Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996)

Г>1!К 517.8 П1 УДК 519.2(075.8) Пислуиои Н. Сл Дифференциальное и интегральное исчислении. Учеб - В 2-х т. Т. 1 — СПбл Мифргс1 Гл рсл. физ.-мат лиг., 1996. — 416 с. 1ВВР( 5-86457-020-6 (т. ! ). Оригинал-макси« подготовлен К. Е. Панкратьевьсл«в сисп«еме ТпзсТВХ, разработанной в Пр«Ммех.-мат. 66акулыт«гога Лт' У Лзосква, Воробьевы горы, Л«ТЗ( сектор 24 ", комн. 12-!8 Л Р Иго 708 Гр о г 1 5 01.

199 3. Подписано в печать 11.0996. формат 60 ВВ /1б. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. псч, л, Ж,о. Тираж 6600 зкз. Заказ Ыя 1293. ТОО «Мифрили 194223, Санкт-исто!бург, уя. Курив«от, 10 Отпечатано с готовых диапозитивов я ДООТ «Типография „Правда"». 191126, С.-Петербург, Социалистическая ул., 14. (!=Е Пискунов и. С., 1996 (ь) <(Мнфрнл)>, Главная редакция физико-математической литературы, 1996 (8«мнфрнп зарегистрированная торговая марка Олраняется законом. 1ВВ)ч( 5-86457-020-6 (т.

1) 1ВВ)ч) 5-56457-032-Х ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию .. Предисловие к пятому изданию. 9 11 13 15 16 17 18 19 20 22 26 27 Упражнения к главе Д, 28 ГЛАВА ! ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКПИЯ 3 1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси .. 3 2.

Абсолютная величина действительного числа........,...,,...,..... 1 3. Переменные и постоянные величины 3 4. Область изменения переменной величины 3 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины. Ограниченная переменная величина ......., 3 6. Функция. 3 7. Способы задания функции 3 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции......... 3 9. Алгебраические функции 3 10. Полярная система координат ГЛАВА Ц ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 3 1. Предел переменной величины. Бесконечно болыпая переменная величина. 3 2. Предел функции.

3 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции... 3 4. Бесконечно малые и их основные свойства........................... 3 5. Основные теоремы о пределах 3 6. Предел функции — при х т 0.. е1пх 3 7. Число е. 9 8. Натуральные логарифмы з 9. Непрерывность функций . 3 10.

Некоторые свойства непрерывных функций.......................... 30 32 35 38 41 45 46 50 51 54 ! ОГЛАПП8~Ия 1;р,гниение бггконгчн ~ мшгых Уппажягния к г.ппя П. 60 61 63 65 66 68 69 73 74 76 77 79 81 84 87 89 90 92 94 96 100 101 103 104 1Об !07 109 Уприжненпя к главе П!. 1!О ГГ!АВА !Ч НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИЯХ ~1 32 ~3 3 4 117 118 120 121 ) 2. ) 3 1 1. 3 5 36 % 7 ~ В. 3 9 8 !О 3!1 *3 !2 9 13 3 14 3 15 3 !6 3 17 3 !8 3 !9 3 20 ) 21 3 22 3 24 9 25 3 26 3 27 ГЛАПА и! ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНПИАЛ Скорость движения. Определение производной ..

Геометрическое звачгиие производной ..... Дифференцируемосгь функций Производная от Функции у =- х" при и целом и положительном Производные от функций у = ып х; у = сок х .. Производные: постоянной, произведения постоянной нл функцию, суммы, произведения, частного . Производная логарифмической функции . Производная от сложной функции . производные функций у = Гйх, у =- с!8 т. у = 1п )х! ..... Неявная функция и ее дифференцирование.. Производные степенной функции при любом действительном пока- зшеле, показательной функции, сложной показательной функции ..

Обратная функция и ее дифференцирование..... Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование ., Таблица основным формул дифФеренцирования,... Паралгетрическое задание функции...... Уравнения накоторьш кривых в параметрической форме... Производная функции, зш!анной параметрически............. Гиперболические функции .

