А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика), страница 9

Так как относительная погрешность выборочного стандартного отклонения среднего может превышать 10~э (в условиях работы в лабораториях общего физического практикума), то естественно использовать одну-две значащие цифры для представления его значения. Последняя значащая цифра выборочного среднего должна быть в том же .разряде, в каком находится аналогичная цифра выборочного стандартного отклонения среднего.

Например, если оценка погрешности равна 0,12, то результат мог бы быть представлен как 1,23. При расчетах результата косвенных измерений или в иных случаях, когда приходится выполнять вычисления с приближенными числами, необходимо помнить несколько простых правил. При сл„женин и вычитании обычно у членов суммы (или разности) последняя значащая цифра находится в разных разрядах.

Перед выполнением операцгй сложения (или вычитания) нужно определить самый старший разряд, в котором находится последняя цифра у одного из членов суммы (разности), н все остальные члены суммы (разности) округлить до этого разряда. Например, сумму З,И+25 нужно представить как 3+ 25. результат умножения или деления, очевидно, не может содержать больше. верных значащих цифр, чем их содержит сомножитель (или делимое, или делитель) с минимальным числом значащи» цифр. Поэтому результат умножения (деления) необходимо округ.- лять до этого минимального числа значащих цифр.

Например, ре; зультат умножения двух чисел 3,14 и 25 следует представить как 3,14 .25= 78. При возведении в степень или извлечении корня (любой сте- ' пени), логарифмировании или вычислении какой-либо стандарт- ной функции результат записывается с тем же числом значащих цифр, какое содержит аргумент. При выполнении какой-либо комбинации арифметических опе- раций у чисел,,соответствующих промежуточным результатам, сохраняют на одну значащую цифру больше, чтобы избежать до- полнительных погрешностей, связанных с округлением. Если вычисления проводятся иа карманном калькуляторе или ЭВМ, то разрядность представления чисел определяется конструк- цией калькулятора (ЭВМ).

Очевидно, результат вычислений сле- дует переписывать с числом значащих цифр, соответствующих минимальному в одном из сомножителей (или аргументе функ- ции). Надо стараться избегать ошибочной практики, когда ре- зультаты вычислений переписывают с таким числом значащих цифр, которое выдает калькулятор (ЭВМ), Например, если сомножитель (или аргумент функции) содер- жал две значащие цифры, а результат вычислений представлен на табло калькулятора (дисплее, распечатке с ЭВМ) девятью цифра- ми, то следует переписать результат только с двумя значащими цифрами. $ И. СВОДКА ПРАВИЛ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА 7.

Прямые измерения 1. Результаты измерений записываются в таблицы в соответ- ствии с $11 гл. 6 части 1. 2. Вычисляются выборочные средние 1 ъ-ч х — ~~ х,. ! ! 3. Вычисляются выборочные стандартные отклонения среднего 4. Определяются различные систематические погрешности и рассчитывается суммарная систематическая погрешность (см. $ 7) «"х = 'г' о~~+ озз+о~+ о~~е+ где погрешность прибора о определяется по паспорту прибора. Если погрешность прибора задается как предельная (максимальная) Ьмм~,„то приближенно оамбв~асД/ Г2; погрешность округления о> ††, где в в цена деления прибора, или та удвоенная доля делениЯ, до котоРой пРоизводитсЯ окРУгление (см.

2 7)," о~гав субъективная погрешность (см. $7), может входить в методическую; о — систематическая погрешность метода измерений (см. $7). В выражении для пх пренебрегают всеми составляющими погрешности, которые ие превышают 10~ от максимального значения слагаемого, входящего в сумму.

5. Задается коэффициент доверия (вероятность) ао. б. Для систематической погрешности вычисляется полуширииа интервала по одной из формул: а) Л,=А„„,; б) Ь,=~; в) Ь,=у оз. Формула а) применяется, когда существенна только погрешность прибора, задаваемая как предельная. В этом случае вероятность практически равна 100"",ь.

Формула б) применяется, когда существенна только погрешность округления. Коэффициент доверия и в этом случае равен практически 100$. Формула в) применяется в остальных случаях. 7. Когда существенны только случайные погрешности (т. е. когда з-,)Зох), то можно вычислить полушнрнну интервала, если эти погрешности распределены по нормальному закону а,в-1 м' 8. Окончательный результат записывается одним из следующих возможных способов (см.

$21): а) р=х~ Л; коэффициент доверия а=а,; б) р=х; Л,=(число), коэффициент доверия а=а,; з;=(число); и = (число); в) р=х; ох=(число), з-,=(число); л=(число). Формула а) применяется, когда либо случайными, либо систематическими погрешностями можно пренебречь; Л определяется тогда соответственно либо как Л„либо как случайная погрешность Ь. Формула б) применяется, когда систематическая погрешность учитывается интервалом. Формула в) применяется в остальных случаях. 9. Множители 1, б 7 определяются из таблиц 11, 111 приложения Б.

