Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002, страница 7

'БОТО 110: НЕМ возные зп пропускаем, метод обрагноео следа БОБОВ 140 ИЕХТ п1 ВЕЕР 120 аЯ = тикетБ. '1Р аБ = "" ТНЕ)Х!20 140 х1 (Б — 1) = х2 (Б — 1): Т1 (Б — 1) = Т2 (я — ' ) РОВ О = Я ТО Р Х =. Х1(Л-1): Х = Тт(3-1) Х1(д) = а*Х вЂ” Ь*т: т1(О) = Ь*Х Е а*у Х2(О) = с*Х вЂ” Н*Т - 1 — сзХ2(Б) †" с)*Х н с т — с( РБет (х1 ( т), 21 (О) ) Ряет (х2 (,1), т2 (3) ) НЕХТ д ВЕТОВЫ 64 Введение в теорию фрактгсзов Примеры: 1) Положив а=Ы=О, 6=с — —.0.7, р=17, получим рис.4.8.

Здесь Ь— четверть оборота с показателем уменьшения 0.7 и )г — обычное центральное сжатие с показателем сжатия 0.7 относительно (1, 0). 2) Положив а =- 6 = 0.6, с = 0.53, Ы= О,р =-18, получим рис. 4.9. Здесь 1. и Я имеют такой же тип, как и в примере 1, Угол вращения для Е равен я) 4. Результат напоминает ветвь с листьями.

3) Выбрав а —.- О, 6.=- 1/ч2, с = 11 2, И вЂ”.- -1! 2, получаем рис. 4.10 (р =- 17). Здесь | и )г являются поворотами с одинаковым сжатием !Я2, Углы вращения я! 2 и -я~' 4 соответственно. Рис. 4.8. Фрактал, полученный с помощью кповорота-слсатия» Анализ конструктивных фракталов Рис. 4.9. Фрактал, полученный с помощью киаиорота-сжатия» Рис. 4.! О. Фрактал, полученный с помощью двойного киоаарота- сжатияв Введение в теорию фракталов 66 4.6. Отражение Отражение Б линии характеризуется осью отражения (осью симметрии) (рис.

4.11). В терминах алгебры преобразований это можно выразить как Я = Е (Š— тождественное преобразование). Рнс. 4.11. Отражение виде: (4.14) или в более общем виде < х = ахч-Ьуч-с у' = Ьх — ау ж Ы ( 4.15 ) с показателем сжатия т/а ч-Ь Для фракталов отражение линии обычно встречается в комбинапии с изменением масштаба. Будем называть эту комбинацию ксжаглке-отражение». Характеристика сжатия-отражения — это центр, неподвижная точка, и две оси, перпендикулярные одна другой, - единственные линии, которые остаются на месте при преобразовании.

! 1реобразовапия типа ксхсшлне-оглраженяе» записываются в Анализ конструктивных фракталов 4.7. Применения сжатия-отражения 0 1 3 4 12 13 15 16 Рис. 4.12. «Сжатгге-отроженнегг во фрактале Коха Линия, соединяющая точки О, 2, 4, 6, 8, имеет такую же форму, что и линия„соединяюшая точки О, 4, 8, 12, 16 первой фазы. Только теперь она отражается и сжимается. Показатель сжатия 1/эГЗ .

Это преобразование описывается формулой (4.15) с с = гг = О. Коэффициенты о и Ь равны координатам точки 8: а = 1! 2, Ь вЂ” 1/2эГЗ, Итак, кривая Коха инвариагггиа относительно преобразования (4.15) 1с центром в точке (О, О)). Аналогично можно написать преобразование «отражение-сжотвегг относительно точки 11, О). Мы можем тогда записать оба преобразования в виде: 1 х ' = — х; Ьу 2 1 1 х'= — х — Ьу+— 2 2 )1: 1 у ' = Ьх — — у, 2 (4.16) 1 у ' = — Ьх — — у + Ь 2 с Ь = 1/(2т/3). Проиллюстрируем сжатие-отражение на примере построения кривой Коха.

Иа рис, 4.12 показаны первые фазы построения кривой Коха. Введение в теорию фракталов Примеры: 1) А: а = 1! 2, Ь =з/3/6 = 0.2887, Я: а = 27 3, Ь = О. Результат приведен на рнс. 4.13 (р = 17). 2) 1л -- поворот-растяжение с а = Ь = 0.4641, й: — сжатие-отражение с с = 0.6222, И = -0.1965. На рис. 4.14 Оз = 17) показан соответствующий фрактал типа дендрит. Зх — у 42 х" = 5 хч-у х'= 2 3) ( 4.17 ) С: й: х-у у'= 2 -х-Зу41 у'= 5 Результат на рис. 4.15 (р = 17). Попробуйте написать программу, использующую формулы вида (4.15). Рис. 4.13. Фрактал, полученный с помощью «сжатия-отражения» Анализ конструктивных фракталов 69 Рис.

4.14. Фрактал, полученный с помощью кповорота-сжатия» и «сжи- тия-отраэжевия» Рис. 4.15. Фрактал, полученный с помощью двойного «сжатия- отражения» Глава 5. Случайность во фракталах Мы построили много различных кривых, обладающих самоподобнем. Сравним одну из них, кривую Коха, с береговой линией западного Британского побережья. В действительности береговые линии созданы по капризу природы, и есть случайность в этом созидательном процессе, Если интерпретировать самоподобис статистически, то получим более реалистические картины. 11одобная теория достаточно сложна.

