А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика), страница 10

Рассмотрим две последовательности (А) и (Б) троек чисел: 001, 004, 009, 016, 025, 036, 0,49, 064 . . . . . . (А) 294, 976, 480, 181, 393, 522, 607, 903 . . . . . . (Б). В случае последовательности (А) легко угадывается закономерность: а-я тройка чисел есть просто три последние цифры квадра- 46 та натурального числа и. Последовательность же (Б). является случайной. Не существует способа, который позволил бы предсказать цифры в любой тройке. Фундаментальное различие между последовательностями (А) и (Б) проявляется при. передаче этих последовательностей от одного лица к другому илн от источника к приемнику. В случае последовательности (А) достаточно передать закон: а-я тройка есть три последние цифры квадрата натурального числа и.

В случае же последовательности (Б) необходимо .передавать каждую цифру каждой тройки 11Ц (подробнее см. [12, 131). $17. СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ. ВЕРОЯТНОСТЬ. ДОСТОВЕРНЫЕ И НЕДОСТОВЕРНЫЕ СОБЫТИЯ. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕИ Предсказать, сколько броуновских частиц можно будет увидеть в поле зрения микроскопа при очередном наблюдении„ невозможно. Однако, если проделать достаточно большое число наблюдений и, а затем спросить, сколько раз в поле зрения будет наблюдаться, например, 5 частиц, то проблема предсказания не оказывается такой уж безнадежной.

Пусть 5 частиц мы наблюдалн 7п раз. Величину и/и называют частотой события, состоящего в наблюдении пяти частиц. Частота и/и какого-либо фиксированного события для возрастающих значений а обнаруживает тенденцию принимать при больших значениях и более или менее .постоянное значение, т. е. обнаруживает статистическую устойчивость. Пример 2. Пусть эксперимент состоит в бросании монеты, а событие — в выпадении герба. Пусть число бросаний в одной серии наблюдений равно и. Рассмотрим набор серий из п бросаний каждая.

Если число бросаний в каждой серии невелико (например, а=2), то частота выпадения гербаотодной сериикдругой силино флуктуирует,. Если же число бросаний в каждой серии будет . очень велико (например, а=10'), то частота выпадения герба будет испытывать от серии к серии лишь небольшие отклонения от числа 0,5, т. е.

будет наблюдаться статистическая устойч и во с т ь частоты. Определение с т а тя с т и ч е с к а я имеет тот смысл, что все же, хотя и крайне редко, на и в этом случае, в принципе возможны заметные отклонения частоты от числа 0,5. С понятием частоты события связано понятие вероятности этого события. Именно для каждого события, связанного со случайным экспериментом, можно указать такое число Р, называемое вероятностью этого события, что в длинном ряду повторений этого эксперимента частота рассматриваемого события окажется приблизительно равной Р. Для частоты любого события, очевидно, имеем 0(ш/п(1.

47 Естественно, что вероятность Р удовлетворяет аналогичному неравенству 0<Ра',1. (! 7.1) Пусть некоторое событие наступает в подавляющей части всех случаев (напрнмер, пусть событие состоит: в том, что в поле зрения микроскопа наблюдается меньше 100 частиц, в то время как обычно наблюдают 3 — 4 частицы). Вероятность итого события, очевидно, заключена в пределах 1 — е((Р(~~1, (17.2) где е — некоторое очень малое положительное число. О таких событиях, которые удовлетворяют неравенству (17.2), говорят как о практически д о с т о в е р н ы х событиях.

Если же событие наступает в очень малой доле всех случаев (например, одновременное наблюдение более 100 броуновских частиц в случае предыдущего примера), то его вероятность удовлетворяет следующему неравенству: 0~(Рак,е, (17.3) где е — очень малое положительное число, и о таких событиях говорят как о практически недостоверных событиях. Если два каких-либо события А и В несовместны*, то вероятность осуществления события А+В (т.

е. что наступит хотя бы одно из событий А или В) равна Р(А+ В) =Р(А) + Р(В), (17.4) где символ Р— означает вероятность события, а запись в скобках показывает, в чем именно состоит событие. Формула (17.4) известна как формула сложения вероятностей. Вероятность реализации двух независимыхее событий А и В авиа Р Р(А В)=Р(А) Р(В).

(17.5) Формула (17.5) известна как формула умножения вероятностей. й 18. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ И ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ГИСТОГРАММА Пусть $ †некотор непрерывная случайная величина, например результаты измерений толщины пластинки микрометром. Допустим, что мы сделали очень много измерений. Тогда в соответствии с $17 настоящей главы мы в состоянии ответить на вопрос, какова вероятность того, что величина 5 окажется в определенном интервале хг — ', хзг Эта вероятность будет. пропорциональна ширине ' События несовместны, если онн не могут реализоваться одновременно (см. ~12, 13]).

События независимы, если вероятность осуществления одного яз ннд не зависит от реализации другого 112, 13]. 48 этого интервала Ьх=х» — хь Коэффициент пропорциональности„ естественно, может зависеть от х. Иначе говоря, со спучайной величиной $ связана некоторая функция 1(х), называемая функцией плотности вероятности, или функцией плотности, такая, что величина 7(х)лх пропорциональна вероятности события состоящего в том, что величина $ заключена в интервалц х —:х+ «(х.

