А.Н. Матвеев, Д.Ф. Киселёв - Общий физический практикум (механика), страница 4

Увеличением числа измерений нельзя исключить систематическую погрешность. Оценить величину систематической погрешности и ввести необходимые поправки совсем не просто. Для этого приходится делать дополнительные измерения (например, измерять силы трения, массы нитей, блоков и т. д.), рассматривать сложные системы уравнений, в которых учитываются все факторы и т. д. Случайной называется погрешность Л, которая изменяется от одного измерения к другому непредсказуемым образом и в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной.

Случайная погрешность возникает как результат совместного влияния различных случайных факторов. Если измерение выполнено один раз, то о значении случайной погрешности, как правило, ничего не известно. Если какая-либо физическая величина измеряется многократно в одинаковых физических условиях, то можно путем статистической обработки результатов измерений оценить величину случайной погрешности. Для оценки случайных погрешностей используется аппарат теории вероятностей и математической статистики (см. гл. 5 — 8).

Существенным для выводов, которые следуют из эксперимента в этом случае, является понятие статистики событий, или числа измерений. Чем больше статистика, тем точнее и надежнее выводы. Статистика событий для разных экспериментов может колебаться от нескольких единиц в год (эксперименты с нейтрино, космическими лучами и т. д.) до 10э событий и больше за небольшой отрезок времени (эксперименты на ускорителях, информация со спутников и т. д.).

При больших объемах измерений возникают значительные трудности с обработкой результатов эксперимента. Иногда по этой причине выводы из эксперимента делаются спустя несколько лет после его завершения. Чтобы избежать этих трудностей, современные эксперименты реализуются в режиме, получившем название «на линии связи с ЭВМ». Сигналы, отражающие показания измерительных приборов, по линиям связи поступают непосредственно в электронную вычислительную машину (ЭВМ), которая как проводит всю обработку и анализ результатов по заранее разработанной программе, так и управляет ходом эксперимента. Увеличивая число измерений, можно практически исключить случайные погрешности.

Например, пусть разброс случайных погрешностей отдельных измерений х относительно математического ожидания, (которое по определению равно нулю) характеризуется стандартным отклонением о. Разброс же случайных погрешностей Л для выборочного среднего я, определенного по выборке объема а, характеризуется стандартным отклонением пал (см. гл. 5, 6). 1б Таким образом, при большом числе измерений и случайная погрешность будет невелика. Отметим, что случайная погрешность имеет «центр» распределения: математическое ожидание, равное нулю. Произвольная случайная величина такого «центра» может и не иметь: математическое ожидание может и не существовать.

Случайные погрешности надо сравнивать с систематическими, так как иначе может оказаться, что повышение точности измерений при увеличении статистики будет иллюзорным из-за систематических погрешностей. Окончательная погрешность результата, т. е. погрешность, которая остается после введения всех поправок, как правило, н определяется таким минимальным значением систематической погрешности, которую еще способен контролировать экспериментатор, располагая заданным комплексом средств измерения. ы — резулыоамы измерении Факыичесное значение й резульыаты измерений — » Фанлзичесное значение Рнс. 1.

Искажения нзмеряемой велнчнны случайными (а) н систематической (6) погрешностями На рис. 1, а на числовой оси приведены в виде черточек результаты пяти последовательных измерений и фактическое значение измеряемой величины, когда имеются только случайные погрешности, а на рис. 1,б — результаты измерений в случае, когда имеются и систематическая и случайные погрешности. В заключение сделаем следующее замечание. Все вышесказанное относилось к величинам, которые имеют вполне определенное, фиксированное значение (например, момент инерции тела, толщина стальной пластинки и т. д.).

Однако этн же понятия можно применять и для параметров статистических величин (например, средней скорости молекул газа, среднего числа броуновских частичек в поле зрения микроскопа и т. д.), если под ошибкой Л в этом случае понимать разность измеренного значения параметра и его фактического значения. й 6. СОСТАВЛЯЮШИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ На погрешность измерений могут влцять разные факторы (источники погрешности). Имея в виду различные факторы (источники), различают следующие составляющие погрешности измерений 1) погрешность прибора Ая, 1З 2) погрешность округления Ьэ; 3) методическая погрешность А ; 4) промахи Ап 5) погрешность вычислений Ь,.

