Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002, страница 5

2 18. Последовательныс Предел кривой при р -> -.с приближения фрактаза Леви называется кривой Леви. На рис. 2.19 показано приближение кривой Леви при р = 13. Французский математик Том Леви (1886 — 1971) был одним из первых ученых, которые исследовали фрактальные кривые. Если в качестве основы взять квадрат, то получим фигуру, представленную на рис. 2.20 (р = 13). Кривую Леви можно анализировать так же, как и криву>о Коха.

Положение 2" отрезков р-го приближения определяется двоичным разложением: индекс и отдельного отрезка, считая от начала, записывается в двоичном виде и=>, зз,«2«1, «2'ч «1,, «2' '. (2.12) Далее вычисляем сумму $ всех двоичных цифр: ~««0 « "~р-~ ( 2.13 ) Направление и-го отрезка будет 1> — (по часовой стрелке). Ягт 2 р Фракталы и меандры Рис. 2.19.

Фрактал Леви Рис. 2.20. Ковер Леви 38 Введение в теорию фрактадов 2.6. Семейство драконов Проделаем следуюш>ю процедуру. Сложим полоску бумаги поперек вдвое. Повторим зто дважды. После развертывания получим полоску, состоящую из восьми кусков (см.

рис. 2.21). Посмотрев на эт> полоску в профиль, мы увидим ломаную линию. Этот зксперимент по сгибанию бумаги можно продолжить, но не очень долго. /7 Рис. 2.21. Последовательность сложений полоски бумаги Пусть угол в каждом сгибе один и тот же. Обозначим его через а. На каждой складке мы поворачиваем «влево» или «вправо»ч Введем параметр о', который принимает два значения: и' — 1 (соответствует повороту влево), !т -- -1 (соответствует повороту вправо). Тогда получаем следующие последовательности: (и) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 !4 15 1б '«ч 1 1 -1 1 ! -1 -1 ! 1 1 -! -1 1 -1 -1 1 39 Фракталы и меандры Тогда с)(16) =- сс(8) =- сс(4) —. с)(2) =- с((1) =.

1 сс'(! 2) = сс(6) = сс(3) = -1 с)(10) = с((5) = 1 Следовательно, имеем следующие правила: сс(п) =1, п =!я4ик т = 01,23,... с1(п) = — 1, п=3ч-4т, т =0,1,2,3,... с1(п) = сс(сс/2)( п = 2сп, т = 1,2,3,... ( 2.14 ) 2.6.1. Кривая «ДРикона» Ломаная линия на рис.2.23 (р=14) показалась похожей ее первооткрывателю Дж.

Хайверу на китайских драконов, поэтому она и получила название кривой Дракона. Эта ломаная не пересекает саму себя и, кроме того, оиа регулярно заполняет часть плоскости (заиятой драконом). Рис. 2.22. Часть кривой «Дракона» След>я правилу, приведенному выше, мы можем нарисовать ломаную линию, которая получается в результате огибания полоски любое число раз. Рис. 2.22 показывает ломаную линию с углом и = 100' при вершине и р= 6. Эта фигура состоит из 64 отрезков. Если положить а = 90' и начало линии в точке (О, 0), а конец — в (1, 0), то получим кривую Дракона, изображенн>ю на рис. 2.23 для р = 14 (2" = 16384 отрезков). 40 Введение в теорию франта.аов Рис. 2.23.

Кривая еДракани» Фракталы и меандры Можно немного скруглить углы, как показано на рис. 2.24. Рис. 2,24. Скругление кривой «Дракона» При р — 11 получим кривую, изображенную на рис. 2.25. Рис. 2.25. Сглаженная кривая ««Дракона» Глава 3. Спирали, деревья, звезды Фигуры и формы, о которых пойдет речь в этой главе., заинтересовалн еще древних греков. Пифагор доказал свою знаменитую теорему, построив фигуру, в которой на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в кдеревол. Внимание Архимеда привлекли спирали: он даже написал о них трактат. Один из видов спиралей носит его имя.

