Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002, страница 3

Рис. 1.1. Двоичное дерево Это название очень подходящее, потому что структура такого фрактала аналогична структуре дерева: ствол разделяется на две отдельные ветви, каждая из которых является стволом для следующих, более мелких, ветвей н т. д. Если этот процесс продолжить до бесконечности, то будем иметь бесконечное число уровней. Дерево на рис. 1.1 строится именно по такому принципу. На ка)кдом уровне вертикальные линии разделяются на две. Показатель уменьшения выберем, например, равным 1 ! 2 . Вертикальныс ветви удваиваются на каждом уровне, .тогда как их длины одновременно уменьшаются вдвое. Каждая горизонталь- !5 Фракталы и системы счисления ная линия — это удвоенная длина вертикальной линии, расположенной выше. Если мы зададим ветвь на самом нижнем уровне длиной 1, то к вертикальной длине каждый раз прибавляется 1: 1 ч- 2 «:172 ч-4*1! 4 ь 8*1,'8 «-16*1!16 ч- ".

(1.1) Что бросается в глаза на рис. 1.1 (р = 7; р — число уровней) — это самоподобие. Кая«дая вертикальная ветвь может рассматриваться как ствол целого дерева — масштабированная копия всей фигуры. Чем выше расположены ветви, тем они теснее. Их длина всегда булет уменьшаться по сравнению с предыдущим уровнем. Суммируя длины вертикальных ветвей (по одной на кажлом уровне), получим ряд: 1+!/'2«-1!4«-178+ "= 2. Разбиение какого-либо множества на группы нз двух элементов или, наоборот, комбинирование в группы нз двух элементов, характерно для двоичной системы счисления (десятичная система основана на разбиении нли комбинировании в группы из !О).

Фрактал-дендриг на рис. 1.1 является, возможно, самым простым примером семейства фракталов, в котором структура системы счисления представляется геометрически. Поэтому обратимся к системам счисления. Мь«едва ли задумываемся, что повсеместно используемый в наши лнн (десятичный) способ счисления является результатом долгой культурно-исторической эволюции. Ее основы были заложены индийцами 14 веков назад, а, возможно, и ранее — китайцами.

Современные десятичные дроби начали использоваться в Европе Симоном Стевином (1548 — 1620). И цам десятичная система кажется очень простой и удобной. Запись любого числа, например нынешнего года, находится разложением его по степеням 10; 1998=1я10' +9«10«+9*10' +8*10'. (1.3 ) Господство десятичной системы связано, скорее всего, с тем фактом, что люди имеют десять пальцев.

Где-то на другой планете во 16 Введение в теорию фракталов Вселенной, возможно, живут восьмипалые существа, использующие восьмеричную систему. На самом деле десятичная система имеет (как и любая другая) свои недостатки. Например, в ней нельзя разделить точно некоторые числа на три равные части. Дробь 1!3 представляется в виде бесконечной десятичной дроби, и поэтому приходится использовать аппроксимации.

Около 5000 лет назад в Месопотамии шумеры развили шестидесятеричную систему счисления, которая удовлетворяла практическим потребностям (в агрокультуре. астрологии). Им мьз обязаны делением времени на часы, минуты, секунды, Другие люди, например майя, развили лвадцатеричную систему. В наше время доминирует десятичная система счисления, а в компьютерах используется двоичная. 1.1.1. Двоичная система Пример: 423 = 110100111: 110100! 11 = 2" ч 2 ь 0 я 2' ч 2~ ь 0 я 2 ь 0 а 2' + 2' -' 2' ь 2".

Таблица умнозкения: Недостаток — длинная запись числа. 1.1.2. Четверичная и восьмеричная системы 423 = 110100111 — двоичная система. 423 -- 12213 в четаеричная система: 423=1ь4 е2ч4зе2в4 е1ч4 еЗа4. 423 = 647 = 6 ч 8 — 4 ч 8' е 7 ч 8 — восьмеричная система. 1.1.3. Троичная система 423 = 1ч243е2ч81+2*9 = 1*3' +2ьЗ' +ОчЗ' +2~3' чОьЗ' 0*3' 17 Фракталы и системы счисления Итак, 423 равно !20200 в троичной системе.

В этой системе таблица умножения лишь немного сложнее, чем в двоичной: Рассмотрим дендрит, представленный на рис. 1.2 Структура этого дендрита основана на троичной системе. Из одной точки под углом 120' друг к другу выходят три главнъге ветви. Каждый из трех концов сам является точкой, из которой выходят три более мелкие ветви, и т. д. Направление вправо мы помечаем «О», направление влево-вверх— «!», влево-вниз — «2».

0.11 0.00 0.22 Рис. 1.2. Схема троичного дерева Используя данный алгоритм, можно построить трончное дерево на компьютере (рис. !.3, где число шагов р = б). 1.2. Решето Серпинского В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал красивый объект, похожий на «троячное» дерево. Сейчас он известен 18 Введение в теорию фракталов как решето (сито) Серпинского. Процесс начинается с равностороннего треугольника и показан на рисунках 1.4 (р = 3), 1.5 (р =- 6).

