А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика), страница 7

СОВМЕСТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК) Рассмотрим случай совместных измерений двух величин 6 и т). Если уравнения измерения, связывающие эти величины, линейны, то для определения р и т) в результате многократных измерений некоторых других величин х~ и у~ получится линейная система условных уравнений (см. $ 3), каждое из которых имеет внд (9.1) у;=8 х;+ть где хь у; — результаты (-го измерения величин х и у; 8, т) — искомые величины.

Система уравнений (9.1) будет, вообще говоря, несовместна, так как результаты измерений х и у неизбежно содержат погрешности. Поэтому из этих уравнений можно определить только оценки величин р и т) (соответственно В и Н), которые являются случайными величинами. Погрешности В и Н нужно учитывать в соответствии с $6. Ограничимся рассмотрением случая, когда х и у измеряются непосредственно и все пары значений хь у~ (1=1, ..., п) имеют одинаковый вес (т. е. вклад каждой пары реализуется с одинаковыми вероятностями), случайными и систематическими погрешностями результатов измерений хг можно пренебречь, а случайные погрешности Лэ всех у~ распределены по нормальному закону с одним и тем же стандартным отклонением ою а систематическими погрешностями можно пренебречь '.

Для наглядности дальнейшего изложения представим все опытные данные хь у; (см. табл. 1) на графике (см. рис. 2). Геометрически задача измерения т) и 6 состоит в определении параметров э На практике этв условия, как правило, не выполняются. Поэтому метод наименьших квадратов может приводить к ошибочным опенкам. Кроме того, этому методу свойственны ярянпипиальные недостатки (см. гл. УН). Таблица 1 Зависимость воаичиим у от х (В в(а (л,— м(а( — а! (а( — д)* (а(-в)* некоторой прямой: значения ордннаты при нулевом значении абс- а!иссы и тангенса угла наклона соответственно.

О 1 2 л Рнс. 2. Построение прямой по давним совместнмх намерений методом наименьших квадратов Так как между точками на графике можно провести не одну прямую, возникает задача — провести прямую наилучшим образом. Такая прямая характеризуется наиболее точными оценками коэффициентов р и (1, т. е. наиболее вероятными.

Можно показать (91, что оценки коэффициентов Р и (( будут наиболее вероятными, соответственно прямая будет наилучшей, если сумма квадратов разностей 1 2 3 4 6 6 7 8 9 1О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 — 0,9 — 0,7 — 0,5 — 0,3 — 0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 0,81 0,49 0,2о5 0,09 0,01 0,01 0,09 0,25 0,49 0,81 0,31 0,59 0,82 1,17 1,55 1,87 3,20 — 1,36 — 1,08 -0,85 — 0,50 — 0,12 0,20 0,53 0,68 0,98 1,53 1,85 1,!7 0,72 0,25 0,01 0,04 0,28 0,46 0,96 2,44 1,22 0,76 0,42 0,15 0,01 0,02 0,16 0,34 0,69 1,38 будет минимальна, т. е.

Отсюда найдем Яу!=В ~~ х!+пН к-! ь-! л л (9.4) ~, х! у, = В ~„хз!+ Н Я х!. (9.4') Из (9.4) следует, что оценка В определяется выражением л л л л ~зрак!у! — ~к! ~ч~у! В= В=! $-! л л л~ к! — (~к!) $-! $-1 (9.5) а оценка Н вЂ” формулой (9.6) Н= у — Вх, где х н у определяются соответственно как л л х лл — !~~~к!; у = — ~~)~~ у!. (9.7) Формула (9.5) часто приводит к большим числам, что осложняет вычисления. Поэтому для ее упрощения сделаем замену переменных х =х! — х; у =у! — у, (9.8) которая соответствует переносу начала координат в точку с координатами х, у (центр тяжести), через которую проходит искомая прямая. В новых переменных формула (9.5) принимает вид Х к!'у! В=' ' л Х (к!)' (9.5') ~' (Г!У!) =!дллн.

(9.2) 1=1 Это условие выполняется, если приравнять нулю производные: — = — 2 ~'(у! — (Вх,+Н))=0; дЯ дН вЂ” = — 2 цх!(у,— (Вх,+Н))=0. дЦ ав Возвращаясь к первоначальным координатам, получим л х В= ~~ (х! — х)(у! — у) / ~Г,(х,— х)х. (9.5") 3=! $ ! Таким образом, формулы (9.5") и (9.6) вместе с (9.7) позволяют определить оценки Н и В. Что же касается погрешностей этих оценок, то в лабораториях физического практикума, как нравило, бывает достаточно либо вычислить оценку стандартного отклонения коэффициента В, либо интервал, в котором с установленной вероятностью может находиться искомый коэффициент р.