Однако построить статистические фракталы с помощью компьютера достаточно просто, ибо компьютер позволяет получать псевдослучайные последовательности чисел. Некоторые из методов, основанных на случайностях, называют л1етодами Монте-Карло. Более широкое и формальное название — стохастнческне методы. Термин кстлохветичность» происходит от греческого слова, обозначающего ипредлолоокелие». Итак, в этом разделе вы увидите, как можно менять фракталы с помощью введения случайности.

Мы будем говорить о случайных фракттщах в связи с броуновскнм движением. Термин кброуновское движение» происходит от биолога Роберта Брауна (1773 —. 1858), который наблюдал, как микроскопические частицы двигаются изменяющимися курсами. В связи с броуновскимн двнженнлмн а теории фракталов возник термин вброуновскне фракталы» (подробности см., например, в ~18)). В предыдущей главе мы обсуждали конструкцию фрактала с древовидной структурой (см., например, рис. 4.6). Начиная от начальной точки Р новые точки получаются в результате применения двух преобразований 1.

и Я. Для каждого конкретного фрактала имеем конкретную последовательность этих преобразований. Сейчас мы поступим по-другому. Мы образуем случайную последовательность из точек Рд, Рь Рь ... Каждая точка получается из предыдущей с помощью приме- Случайность во фракталах 71 пения к ней преобразования !.илн !7,причем каждое нз этих преобразований выбирается случайно, с вероятностью 0.5, т. ел э или ЕР„ или кр„ На компьютере это можно организовать, используя датчик псевдослучайных чисел пс1,например, так; 1Р гпп с т72 тикн Г1п т'~ = ЬВ1п1 ПЬЗК = нв!и) Пример 5.1: Пусть а!х — 1) х'=! э(х — 1)'-ьу ч1 ву л Рис. 5.1.

Фрактал, полученный с помощью двух преобразований на основе метода Монте-Карло 72 Введение в теорию фракталов Положим, например, а = 2.3. Здесь ~ -- поворот на 90' относительно точки 10, 0), а Н вЂ” арпстяжениев относительно точки 11, 0) с переменным показателем, который зависит от расстояния от центра (1, 0). Полученный случайный фрактал показан на рис. 5.1 (р = 6). Фигура симметричная, что можно использовать при счете. Пример 5.2: Вводя случайность в качестве малых возмущений при построении фракталов, мы можем представить фракталы в виде моделей природных объектов типа деревьев, растений, кораллов и др. В качестве иллюстрации построим обдуваемое ветром дерево Пифагора (рис.

5.3; сравните с рис. 3 А). Основной фрагмент — зто ствол, изображенный на рис. 5,2. Боковые ветви присоединяются в местах АВ и ВС. Положим: А = (О, а), В = (0.5, а е0.5), С = (1, а). Пусть а = 3. Фрагмент ствола копируется подобным образом с уменьшением масштаба. Случайность вносится при присоединении уменьшенного фрагмента ствола, например, так а -+ а11 е ш(гпе — 112)]. Полагая ез = 0.1, получаем рис. 5.3 (р = 12). Рис. 5.2.

Ствол дерева Пифагора 73 Случайность во фракталах Рис. 5.3, кОбдуваемое ветромя дерево Пифагора Обратимся теперь к броуновскому движению. В 1828 г, шотландский биолог Роберт Браун (1773 — 1858) открыл необычное явление. Когда он смотрел в микроскоп на маленькие частишц плавающие в жидкости, он был поражен тем фактом, что частицы совершали крошечные, псрсмснчивыс по направлению, непредсказуемые движения. Этот феномен был объяснен значительно позднее, в начале нашего века, когда зародились квантовая механика и статистическая физика.

Молекулы жидкости совершают тепловое нерегулярное движение, которое становится более сильным при возрастании температуры. Молекулы непрерывно отскакивают от более крупных частиц, которые наблюдаются в микроскоп. Это и заставляет частицы изменять ггаправление движения. Понятие фрактальной кривой помогает нам сформировать отпечаток траектории частицы при броуновском движении. Эта траектория похожа на трехмерную береговую линию с изгибами в любых масштабах. Следуя Мандельброту, можно расшир~пь понятие афрактал» 74 Введение в теорию фракталов до геометрической структуры со статистическим самоподобием. Тогда путь микроскопических частиц при тепловом движении — это броуновская фрактальная кривая.

5.1. Броуновская кривая Построим броуновскую фрактальную кривую на плоскости. Возьмем отрезок !О, 1] и разделим его, скажем, на 1000 интервалов. Пусть хе = О, х, =1ей, Ь = 0.001, / = 1, ..., 1000 (х1оее = 1). С помощью компьютера образуем последовательность случайных чисел У = 0„..., 1000, 0 < г < 1. Далее полУчаем точки Рг(хь Уг), где х, =, у, = (г, — !/2)ч (г„— 1/2)-:" -ь(г, — !/2) х = 012,...,1000. Так как для каждого А величина гг —. !/ 2 находится в интервале (-1'2, !12), то каждая точка Рг ложится случайно либо немного выше, либо немного ниже предыдущей. Результат представлен на рис.

5.4. Рис. 5.4. Ьроуновская кривая кнобед и лориженийя Кривую на рис. 5.4 иногда называют кривой «побед и порахее- ний». 5.2. Квазислучайность в динамике В этом разделе мы соприкоснемся с возникновением случайности, точнее, квазислучайности, в детерминированных динамических системах (ДС). Квазислучайность в ДС вЂ” чрезвычайно сложная, интересная и недостаточно изученная область в теории ДС. Одним из первых, кто обратил внимание на возможность слоягной динамики, был, повидимому, французский математик Анри Пуанкаре (1854 — 1912). Случайность во фракталах 75 А. Пуанкаре обогатил почти все области математики результатами первостепенного значения. Его можно с полным правом назвать не только выдающимся математиком, но и первоклассным механиком, физиком, астрономом.