А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика), страница 6

Оставшиеся составляющие погрешности учитывают одним из способов, рассмотренных в $6, причем возможны три следующих случая. 1). Если осталась только случайная погрешность, то, когда это возможно (см. $27), определяется интервал, в котором она может находиться с заданной вероятностью, либо просто ограничивают ся указанием выборочного стандартного отклонения среднего з-, и числа измерений и.

Очевидно, что случайную погрешность можно уменьшить, если увеличить число измерений и и улучшить условия, при которых выполняется эксперимент. 2. Если остались только систематические составляющие погрешности, то их можно учитывать методом рандомизации (см. 5 6). В случае, когда известны стандартные отклонения, по формуле (7.8) находят стандартное отклонение ол для суммарной погрешности Ал ох=у' о~+от+от+о,' + .. (7.8) 23 Далее либо вычисляют интервал, в котором с установленной вероятностью может находиться суммарная систематическая погрешность (когда известен закон распределения этой погрешности или используется неравенство Чебышева (см. $ 22)),либо ограничиваются указанием стандартного отклонения пл для этой погрешности. Если одна из оставшихся систематических погрешностей задается как предельная, то в случае, когда известен закон распределения этой погрешности и поэтому можно определить стандартное ' В предположення, что погрешность распределена по прямоугольному закону (см.

гл. 6). отклонение, ее учитывают, как и все другие погрешности в формуле (7.8). В условиях физического практикума допустимо приближение, когда предельную погрешность можно учитывать, как н все остальные составляющие систематической погрешности. используя формулу (7.7) для оценки стандартного отклонения этой погрешности. В ответственных случаях предельная погрешность учитывается отдельно, т. е. указывается значение этой предельной погрешности и стандартное отклонение для остальных составляющих систематической погрешности ох. Очевидно, что уменьшить систематические погрешности можно, если только усовершенствовать методику измерений и использовать более точные приборы.

Никакое увеличение числа измерений не может привести к уменьшению систематической погрешности. 3). Если и случайная и систематические погрешности сравнимы по величине, то согласно 5 6 либо находится интервал, в котором с установленной вероятностью может находиться суммарная погрешность, либо эти погрешности учитываются порознь. Следует заметить, что в условиях работы в лабораториях физического практикума сравнительно редко удается вычислить интервал для суммарной погрешности, и поэтому, как правило, приходится учитывать случайную и систематпческие погрешности отдельно, как это было рассмотрено выше в п.п.

1) и 2) (см. также $6). $8. косвенные измеРения В случае косвенных измерений искомая величина вычисляется на основании уравнения измерения (см. формулу (3.2) $31. В идеализированном случае для целей физического эксперимента представляет интерес значение функции 1, вычисленное для истинных значений аргументов, т. е. величина »*=6)... » '"), ,'(8.1) где»„, »~„... — истинные значения аргументов хь хм ..., »,— искомая величина. Константы и параметры функциональной зависимости в (8.1) для краткости опущены. Уравнение (8.1) определяет искомую величину»,.

Однако на практике обычно известны не истинные значения»~, »„..., а выборочные средние хь Уз, ..., которые отражают вклад различных погрешностей. Обозначим результат вычисления функции (8.1) через х, если в качестве аргументов использованы величины хь Ум .... Очевидно, что У будет также случайной величиной. Поэтому, как и в случае прямых измерений, можно попытаться определить, с какой вероятностью величина», может находиться в заданном интервале или каковы характеристики ее систематической и случайной погрешностей (см. 5 6). Ввиду сложности задачи ограничимся лишь ее приближенным решением, которое будет тем точнее, чем мень. ше погрешности выборочных средних Уь Ум ...

Ради простоты изложения рассмотрим подробно функцию толь. ко одной переменной, делая для случая многих независимых пе- ременных необходимые замечания. Математические преобразования в случае функции многих переменных совершенно аналогичны проводимым преобразованиям для случая одного переменного. Предположим, что функцию х =)(х) (8.х) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки р„где 1т,— истинное значение величины х. Разложим функцию 1(х) в ряд Тейлора *, ограничиваясь линейным членом разложения г=~(рх)+ ~ ~ (х — рх)+гя, (8.3) ох р'» где выражение =~ означает значение производной функции ф Их»х )' в точке р,. Запишем для разложения (83) остаточный член гт в форме Лагранжа ~*Р 1 ( — р)' Ге= = дхе ~с 2! (8.4) лат где выражение =, означает значение второй производной функции 1 в точке С и точка С лежит между рх и х.

Можно поставить вопрос, при каких условиях можно пользоваться линейным разложением (8.3)? Ответ, очевидно, зависит от требований, которые мы предъявляем к точности вычисления оценки р,. В условиях физического практикума будем считать, что можно пользоваться разложением (8.3), если для всех х выполняется следующее условие: (8.5) т. е.