Спирали являются строительными блоками живого мира. Ядро клетки состоит из двойной спиральной структуры — ДИК, содержащей в себе генетический код формирующегося организма, Иногда и сами организмы имеют спиральную структуру, например, улитки. В неживой природе примером спиральной структуры может служить спиральная галактика. 3.1. Спирали Можно выделить три типа плоских спиралей (раскручивающуюся, Архимеда и роста), нз которых лля наших целей самой важной является спираль роста.

Остановимся кратко на двух других типах спиралей: 1) раскручивающаяся спираль, 2) спираль Архимеда. 1) Раскручивающаяся спираль (рис. 3,1). Когда мы разматываем нить с катушки. держа се все время натянутой, то конец нити описывает спираль. Читатель, используя рнс. 3.1, легко сможет представить именно тот случай, о котором мы говорим. Декартовы координаты точки Р на спирали находятся по формулам: х = и(созгр+грз1п р) (3.1) у = и(гйп (е — гр соз (а) где (и,(д) — полярные координаты точки А на катушке (черный круг на рис.

3.1), 1х, у) — координаты точки Р (см, рис, 3.1). 43 Спирали, деревья„звезды Рис. 3.1. Раскручивающаяся спираль 2) Спираль Архимеда (рис. 3.2). В полярных координатах уравнение спирали Архимеда имеет вид: г= ар, (3,2) где а > О - постоянное число, определяющее расстояние между соседними витками. Рис. 3.2. Спираль Архимеда 3) Спираль роста (логарифмическая спираль), В полярных коордипатах спираль роста имеет вид: 1пг = ар ( 3.3 ) 44 Введение в теорию фракталов Рис. 3.3. Три последовательные точки логарифмической спирали Для логарифмических спиралей справедливо соотношение: гг 3 2 1и — '=1и —, или — = —, или г, =г,г,. (3.

4) г, 2 1 Следовательно, гэ является средним геометрическим г~ и гь Иначе говоря, полярные радиусы гь гь гь , последовательных точек логарифмической спирали Рь Рь Рл ... при увеличении полярных углов на постоянную величину ка» образуют геометрическую последовательность. Уравнение логарифмической спирали можно записать в виде: г = ехр(ар). 13. 5) Поэтому при а > О спираль раскручивающаяся, при а < О скручивающаяся, при а = Π— окружность. Более общая форма для логарифмической спирали имеет вид: г = г, ехр(ау), 13,6) где 㻠— некоторая постоянная. Логарифмическая спирать приводила в изумление художников и математиков.

Знаменитый швейцарский математик Якоб Бернулли (1б54 - 1705) изучал ее и назвал ккр1га лпгаЬО1я» (лат.) — чудесной спи- Спирали, деревья, звезды ралью. Он обнаружил самоподобие этой спирали: изменение масштаба спирали дает такой же результат, что и вращение спирали как целого. Действительно, поворот спирали на угол у означает заьчену гд на гэ — у. Поэтому г = г„ехр(а(гд — Г)) = г„ехр( — ау))ехр(ар)= г„ехр(а4э). г 3. 7 ) То есть получаем ту же сгшраль, но в другом масштабе. Бернулли это свойство казалось таким удивительным, что на его надгробии в соборе Базеля начертаны слова «Еаг7еш шиыш геьигдоя (преобразованный, я восстану снова неизменным).

3.2. Дерево Пифагора Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман 11891 — 1961) во время второй мировой войны, используя ддя этого обычную чертежную линейку. Рис. ЗА. Дерево Пифагора Пример Пифагорова дерева дан на рис. 3.4 (р = 12). Если мы пронумеруем квадраты. как на рис, 3.5, то обнаружим, что квадрат с 4б Введение в теорию фрактадов индексом п кдерлсвгл на себе» равнобедренный треугольник, от которого произрастают два более мелких квалрата.

Квадраты слева имеют индекс 2п, справа — (2п — 1). Вместе прямоугольный треугольник, два квадрата на его катетах и квадрат на гипотенузе дают геометрическое представление теоремы Пифагора. Если площадь первоначального квадрата равна единице, то общая площадь квадратов 2 и 3 также будет единица. То же самое получим для каждого следующего уровня. Тогда квадраты с номерами 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 имеют общую площадь ту же, что и основной квадрат. Рис. 3.5.

