха В нашем примере а[0) = а[3) = О, а[! ) = и! 3, а[2) = — л13. 1.!а рнс. 2.5 показано. как отрезок с и = 482 получается из первоначальной основы. Здесь мы пренебрегли масштабом. Удобнее использовать для л в формуле [2.9) не целые числа, а четверичные дроби, имеющие р цифр после запятой. Для зтого достаточно поделить номер р ! 482 482 на 4" ~, = =0.13202 . Если р -ь:ю, то длина каждого отрезка ~ 4' 1024 стремится к нулю, то есть отрезок превращается в точку.

Тогда кривая Коха является образом единичного отрезка [О, 1]. Введение в теорию фракталов 28 Р. ! 3, , () е У 0 Л; з 4) (5 ) Рис. 2.5. Фрактал Коха и четверичная система счисления Кривую Коха можно строить на сторонах правильного многоугольника (т. е. основа — правильный многоугольник), при этом получаются довольно красивые картинки. Вели в качестве основы взять равносторонний треугольник. а в качестве фрагмента — фрагмент Коха, ориентированный наружу треугольника, то получим фигуру, представленную на рис. 2.6 (р = 5).

Мандельброт назвал ее островом Коха. Ориентируя фрагмент Коха внутрь треугольника, получим иную фигуру, представленную на рис. 2.7 (р = 5). Ъ 2) 2.4. Вариации на тему кривой Коха 2 е / 29 Фракталы и меандры тт в ст з у Рнс. 2.6. Остров Коха Рис. 2.7. Остров Коха„ориентированный внутрь треугольника Зо Введение в теорию фракталов Основа Фрагменто†меандр Рис.

2.8. Основа и фрагмент для построения фрактала Минковского Основа и фрагмент, показанные на рис. 2.8, позволяют построить фрактал Минковского. После четырех шагов получаем фигуру, представленную на рис. 2.9 (р = 5). чн 4' ,;Ф 4у ( 1ьг "р ~$Р и ага ~~~ ~Ь' 4~~~1 ы' ~Ък ~Л~., в')'.з.. 'Фф '~ ег); д абдт 4з ьггл Рис. 2.9. Фрактал Минковского В этом случае также можно использовать формулу (2.4) для вычисления В: 18 У 18Л~' ( 2.10 ) 18 ~г — 18а При Л' = 8, а = 1/4, где а — длина отрезка, получаем.0 = 1.5.

31 Фракталы и меандры Попробуйте написать программу построения приблюкения для фрактала Минковского. Эта программа очень похожа на программу построения кривой Коха за исключением того, что здесь удобнее использовать восьмеричную систему счисления. 2.5. Общая схеыа построения конструктивных фракталов Теперь мы можем рассмотреть более обшую процедуру (алгоритм) построения подобных фракталов. Предполагаем, что основа состоит из и отрезков, а фрагмент из г отрезков. Вершины для основы и фрагмента должны быть явно заданы.

На рис. 2.!0 точка О является началом координат, т. е. имеет координаты (О, 0), точка Е имеет координать1 (1, 0). Рассмотрим точки РКО.4, 0,2), Рз(0.6, -0.2). Тогда ОР1 =. Р|Р = Ргб= 1/зГ5. 2 Рис. 2.10. Фрагмент в декартовой системе координат В качестве основы возьмем, например, квадрат с вершинами (1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1). Тогда и=4, к=3', вершины основы: (1, 1), (-1, 1), (-1,-1), (1,-1), (1, 1); вершины фрагмента: (0.4, 0.2), (О.б, -0.2).

Зададим также порядок аппроксимации Р. Тогда из отрезка ОЕ образуется ломаная с /-1 вершинами. Дги вычисления координат вершин используется преобразование подобия зг Введение в теорию фракталов Рис. 2.11. Преобразование подобия При этом О (О, О) -+ О'(ть у1), Е(1, О) -+ Е" (х,, уз), Р(х,у) — + Р' (х', у'). Подробнее о таких преобразованиях будем говорить позже, в главе 4.

2.5.1. Варианты 1) Основа: квадрат с вершинами (а1,:1) Фрагмент; Рис. 2.12, Фрактальный остров 33 Фракталы и меандры квалрат с вершинами (ь), Ы). Фрагмент; Рис. 2.14. Остров фьордов квадрат с вершинами (ь1, ь1). с промежуточными точками (0.4, 0.2), (0.6, — 0.2). и = 4, т = 3, р = 6. Результат представлен на рис. 2.12.

2) Основа: с промежуточными точками (0.25, 0.25), (0.75, -0.25). и=4, к= 3,р= 6. Результат показан на рис. 2.13. 3) Основа: '." Р.~'..' * Рис. 2.13. Остров Минковского 34 Введение в теорию фракталов Фрагмент: с промежуточными точками (0.3, 0.3), (0.7, -0.3). и = 4, т = 3, р — б. Результат можно увидеть на рис. 2.14. 4) Основа: Рис. 2.15. Резаный квадрат квадрат с вершинами (ь1, Н). Фрагмент: 0 1 с промежуточными точками (0.47, 0), (0.5, 0.47), 10.53, 0). и = 4, и = 4, р = 5.

Результат представлен на рис. 2.15. Рис. 2.16. Ледовый квадрат Фракталы и меандры Основа: 5) квадрат с вершинами (+1, ь1) Фрагмент; 0 1 с промежуточными точками (0.5, О), (0.5, 0.33), (0.5, 0). и =4, а=4,р = 6. Результат показан на рис. 2.16. Основа: 6) Рис. 2. ! 7. Ледовый треугольник равносторонний треугольник с вершинами (О, 0), (0.5, 0.85), (О, ! ). 1 с промежуточными точками (0.5, 0), (0.375, 0.2! 65), (0.5, 0), (0.625, 0.2165), (0.5, 0). и = 3, г = б, р = 5. Результат представлен на рис. 2.17.

Зб Введение в теорию фракталов 7) Фрактал Леви. Возьмем в качестве фрагмента половину квадрата, т. е. отрезок заменяем половиной квадрата. Основа: 0 1 отрезок. Фрагмент: р=> 0 ! с промежуточной точкой (0.5, 0.5). н — 1, т — — 2, р = 13. Результат представлен па рис. 2.19. Рис.