остаточный член гт должен составлять не более 10% от ли- нейного члена. Условие (8.5) определяет интервал Д х= ~х — рх), для которого справедливо разложение (8.3) 0,2~= дх ~ х р ( ~ 1 7 х ахе с~ (8.6) причем производные считаются отличными от нуля и бесконечности. Поскольку разность х — р является случайной величиной, то непосредственно из (8.5) нельзя сделать вывода о возможности разложения (8.3). Однако если бы удалось определить верхнюю границу Дх е е для этой разности, тогда в случае справедливости е Относительно еоеможноети ризложения фунинии н ряд Теалори ен. Щ.

25. неравенства (8.5), в которое вместо Л х надо подставить эту верхнюю границу, следовала бы возможность разложения (8.3). Чтобы оценить Лхм„„ рассмотрим самый общий случай, когда для результата прямого измерения х существенны и систематические (Л,) и случайные погрешности (Л) среднего и когда погрешность прибора Л задается как предельная Л „, и поэтому, вообще говоря, должна учитываться особо.

В этом случае имеем х=р,+Л,+Л+Л„„,. (8.7) Подставляя (8.7) в выражение для Л х, получим Лх= 1Лс+Л+Л с!. (8.8) В лабораториях физического практикума, как правило, ограничиваются коэффициентами доверия порядка 0,8 †: 0,9 (не больше). Поэтому на основании неравенства Чебышева можно предполагать, что погрешности, превышающие' величину Зо, будут встречаться редко. Кроме того, из физических соображений ясно, что погрешности не могут быть неограниченными.

Используя это предположение, получим следующую верхнюю границу для Лх: ~ Зов+ Зз +Л» чч (8.9) где мы использовали обозначения $7. Надо отметить, что величина Зз будет достаточно хорошо представлять верхнюю границу случайной погрешности только в случае, когда з, близко к стандартному отклонению среднего, т. е. если проделано не менее 10 измерений (см. $27). Очевидно, что такое число измерений необходимо выполнить только в случае, когда случайные погрешности велики. Если же они малы, то нми можно пренебречь. Окончательно условие воэможности разложения (8.3) примет следующий вид: (8.6') При проверке условия (8.6') могут быть два случая: 1) если неравенство (8.6') ие выполняется, то разложение в ряд Тейлора (8.3) использовать нельзя и бесполезно вычислять оценку У искомой величины р, из уравнения косвенных измерений, так как нельзя определить погрешность полученного значения х.

В этом случае нужно увеличить число измерений или использовать более точные приборы, чтобы снизить погрешности и таким образом добиться выполнения условия (8.6'), или же применить другой метод измерения. В случае функции многих переменных если хотя бы для одного переменного не выполняется условие (8.6'), то разложение в ряд Тейлора использовать нельзя. 2) в случае выполнения условия (8.6') с помощью разложения (8.3) можно получить следующие результаты.

Используя (8.1), перепишем (8.3) в виде (8.3') Вычислим математические ожидания для обеих частей равенства (8.3'), используя теоремы о математическом ожидании суммы и произведения (см. приложение А). Для левой части равенства имеем Для правой М ( ~ $ (х — р,)) =М ~ ~ $ ).М(х — р,)=0. Приравнивая оба значения, получим (8.10) М(Ы) =1ь„ т. е. математическое ожидание функции от выборочного среднего значения аргумента равно искомому значению функции, т. е.

функции от математического ожидания аргумента. На этом основании значение х, определяемое соотношением (8.2), в случае справедливости разложения (8.3) принимается за оценку искомой величины р, в случае косвенных измерений. Определим теперь возможные погрешности в оценке х, прцкполагая, что для х существенны все виды погрешностей. Однако в отличие от представления (8.7) погрешности, задаваемые как предельные, будем учитывать так же, как и все остальные систематические погрешности величины х *.

Для этого, как уже было сказано выше (см. 5 6), либо с помощью функции распределения, когда она известна, либо приближенно по формуле (8.7) определяется стандартное отклонение этой погрешности, с учетом которого затем вычисляется ов по формуле (8.8). Таким образом, вместо (8.7) мы теперь будем использовать следующее представление для х: (8.7') х = рг+ Ьв+ Л.

Возведем в квадрат обе части равенства (8.3'), в которое вместо У подставим его выражение (8.7'), и вычислим математическое ожидание для каждой части. Для левой части равенства получим согласно определению дисперсии (см. гл. 5) М ((г — рг)') = о;-'. (8.1 1) Погрешностн, задаваемые как предельные, можно учнтмвать отдельно ог остальных методом максимальной погранпоста (см. [811. Полученные результаты позволяют учитывать погрешности и в случае косвенных измерений в соответствии с $6. Используя функцию распределения, когда она известна, или неравенство Чебышева и выражение (8.14) для стандартного отклонения систематической погрешности, определяется интервал, в котором с установленной вероятностью может находиться суммарная систематиче; ская погрешность ЛТ .

Для случайных погрешностей либо указывается оценка стандартного отклонения з„либо, когда систематические погрешности малы, ориентировочный интервал (см. 5 27). Замечание 1. Так как на практике нам известны выборочные средние Уь Уя, ..., то вычисления производных выполняются для значений этих выборочных средних. Замечание 2. В формулах, (8.14') и 8.18') в подкоренном выражении следует пренебречь слагаемыми, которые не превышают 10$ от максимального слагаемого. й Э.