Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957)

АННОТАЦИЯ Книга представляет собой учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений по некоторым разделам высшей математики, выходящим за пределы основного курса. Книга написана очень сжато, в конспективной форме. Она представляет интерес не только для студентов старших курсов, ио также для аспирантов, инженеров и преподавателей. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 56 58 60 63 66 74 77 83 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИЯХ 1. Комплексные числа . 108 2.

Ряды с комплексными членами . : ........... 111 $ 3. Степенные ряды . 114 б 4. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции комплексного переменного ..., ..., ... 120 ГЛАВА 1 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 1. Периодические функции 2.

Ряды Фурье для функций с периодом 2я 3. Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2я ф 4. Четные и нечетные функции $5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2в 6. Ряды Фурье для функций с любым периодом . 7. Уравнение свободных малых колебаний струны и его решение методом Фурье 8.

Интеграл Фурье 8 9. Комплексная форма интеграла Фурье. 8 10. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций . б 11. Ортогональиые системы функций . 6 12. Минимальное свойство коэффициентов Фурье . ГЛАВА П ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 1. Основные сведения из векторной алгебры 2.

Векторные функции скалярного переменного 3. Сопровожда!ощий трехгранник пространственной кривой 4. Скалярное поле. Градиент скалярного поля . 8 5. Криволинейные интегралы 6. Векторное поле 7. Поверхностные интегралы 6 8. Формула Остроградского . 9 9. Векторная запись формулы Остроградского. Дивергенция векторного полн й 1О. Формула Стокса . 8 11. Векторная запись формулы Стокса. Вихрь векторного поля 6 12. Операции второго порядка . 13. Символика Гамильтона . 14..Векторные операции в криволинейных координатах .

ГЛАВА П! 7 8 18 20 22 25 32 36 43 45 48 52 85 90 93 96 97 98 СОДВРЖАИИВ 6 5. Некоторые многозначные функции комплексного переменного 6. Производная функции хомплексного переменного 7, Аналитические и гармонические функции . 8. Интеграл функции комплексного переменного . 1 9. Основная теорема Коши 10. Интегральная формула Коши . 8 11.

Интеграл типа Коши 12. Производные высших порядков от аналитической функции 13. Последовательности и ряды аналитических функций . Б 14. Ряд Тейлора . $15. Ряд Лорана 6 16. Изолированные особые точки аналитической функции . % 17. Вычеты . 6 18. Принцип аргумента 6 19. Лифференцируемые отображения . 6 20. Конформные отобрангения областей .

ГЛАВА ~Ч О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ 1. Гамма-функция 2. Бесселевы функции с любым индексом 3. Формулы приведения для бесселевых функций 4. Бесселевы функции с полуцелым иадексом 5. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом 6.

Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента 7. Интегральный логарифм, интегральный синус, интегральный косинус ГЛАВА т ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 6 1. Вспомогательные сведении об интегралах, зависящих от параметра 2. Преобразонание Лапласа й 3. Простейшие свойства преобразования Лапласа 4. Свертка функций . 5. Оригиналы с рациональными изображениями 6 6. Приложения к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 7.

Оригиналы с изображениями, регулярными в бесконечности . 8. Изображения некоторых специальных функций . 9. Формулы обращения . й 1О. Лостаточное условие для того, чтобы аналитическая функция была изобралгением 124 129 136 138 143 148 150 152 153 156 161 164 . 168 178 181 191 206 214 220 222 225 229 235 242 247 251 255 258 262 266 276 281 285 ПРЕДИСЛОВИЕ Современное развитие техники предъявляет повышенные требования к математической подготовке инженера. Традиционный втузовский курс математики оказывается явно недостаточным при подготовке инженеров ряда специальностей. На некоторых факультетах многих высших технических учебных заведений в обязательную программу ныне включаются специальные (дополнительные) главы курса математики.

Однако подходящей для студентов втузов учебной литературы по этим вопросам еще не хватает, Использование же только одних больших курсов и монографий затруднительно для студентов. Практика показывает, что имеется большая потребность в небольших по объему, сжато написанных учебных пособиях, где в доступной для студентов форме и в определенной логической последовательности излагалось бы основ- ное содержание дополнительных глав курса математики, ныне'преподаваемых во втузах. Настоящая книга имеет целью в сжатой, конспективной форме изложить некоторые из этих' глав. Она возникла из книги «Дополнительные главы курса математики для радиотехнических факультетов» (Оборонгнз, 1954), явившейся конспектом лекций, читанных автором на радиотехническом факультете Московского авиационного института.