~~ъ" х ут Рис. 1.3. Троичное дерево Рис.1.4. Первые шаги построения решета Серпинского !9 Фракталы и системы счисления Рис. !.5. Решето Серпинского 1.3. Фрактал Кантора Кантор (1845 — 1918) явился одним из основателей теории множеств (основы современной теории множеств приведены в главе 9). Он также придумал один из старейших фракталов (1883). Построение зтого фрактала показано на рис. !.6. Из исходного отрезка единичной длины выбрасывается интервал (1/3,2/3). Далее из каждого оставшегося отрезка выбрасываем средние трети и т.

д. В пределе получим фрактал Кантора (на Западе подобные множества называют иногда пылью Кантора). После трех шагов будет 2з = 8 отрезков, и каждый имеет длину 3 ' = П 27. После и шагов получим 2" отрезков, каждый длины 3 ". Общая длина оставшихся отрезков равна (2) 3)". Она стремится к нулю, когда и — э с. Это означает, что множество Кантора имеет меру Лебега (то есть, грубо говоря, обшую длину), равную нулю, и нулевую топологическую размерность. Далее мы узнаем, что есть другое определение 20 Введение в теорию фракталов размерности, в соответствии с которым множество Кантора имеет размерность 0.6309....

Эта размерность — дробное (нецелое) число. Отсюда возник и термин — кфрактизьная размерность». 0 1~3 2!3 1 Рис. 1.6. Конструкция фрактала Кантора На рис. 1.7 показана конструкция множества Кантора в виде гребня. Рис. 1.7. Гребень Кантора 1.3.1. Арифметические свойства фрактала Кантора Так как отрезки делятся иа три части, то будем использовать троичную систему. Мы имеем дело с числами от 0 до 1, позтому арифметический метод представления фрактапа Кантора включает разложение дробей вида а= — ч — ч- — -ь — +" или а=О.с,с,с,с,..., с, с, с, ( 1.4) 3 9 27 81 Фракталы и системы счисления 2! где сь сп с;, ...

могут быть числа О, 1, 2. Например, 0.3 = 3!10 = 0,0220; 0.5 = 112 = 0.1: 0.8 = 4 / 5 = 02101. Подчеркивание означает, что данная группа цифр должна повторяться. Построение начинается с отрезка !О, 1]. Отмечается одна треть отрезка в середине (то есть все члены, имеющие троичную дробь, начинающуюся с единицы), На следующем шаге мы делаем то же для второго положения точки (рис. 1.6) и т. д. В итоге выбрасываем все числа, которые имеют 1 в их разложении, как троичной дроби. Диаграмма (рис. 1.6) показывает. что многие числа исчезают на первом шаге, например число 0.5 (десятичное). Число 0.8 исчезает на втором шах, так как 0.8 = 0.2101.

Число 0.3 = 0.0220 никогда не исчезает. Таким образом, множество Кантора можно определить как множество всех чисел между нулем и единицей, которые можно записать в троичной системе, используя лишь «О» и «2». Числа «О» и «1» также включаются, ибо ! =0.2 (в троичном виде: 1=0.2222..., подобно 1 = 0.9999... в десятичной системе). Глава 2. Фракталы и меандры В этой главе понятие «франтов» вводится с гюмошью эксперимента по определению длины Британского побережья. 2.1. Эксперимент Ричардсона В настоящее время, благодаря публикациям Мандельброта, фракталам уделяется много внимал>пь Его книга «Фрака>атьная гео.>>стрик природы» 111 с прекрасными иллюстрац>гями, историческими анекдотами и т.

д. насыщена богатой информацией по этому предмету. Эта работа имела большой успех. Эксперимент Льюиса ричардсона (1881 — 1953), одного эксцентричного метеоролога, возможно, и убедил Мандельброта сделать фракталы делом своей жизни, 4.0 З.О .0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 18 ен 1я 1еднннца измерения) Рис. 2.1. Результат эксперимента Ричардсона Фракталы и меандры где Я -- длина побережья, Яг —. длина, при измерении которой использо- вались единицы измерения в 1 км. Число 0.22 определяет угол наклона прямой. Из (2.1) находим: за> 5=5лп '" или 5=5',~ — ! (2.2) Поэтому, если, скажем, «а» уменьшается в 32 раза, то 5' увеличивается приблизительно вдвое. Теоретически, если а — э О, то 5-+ с. По тогда западное побережье Британии имеет бесконечную длину? Это на самом деле было бы так, если бы при каждом уменьшении масштаба были видны новые изгибы береговой линии.

В действительности этого нет. Было бь> лучше определить криволинейность такой границы степенью ее изгибания, т. е. некоторым числом. Мандельброт добавил 1 к показателю степени во второй формуле (2.2) (минус угол наклона прямой на рис. 2.1) и получил число В, которое он назвал вг)>)>актальной рпзггерностью» побережья (границы). В работе Ричардсона, опубликованной после его смерти, Мандельброт в 1961 году обнаружил формулу для определения длины 5 западного Британского побере>кья и испано-португальской границы.

Ричардсон заметил, что результаты сильно зависят от масштаба, который используется на карте. Карта с масштабом 1: 10000000 (1см — 100 км) менее подробная, чем, например, туристическая карта с масштабом 1: ! 00000 (1 см — 1 км). 1!етрудно убедиться, что на туристической карте побережье становится длиннее.