Погрешность измерений определяется суммой всех этих составляющих: Ь = Ь, + Ь, + Ь„+ Ьп+ Л, (5.1) Показания любого прибора, даже самого точного и совершенного, всегда отличаются от фактического значения измеряемой величины. Это отличие характеризуется погрешностью прибора, которая указывается в паспорте, прилагаемом к прибору.

Погрешность прибора в свою очередь может содержать случайную и систематическую составляющие. Причины возникновения этой погрешности — несовершенство реальных материалов, невозможность полного устранения вредных помех (например, трения), дефекты сборки и т. д. При считывании со шкалы прибора результат измерения всегда выражается конечным числом значащих цифр, т. е. всегда имеется погрешность округления. Существуют различные методические рекомендации по измерению одной и той же физической величины: сложные и более простые.

Погрешность результата измерений также зависит от методики их проведения. Каждой методике можно сопоставить некоторую идеализированную модель измерения. Отличия этой модели от реальной процедуры измерений и приводят к методической погрешности. Например, в лабораторной работе 5 момент инерции простейших тел определяется как разность моментов инерции тела с платформой н пустой платформы. Такая методика измерений даже в случае довольно точных измерений отдельных членов разности приводит к большой методической погрешности результата. В случае резких нарушений условий, при которых должны проводиться измерения, могут появиться промахи, т. е.

большие искажения измеряемой величины. Например, невнимательность экспериментатора (увидел одно число, а записал другое; сделал ошибку, когда переписывал результаты и т. д.), резкие сотрясения установки, наводки при коротком замыкании цепи какой-нибудь соседней установки и др. приводят к промахам. Наконец, в процессе математической обработки результатов измерений, когда вычисления ведутся с конечным числом значащих цифр, могут появиться дополнительные погрешности, связанные с такими вычислениями.

$6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ УЧЕТА ПОГРЕШНОСТЕА В условиях работы в лабораториях физического практикума необходимо учитывать случайные и систематические погрешности. 1. Случайные погрешности можно учитывать одним из следующих способов: 1) указать функцию плотности (см. гл. 5); 2) в случае, когда систематические погрешности пренебрежимо малы, указать интервал, в котором с установленной вероятностью находится случайная погрешность Ь (см. гл. 6); 3) указать оценку стандартного отклонения (выборочное стандартное отклонение, см. гл. 7). Функцию плотности )(Л) удается указать лишь в немногих случаях, когда она известна. Если систематические погрешности заметно меньше случайных, то иногда можно в соответствии со сказанным в $ 27 определить интервал, в котором может находиться случайная погрешность Ь.

В остальных случаях можно вычислить только выборочное стандартное отклонение (см. $25). 2. Систематические погрешности, как было сказано в $ 4, искажают результат измерения в какую-либо одну сторону: завышают его или занижают. Например, при измерении толщины пластинки микрометром при высоких или низких температурах может возникать систематическая погрешность из-за различного теплового расширения материалов пластинки и микрометра. Учесть эту погрешность можно, если знать тепловые характеристики материалов и измерить температуру, при которой проводились измерения. При измерении времени возникает систематическая погрешность, если секундомер «спешит» или «отстает».

Эту погрешность можно учесть, если проверить ход секундомера по более точным часам. В практике эксперимента очень важным является обнаружение и исключение систематических погрешностей. Дать общий рецепт исключения систематических погрешностей нельзя, но можно указать некоторые методы, которые могут быть полезны. Систематические погрешности по характеру их проявления могут быть 1) постоянными или 2) переменными (на длительных этапах времени). В последнем случае учет систематических погрешностей особенно затруднителен. Из общих методов исключения систематических погрешностей можно указать следующие: 1) изучение составляющих погрешностей и внесение необходимых поправок, которые определяются в результате проверки приборов по эталонным; 2) устранение возможных дополнительных источников погрешностей, что достигается, в частности, правильной установкой приборов, исключающей их взаимные влияния и возможный параллакс, правильным определением начала отсчета, а также определением времени наступления равновесного или стационарного состояния.