Условно последнее обстоятельство записывается следующим образом: ~(х)г(х=Р(х(5<х+ Их), (18.1). где символ Р обозначает вероятность события, а запись и скобках показывает, в чем именно состоит событие. Наглядное представление о функции плотности непрерывной случайной величины можно получить, если имеющийся набор значений этой величины представить в вйде г и сто г р а м м ы. Гистограмма строится следующим образом. Сначала диапазон имеющихся значений случайной величины, для которой строится гистограмма, разбивают на некоторое произвольное число равных интервалов н выписывают последовательно один под другим эти интервалы в первом столбце таблицы.

Затем последовательно от. первого до последнего перебирают все значения случайной величины и смотрят, в какой интервал попадает каждое значение, и ставят во втором столбце в строке, соответствующей найденному интервалу, какой-либо условный знак (например, крестик). Наконец,, подсчитывают число знаков в каждой строке и в третьем столбце в соответствующей строке записывают, полученные значения. Обо-. значим эти интервалы на оси абсцисс и над каждым интервалом нарисуем прямоугольник, высота которого равна полученному числу знаков в третьем столбце таблицы (т.

е. числу случаев «попадания» значений случайной величины в данный интервал). Полученная система прямоугольников и образует гистограмму. Пример 3. Пусть имеется следующий набор (В) из 10 значений случайной величины $: 0,578; 0,188; 0,060; 0,903; 0,509; 0,777; 0,661; 0,102; 0,760; 0,429 (В)~ Из набора (В) видно, что случайная величина принимает значения в интервале между 0 и 1.

Разделим этот диапазон на 4 равных интервала длиной по 0,25 каждый и построим таблицу 4, а затем и. рнс. 4 в соответствии с вышеприведенными правилами. Система прямоугольников на рис. 4 и является гистограммой для набора (В). Очевидно, что если взять малое число интервалов (например, один), то гистограмма выродится в один прямоугольник.

В случае большого числа интервалов гистограмма выродится в ряд отдельных прямоугольников и не будет отражать график функции плотности. Обычно число интервалов надо выбирать таким образом, чтобы в каждом интервале было не менее 10 случаев. Будем увеличивать число значений случайной( величины, по ко"торым строится гистограмма, и одновременно увеличивать число интервалов (т. е.

делать интервалы все более мелкими). Над интерваламн будем' рисовать прямоугольники„. высоты которых равны числу случаев попадания в интервал, деленнбму на полное число случаев и на ширину интервала. Для достаточно большого набора значений $ полученная гистограмма будет мало отличаться ,от графика функции плотности случайной величины. Таблица 4 Например, если набор значений (В) был бы очень большим, то гистограмма на рис. 4 мало бы отличалась от графика функции плотности прямоугольного, или равномерного распределения (см.

5 20 и рис. 5). Рнс, 4. Гистограмма Рнс. 5. Фуницни плотности примоугольного (равномерного) рас- пределении На рис. Ь и 6 изображены примеры функций плотности непрерывной случайной величины. Величина 7(х)сЬ равна площади заштрихованной фигуры (см. рис.,б). Очевидно, что вероятность того, что при измерении вообще получится какое-то число„ равна 1, т.

е. +чч ~ Г(х)бх=1, так как вероятности несовместных событий суммируются (см $17). Условие (18.2) называется условием нормировки. В случае (18.2) 4 Й 3 2 ч н 5 0 0,25 0,$0 070 7 Случааная белнчнна Л7Ь 'сн Е 0 7г-г42 г г+аг и д 72 Случааная Ьелнчнна, л нормированной функции плотности', когда выполнено условие (18.2), площадь заштрихованной фигуры, или величина 1(х)бх, равна вероятност~ события, состоящего в том, что $ заключена в интервале х";х+бх. Для случайной величины $ определим также функцию Р(х): а Р(л)=рф(х)= ~ 1(х)дх. (18.3р Функция Р(х), определяемая соотношением (18.3), называется функцией распределения величины $.

Функция распределения в данной точке х раина вероятности того, что случайная величина меньше х. График этой функции в монотонная кривая„ возрастающая от О до 1 '. ни Ю н Ю ч и=а Случайная Ьелачана к Рис. 6. 1 и Н вЂ” функции плотности нормального распреде- ления с дисперсиями о~ >ое На рис. 5 изображена функция плотности для случайной величины, которая может принимать только ограниченные значения, а на рис.

6 — три функции плотности для случайной величины, зйачения которой не ограничены. $ 19. ПОНЯТИЕ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОЖИДАНИИ, МЕДИАНЕ И О ДИСПЕРСИИ Часто бывает, что нужно описать функцию распределения некоторой случайной величины в общих чертах с помощью одного- двух параметров.

В этом случае прежде всего надо указать некоторый «цеитр», вокруг которого группируются значения, этой случайной величины. . Наиболее употребительной и часто наилучшей мерой, характеризующей «центр» распределения значений случайной величины, является математическое ожидание, которое обознача- ' В случае дискретной случайной вслнчвны также можно определить функцию плотности н функцию распределения. Функцию плотности дискретной случайной величины можно представить, если на ося абсцисс отложить возможные дискретные аначения атой велнчияы н от атик точек провести вертинале ные ливии, высота которыя равна нероятиостям соответствуянцик виачеинй.