Морозов - Введение в теорию фракталов - 2002

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА Редакционный совет: А.В.Болсинов А.В.Борисов И.С.Мамаев И.А.Тайманов Д.В.Трегдев Вышли в свет: П.)БГолод, А. У. Кли иык. Математические основы теории симметрии МГромов. Гиперболические группы МГро нов. Знак и геометрический смысл кривизны ДжД.Мур. Лекции об ннвариантах Зайберга — Виггена Дж.Мизиор. Голоморфная динамика И.Р.Шафаревич. Основные понятия алгебры ИДобегаи.

Десять лекций по вейвлетам Э. Столицей ТДеро)о, Д. Силезии. Вейвлеты в компьютерной графике ККассыь М Россо, Б. 7ураев. Квантовые группы и инварианты узлов ЖП1.ратно Расходяпгиеся ряды и асимптотические теории А.Д.Морозов. Введение в теорию фракталов Готовятся к печати: Г). Рь Боеоиольскии. Введение в теорию групп С.ПНовикогк Топология Я.Песик, Теория размерноеги А.ИШафаревич. Введение в теорию квазнклассического квантования изотропных многообразий УДК 510:514 ББК В!6 М 79 Морозов Л.Д.

Введение в теорию фракзвлов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160 стр. Книга посвящена основам теории фракпшов и состоит из дячх частей и приложения. В первой части рассматриваются констрултивные фракталы, во второй — динамические, а в приложении приводится вспомогательный материал. Конструктивные фразгталзл строятся с помощью достаточно прош'ой рекурсивной пропедуры, имеют ктонкуюв структуру, т.е. содержат произвольно малые масштабы, н обладают самоподобием. Подобные фрактальные множества слишком нерегулярны, чзобы быть описанными на традиционном геолзетрическом языке.

рассматриваются многочисленные примеры конструктивных фрактаюв 1Кантора, Коха, Минковского, Серпинского, Леви и др.). Проводится их анализ на основе линейных преобразований и вычисления фрактальной размерности. Изложение сопровождается историческими справками. Вторая часть посвящена фракталам, которые возпикшот в дискретных нелинейных динамических системах. Это множес.:ва, хаусдорфова (или фрактальная] размерность которых больше топологической размерности. К ним относятся одномерные комплексные эпдоморфизмы„рассмотренные Жюлиа и Фату в начале 20 века. В книге приводятся основы современной теории подобных эцдоморфизмов.

Изложение иллюстрируется иа примере фракгалов Жюлиа, Мандельброта, Ньютона. В книгу включены новые результаты по гиперкомплексной динамике. В приложении приводится вспомозагельиглй математический материал из теории множеств„обера<лается определение линии, даются основы теории размерности и, прежде всего, хаусдорфовой размерности. Книга может бьжь использована как учебное пособие по фракгалам и ориентирована премгде всего на сгудентов физико-мателзатических факультетов университетов. Первая часть доступна школьникам старших классов.

1БВ)ь) 5-93972-172-9 ББК В16 © А. Д. Морозов, 2002 © Институт компьютерных исследований, 2002 Предисловие Данное учебное пособие по фрактальной теории основано на цикле лекций, которые автор прочитал в конце 1998~ода аспирантам и студентам ма~ис~рагуры механико-математического факультета и факультета ВМК Нижегородского госуниверситета им.

Н.И. Лобачевского, а также сотрудникам Нижегородской лаборатории программных технологий.При подготовке данного материала использовались результаты Б. Мандельброта (в основном из книги [1]), книги К. Фальконера [2], 1. Лаверье [3], а также книга А. Морозова и др. [4]. Учебное гюсобие состоит из двух частей и приложения (ч.

1 — кКонсгруктивные фракгалыш ч, 2 — кВведение во фрактальную динамикуь). Изложение материала в пераой части (главы 1 — 5) в основном следует книге Лаверье [3], а во второй части (глава б) — книге К.Фальконера [2], главы 7. 8 — книге А. Морозова и др. [4]. В главе 9 приводятся элементы теории гиперкомплексных отображений.

Нри написании приложения (главы 10-12) использовался материал из книги Б.Вулиха [5] (глава 1О), из обзорной стшьи Федорчука [б] (глава 1О), из книги Фальконера [2] (глава 11). Автор благодарен М.Антониу и М.П1ерешевскому. которые прочитали рукопись и сделали полезные замечания, Е.Всдсхиной, подготовившей элок- тронный вариант книги и К.Крамкову за подготовку рисунков для первой части книги. Многие рисунки с изображением фраьталов можно получить с помошью программы кБ асза(хя, работающей в среде %'(пдозтв 95! 98( КТ и разработанной учениками автора. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Минобразования, КЦФЕ, грант )( 97-0-1,8-83, Нижегородской лаборатории программных технологий и РФФИ, грант 01-01-00589.