Первые стадии построения дерева Пифагора Позицию квадрата, например с номером 13. можем получить, используя двоичное представление 13 = 1(101~. Читая цифры слева направо и пренебрегая самой левой позицией, получаем: 1 (вправо), 0(влево), 1(вправо). Итак, построение пифагорова дерева связано с двоичной системой счисления. Этот факт удобно использовать при его построении. 47 Спирали, деревья, звезды 3.2.1.

Склонившееся (спиральное) дерево Пифагора Как обобщение стандартного дерева Пифагора, Босман предложил строить склонившееся дерево Пифагора. Схема построения такого дерева показана на рис. З.б. Фигура образуется добавлением на каждом шаге справа квадрата.

Завиток фигуры — это логарифмическая (ломаная) спираль, которая определяется преобразованием подобия Я. Преобразование подобия И вЂ” это поворот на угол сг, комбинируемый с уменьшением масштаба в соз а раз. Можно рассматривать преобразование подобия Е, действующее слева: поворот на угол ~Ф 2 — а в комбинации с уменьшением масштаба в зш а раз. Тогда получим дерево, которое показано па рис. 3.7, где а =. и б (30') 13). Рис. З.б. Логарифмическая спираль в склонившемся дереве Пифагора Можно упростить дерево Пифагора, отбросив квадраты и рисуя только отрезки, которые соединяют кцентрыя треугольников. Сами треугольники не рисуются, В результате получим обнаженное дерево (первые стадии построения показаны на рис.

3,8(а), а 1О-я стадия — на рис, 3.8(б) (р = 14)). 48 Введение в теорию фрактадов Рис. 3.7. Склонившееся дерево Пифагора ~р — — 14) (а) (б) Рис. 3.8. Обнаженное дерево Пифагора Спирали, деревья, звезды В книге Мандельброта !1! есть н другие варианты дерева Пифагора. Одна нз версий, основанная на стволе, показанном на рис. 3.9, приведена на рис. 3.10 (р = 11). Рис. 3.9.

Ствол дерева Мандельброта Рис. 3.10. Дерево Мандельброта Мандельброт построил и реалистичное фрактальное дерево (рис. 3.12), основанное на модели, показанной на рис. 3,11, 50 Введение в теорию фрактачов Рис. 3.11, Модель реалистичного дерева Рис. 3.12. Реалистичное дерево (р = !1) 3.3.

Звезды На рис. 3.13 показан звездный фрактал. Он состоит из правильной пятиконечной звезды с гирляндой ~п 5 меныиих образцов. Каждая из этих 5 более мелких звезд несет на своих четырех свободных концах 51 Спирали, деревья, звезды еше более мелкие звезды. Теоретически этот процесс можно продолжать бесконечно. В результате получим звездный фрактал, обладающий самоподобием. На рис.3.13 показано 5 шагов (1280 отрезков). Этот звездный фрактал строится как замкнутая ломаная линия, последовательные отрезки всегда пересекаются под одним и тем же углом. Фрагмент с а = 4я! 5 (144') изображен на рис.

3.14. Предположим, что отрезки пронумерованы от 0 до п = 1279. Если первый отрезок с индексом и = 0 имеет направление р =- О, то направление произвольного отрезка с индексом л будет аа. При построении такого фрактала мы должны иметь правило, по которому определяется длина и-го отрезка, если мы знаем длину (и — 1)-го отрезка. Для случая, изображенного на рис. 3.13, имеем 5 различных длин: 1, г, г, г, г, где г †показате уменьшения з (на рис. 3.! 3 он равен 0.35). Рис.

3.13. Звездный фрактал Правило, на котором основано построение рис. 3.13, следую- щее; 52 Введение в теорию фракталов Рис. 3.14. Схема построения звездного фрактала Отсюда следует, что длина отрезка с индексом и зависит от числа множителей 4 в и.