Можно показать (91, что оценка стандартного отклонения коэффициента В выражается следующим образом: зв = — $у хх в/! — гх (9.8) „У вЂ” я ' где использованы обозначения л ! ч-1 з„= ~ (х! — х)', ~/ (в — !) 2,( ! ! (9.9) л Г $ ! (9.10) и оценка коэффициента корреляции и — ! ч-ъ — ! х = — ~ 'х, = 1, 1; у = — д у! = 1,67. ()о 2~ ' !о Ь * 32 ~', (х! — х) (у! — у) Г= (9.11) ((х — !) хххх) Интервал, в котором с установленной вероятностью ао может находиться коэффициент р, записывается в виде 191  — !а„п-1'за(() ~(В+1а„х — з зв (9.12) где В определено формулой (9.5"), зэ — формулой (9.8), а хх,д з — коэффициент Стьюдента для надежности аа и значения параметра а-2 и и†число пар точек. Пример.

Пусть для определения коэффициентов р и !) произведено десять измерений пар величин х и у, результаты которых приведены в табл. 1. Если известно, что система уравнений измерения имеет вид,(9.1) и применимы ограничения, изложенные выше, то можно использовать формулы настоящего параграфа. Вычислим величины По формуле (9.5") найдем оценку В м Д~ (ху — х) ((» — х) В = '=' = 1,54, м ~ (х~ — х)х с-и а опенку Н вЂ” по формуле (9.6) Н=у — Вх = — 0,02. На рис. 2 приведены экспериментальные значения хь йч и наилучшая прямая, уравнение которой имеет вид у= 1,54х — 0,02.

(9.13) Оценка стандартного отклонения для коэффициента В равна Интервал, в котором с вероятностью ао=0,90 может находиться коэффициент 5, имеет вид (см. $27): ()=1,54~0,21, коэффициент доверия аю=0,9. В вычислениях использована величина 8омз=1,9 (см. табл. 11 приложения Б). Замечание 1. Во многих случаях вид уравнений измерения неизвестен. В этом случае сначала из каких-либо соображений (например, по графику) выбирают формулу измерения', а затем методом наименьших квадратов вычисляют значения коэффициентов в выбранной формуле. Однако надежность таких оценок часто сомнительна (см. гл. 7).

ГЛАВА 4 ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К ОФОРМЛЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ Результаты измерений необходимо записывать и обрабатывать определенным образом. Разумная схема записи предупреждает грубые ошибки при выполнении измерений, экономит время, позволяет по записи быстро понять смысл работы. Результаты прямых измерений записываются только в журнал лабораторных работ. Для вспомогательных расчетов можно использовать черновики. Всю подготовительную работу (оформление, вводной части, вычерчивание таблиц для записи результатов прямых измерений, подготовка миллиметровой бумаги для графиков и т.

д.; см. ниже) следует выполнять накануне с тем, чтобы время работы в лаборатории использовать наиболее рационально: проводить эксперимент, выполнять измерения, записывать и обрабатывать результаты измерений. Правильно оформленная лабораторная работа †э отчет, основу которого составляют'три части. В первой, вводной, части описываются установка и применяемый метод измерения. Во второй, основной, части должны содержаться результаты всех прямых измерений. Итоговые результаты эксперимента и выводы приводятся в третьей части. В данной главе вопросы оформления рассматриваются в соответствии с требованиями, существующими в лабораториях физического практикума. Дополнительные полезные сведения об оформлении можно найти в (101.

$10. ОФОРМЛЕНИЕ ВВОДНОЙ ЧАСТИ Вводная часть должна содержать краткое описание примененного метода измерений и основных элементов (узлов) установки, которая используется для реализации этого метода. В этой части следует также указать основные характеристики используемых приборов (погрешности, пределы значений измеряемой величины и т. д.) Трудно дать одну точную схему, согласно которой следует оформлять вводную часть для всех задач физического практикума. Однако можно рекомендовать следующую примерную схему: 1.

Указать название задачи. 2. Нарисовать схематический чертеж, рисунок, электрическую или оптическую схему, поясняющую идею применяемого метода измерений. На чертеже обозначить характерные величины. 8 В одном-двух предложениях сформулировать идею метода измерений. 4. Привести основные расчетные формулы. б Привести обозначения и названия величин, встречающихся в задаче. б. указать название, диапазон измерения, цену деления и погрешности для всех используемых приборов. у. Для каждого упражнения записываются название и номер.

Если в данном упражнении используются дополнительные формулы, приборы, применяется другой метод измерения, то это необходимо указать согласно данной схеме. $1Ь ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ Результаты измерений рекомендуется записывать в таблицы, которые оформляются накануне выполнения задачи следующим образом: Е Сначала записываются номер таблицы и ее название. 2. Каждый столбец (или строка) таблицы должны включать как название, так и обозначение изйеряемой величины и указание единицы ее измерения. 3.

Разумно в первых столбцах записывать величины, играющие роль аргумента (например, время, температура и т. д.), а в последующих — играющие роль функции (скорость, теплоемкость и т. д.). 4. Иногда бывает удобно рядом со столбцом для некоторой величины х~ записывать столбцы для разности этой величины и выборочного среднего значения (х; — х) и квадрата этой разности (х; — х) '. 5. Таблицы следует чертить только по линейке.