Предлагаемую книгу следует рассматривать как краткой певдисловив учебное пособие для студентов высших технических учебных ааведений по следующим разделам: ряды Фурье и интеграл Фурье; теория поля; теория аналитических функций; некоторые специальные функции; операционное исчисление. В книге не приводятся физические и технические приложения излагаемых теорий. Такие приложения можно найти в более подробных руководствах, например: в книге М. А. Лаврентьева и В. В.

Шабата «Методы теории функций комплексного переменного» (по аналитическим функциям, специальным функциям и операционному исчислению), в книге Г. П. Толстова «Ряды Фурье» (по рядам и интегралу Фурье). В отдельных (немногих) местах книги, в целях большей стройности, изложены некоторые не обязательные для студентов факты, тесно примыкающие к излагаемым теориям.

Автор ГЛАВА ! РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ $1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Пусть Т(х) — функция, определенная на всей числовой прямой. Число Т называется периодом этой функции, если от прибавления его к аргументу величина функции не меняется, т. е. если для всех х имеем у (х+ Т) = у (х). Если Т есть период функции, то пТ, где п — любое целое число, есть тоже период рассматриваемой функции. Таким образом, всякое кратное периода есть период. Функция, имеющая период, отличный от нуля, называется периодической. Легко видеть, что всякая периодическая функция, отличная от постоянной, имеющая хотя бы одну точку непрерывности, имеет среди своих положительных периодов наименьший.

Тогда все про- чие периоды будут кратны ему. Обычно, говоря о периоде функ- ции, понимают под словом апернодм наименьший нз положительных периодов. Если функция у (х) имеет период Т, то о (х) = у (ах) Т имеет период —. В самом деле, Р (х + — ) = / ~а (х + — Я =- у (ах+ Т) = у (ах) = о (х) . Если у'(х) имеет период Т, то интеграл этой функции, взятый в пределах, отличающихся на Т, не зависит от вы- бора нижнего предела интегрирования, т. е. отт т 1'(х)дх= ~ у'(х)ах Ряды ФуРьв и интвгРАЛ ФуРьв (гл. ! при всяком с.

Действительно, пусть, например, О ( сс. Т. Тогла Сот т ест т С т 1 =1+1 =1+1=1 с с т с о о с+т с учитывая, что вследствие периоличностн, т о й 2. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2я Поставим задачу: разложить сложную периодическую функцию на простые периодические функции. Под япро- стыми периодическими функциями» естественно понимать простые аармонини, т. е. функции вида А Мп (о!х+ а) или, что равносильно, функции вида а соя !»х+ () ы и о!х.

2» Эта простая гармоника имеет период — . Если мы хотим разложить функцию с периодом 2к на простые гармоники, то их частоты следует выбирать так, чтобы каждая из этих гармоник имела 2к в качестве одного из своих периодов. Таким образом, частоты о! сле- дует брать так, чтобы а -- = 2п (и — целое) или о! = п, Ф т. е. в качестве составляющих следует брать гармоники с целыми частотами. Допуская в качестве составляющей еще постоянную, для которой всякое число служит периодом, приходим к такой задаче: разложить функцию г"(х) с периодом 2к в ряд вила — '+ (а, соз х+ й! з!п х)+ (а, соз 2х+ с!, з!и 2х) + ...

+(а„созах+й„з!плх)+... или, короче, в ряд вида "о 2 + (а соз их+ б~ 5!и пх В=! $ 2] гяды еггьв для егикций с пвгиодом 2я 9 Вычисление вспомогательных интегралов Нам потребуются интегралы к со5 их 51х, и — целое; 51п Ох а1х, Ссз ГИХ СО5 ОХ дх, 51П ГОХ 51П ИХ 1ГХ, 51П Огх Соя ОХ 11Х, и, и — целые положительные. Имеем: соя ахах = = 0 (п 4= 0), (1.1) х )' „= 211 (и = 0); ~ — '"" ! =-о ( о), 51п Ох а1х =~ -к — л о ~',=-о со5 шх соз их 51х == — ~ соз (ги — и) х ах+ 2 (1.2) (и = 0); 1 Г 10 (1ОФО), + — соя(и+ и) х ах = — (1,3) где ао, а„, Ь1, а,, Ь,, ..., а„, Ьр, ... — некотоРые постоЯнные (свободный член удобно записывать в виде — по приар 2 чине, которая выяснится ниже). (гл.