П. Косвенные измерения 1. Результаты измерений записываются в таблицы в соответ« стени с $11 гл. 4. 2. Для результатов прямых измерений аргументов хс функции 1, где с — номер аргумента, вычисляются: а) выборочные средине е х, = — „~~~~~ хсл' ь-с б) выборочные стандартные отклонения среднего ес 1 % ° 3 у. (хс.а — хс)*. .сс ~/ ссс (ас — 1) Д~ ь-с 3. Для каждого аргумента вычисляются: а) суммарные систематические погрешности б) интервалы !Ф 4. Для каждого аргумента проверяется условие (см. $8) Л >З(о + ).

ес Бели это условие не выполняется хотя бы для одного нз аргументов, то измерения продолжают до тех пор, пока это условие не начнет выполняться, иначе используют более точные приборы или иной метод измерений (см. 5 8). 5. Вычисляется выборочное среднее функции У=~(Ус, Уз, ...). 6. Вычисляется стандартное отклонение систематических погрешностейй 7.

Вычисляется оценка стандартного отклонения среднего для случайных погрешностей 6. Задается коэффициент доверия ав. 9. Вычисляется полуширина интервала для систематической погрешности Ь,=у„° о; . 10. Окончательный результат записывается.в виде: а) р=г~й;, коэффициент доверия а=а,; б) )х=г; Ь,=(число), коэффициент доверия а=а,; э;=(число); в) )х = г; о;х — — (число); з;= (число).

Формула а) применяется, когда случайные погрешности малы. Формула б) применяется, когда систематическая погрешность учитывается заданием интервала. Формула в) применяется в остальных случаях. 11. Множитель у находят из табл. 111 приложения Б. 1Н. Совместные измерения. Метод наименьших квадратов (МНК) 1. Результаты измерений записываются в таблицы в соответствии с $11 гл. 4. 2. Если уравнения измерений линейны, переменная х не содержит погрешностей, а переменная у распределена нормально и определяется из равноточных измерений (т.

е. стандартное отклонение о„одинаково для всех значений у~) и систематические погрешности малы, то вычисляется коэффициент В: л 2„(х~ — х) (у~ — у) В=' ' л ~ч'„(х~ — х) х с=и где х= — ~» х,; у= — у у~ в в 3-1 К-1 и н †чис пар точек хь уь 3. Коэффициент Н вычисляют из уравнения Н=у-Вх. 4. Задается коэффициент доверия аь. 5. Вычисляется полушнрина интервала для коэффициента В =.. мочп — ~г=а, г=Я (хв — х) (уя — у)И(» — 1) з з„) =В (зз/зз)' к-в 6. Для коэффициента р определяют интервал р=В~ЛВ, коэффициент доверия а=аз. 7. Пряную У=Вх+Н строят на графике в соответствии с $13. 8. Коэффициент 4,„, з находят иэ табл.,П в приложении Б.

Замечание. Все вычйсления следует выполнять в соответствии с правилами тл. 4, $14. ГЛАВА б НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ й 16. ПОНЯТИЕ О СЛУЧАИНОИ ВЕЛИЧИНЕ В практике экспериментальных исследований часто встречаются случаи, когда какая-либо величина измеряется много раз при одинаковых условиях. В результате каждого измерения получается некоторое число.

Иногда бывает, что возможно предсказать, какое именно число получится при выполнении следующего измерения. Но значительно чаще этого сделать невозможно. Небольшие отклонения от начальных условий, которые экспериментатор не н силах заметить И проконтролировать, делают совершенно безнадежными любые попытки предсказать результат очередного измерения.

В этом случае, когда результат эксперимента может меняться от одного наблюдения к другому самым неправильным образом, когда все попытки предсказания результата очередного измерения не оправдываются, говорят, что имеют дело с последовательностью случайных экспериментов, а о результатах, измерений говорят как о случайных величинах. Случайная величина может быть дискретной (напрнмер, число броуновских частиц в поле зрения микроскопа) или не п р ерывной (например, результатЫ измерения толщины пластинки микрометром). По своей природе многие величины в рамках классической физики являются вполне определенными, неслучайными (например, толщина пластинки, время между двумя событиями и т, д.).

Однако из-за влияния различных случайных факторов в процессе эксперимента результаты измерений — случайные величины. Однако имеются и такие величины, которые уже по своей природе случайны (например, число броуновских частиц в поле зрения микроскопа, параметры, описывающие явления в газах, плазме и др., радиоактивный распад и другие статистические явления описываются случайными величинами). Пример 1.