Первое издавно книги вышло в издательство Нижегородского госуниверситета в 1999 г. Данное издание отличается от первого. В него включена новая з лава 9, в которой рассматриваются фракталы в 3-х мерном з иперкомплексном пространстве (гиперфракгалы), а также сделаны незначительные измеяеиия в тексте и исправлены замеченные опечатки, Оглавление 2,2, Степень изгибания кривой !первое знакомство с фрактальной размерностью) .. 2.3.

Криваа Коха. . 24 .25 2.5. Обшая схема построснпя конструктивных фракталов................ 31 2.5.1. Варианты. 2,6, Семейство драконов.. . 32 .38 2.6.1. Кривая ~драконов.. 3.1. Спирали. 3.2. Дерево Г!ифагора.. . 45 3.2.1. Склонившееся !спиральное) дерево Пифагора................. 47 50 .... 54 54 56 . 57 Введение... Часть 1. Конструктивные фракгалы.. Глава 1.

Фракталы и системы счисления............................. 1.1. Древовидная структура н системы счисления................ 1.1.1. Двоичная система. 1.1,2. Четверичная и восьмеричная системы...,............ 1.! .3. !'роичная система. 1.2. Решсто Серпинского. 1.3.

Фрактал Кантора. 1.3.1. Арифметические свойства фрактала Кантора.... Глава 2. Фракталы и меандры. 2.1. Эксперимент Ричардсона.. 2.4, Вариации на тему кривой Коха.. Глава 3. Спирали, деревья, звезды. 3.3. Звезды.. Глава 4. Анализ конструктивных фракталов.... 4.1. Инварнантные преобразования.. 4.2. Поворот .. 4.3. Сжатие !растяжение). ...... 7 . 12 ,... 1 4 ....

1 4 . 16 ,... 16 .1б .17 . 19 ....20 . 22 Оглавление .... 58 59 . 66 4.4. Поворот с растяжением (сжатием).... 4.5. Применение поворота-сжатия. 4.6. Отражение 4.7. Применения сзкатия-отражения. Глава 5. Случайность во фракталах. . 70 5.1. Броуновская кривая. 5.2.

Квазислучайность в динамике. 5.2.1. Модель ограниченного роста популяций.... . 74 . 74 5.2.2. Определение детерминированного хаоса по Девани....... 80 Часть 2, Введение во фрактальную динамику.....,........,. ... 82 Глава 6. Одномерные комплсксныс отображения...„. .... 83 6.1. Итерации комплексных функций. Множества Жюлиа и Фату... 83 6.

!.1. Основы теории множеств Жюлиа...................................... 83 6.2. Одномерные комплексные рациональные эндоморфизмы...,.... 95 Глава 7. Фракталы Жюлиа и Мандельброта........................,........... 100 7. 1. Фракталы Жюлиа. . 100 7.2. Фрактая Мандельброта. .. 106 7.3. Фрактал Мандельброта на экране компьютера.......................... 108 Глава 8. Фракз алы Ньютона., .. 109 Глава 9. Элементы гиперкомплексной динамики ...... 112 9,1. Гиперкомплексные числа и кватернионы .......................,.........112 9.2. Отображение Жюлиа в 3-х мерном гиперпространство ............ 113 9.2.1. Свойства отображения 130...............,...............................

115 9.3, 1'руины симметрий и мозаики в 3-х мерном гиперпространстве .127 93.1. Конструирование Г-инвариантных функций.........,....... 128 9.3.2. Определение цвета. .. 129 Приложение.. .. 131 Глава 10. Краткие сведения из теории множеств.............................

131 10.0.1. Мощность множества. .. 132 10.0.2. Примеры эквивалентных множеств.........,..................... 133 1О. !. Счетные множества. .. 134 10.2. Мнозкества мощности континуума............................................ 134 ! 03. Кольца и алгебры множеств.

.. 135 Введение в теорию фракталов !0.4. Точечные множества в евклидовом пространстве................... 136 10.5.!1редельные точки. .. 137 10.6. Замкнутые н открытые множества............................................ 138 Глава 11. Что такое линия? ................................. .. 139 11.! . Первые определения линии. Жордановы кривые. Кривая Пеано. ..