Дифференциал Геометрическое значение дифференциала.......,................... Производные различных порядков .. Дифференциалы различных порядков. Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически. Механическое значение второй производной... Уравнения касательной и нормали.

Длины подкасательяой и под- пормали . Геометрическое значение производной радиус-вектора по полярному углу . Теорема о корнях производной !теорема Ролля)....... Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)......,...... 'Георема об отношении приращений двух фупкций !теорема Коши) .

Предел отвошепия двух бесконечно малых величин !«Раскрытие пе- 0 определенностей вида я»).. О ГЛ А В Л В ! ! И В Предел отношения двух нсопределснностей вида Формула Тейлора Разложение по формуле !23 128 131 16 7 Тейлора функций е, всп х, сов х .. 134 Усср«.гонения к главе 11' 136 137 138 144 146 149 150 151 153 158 161 165 Упралснения к главе У.. 168 ГЛАВА и! КРИВИЗНА КРИВОЙ 173 17о 176 178 179 180 183 !86 Управ!скопил к глиае УЛ . 190 ~ ! 12 193 195 !. г 2.

~ 3. ! 4. 1 5. 8 Г. ! 7. ! 8. г !О 8 !! г !2 11 42 (3 'з 4 г 5 36 г 7 ~ 8 бесконечно больших величин («Раскрытие П.........,. ГЛАВА и ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ Постановка задачи . Возрас.!апис и убывание функции. Максимум и минимум функций Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и ми- нимум с помощью первой производной. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .. Применение теории максимума и минимума функций к решенисо за- дач Исследовшсие функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба........... Асимптоты Общий план исследования функций и построения графиков......... Исследование кривых, заданных параметрически.................... Длина дуги и ее производная . Кривизна. Вычисление кривизны. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически ............ Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных ко- ординатах Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента.. Свойства зволюты Приближенное вычисление действительных корней уравнения...... ГЛАВА ин КОМПЛЕКСН7з7Е х1ИСЛА.

МНОГОгТЛЕНЫ Комплексные числа. Исходные определения..... Основные действия над комплексными числами., ОГЛ А ВЛ ЕН Н Е ~ 3. 3 4. 3 5. з 6. 3 7. 3 8. 3 9. 3 10 3 11 3 12 198 200 202 204 207 209 210 212 214 215 216 Упражнения к гяиве УП 217 220 221 222 225 226 227 230 231 234 237 240 244 245 247 249 251 258 263 266 270 Уприггснения к главе УП1 ГлАВАгх ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ Уравнения кривой в пространстве.

3 1. 12. $ 3. 3 4. 5 5. 3 6. 3 7. ~ 8. 3 9. 3 10 ~ 11 3 12 3 13 3 14 3 15 ~ 16 3 17 3 18 3 20 Возведение комплексного числа в степень н извлечение корня из ком- плексного числа.. Показательная функция с номплексным показателем н ее свойства. Формула Эйлера, Показательная форма комплексного числа.. Разложение мвогочлена на множигели... О кратных корнях многочлена.. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа........ Интерполяционная формула Ньютона Численное дифференцирование .

О наилучшем приближении функдий многочленами. Теория Чебы- шена. ГЛАВА ЧШ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЬ1Х Определение функции яескольких переменных .. Геометрическое изображение функции двух переменных............ Частное и полное приращение функции...,... Непрерывность функции нескольких переменных......... Частные производные функции нескольких переменных ............ Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных Полное приращение и полный дифференциал .......

Применение по.нного дифференциала в приближенных вычислениях Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях Производная сложной функции. Полная производная. Полный диф- ференциал сложной функции Производная от функции,заданной неявно........,... Частные производные различньгх порядков.....................,....

Поверхности уровня Производная по направлению . Градиент . Формула Тейлора для функции двух переменных....... Максимум и минимум функции нескольких переменных........,... Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы),........ Получение функции на основании экспериментальных данных по ме- тоду наименьших квадратов Особые точки кривой. 7 (и, (лпгпцп(!' (( 3 15 (( б 275 280 282 290 294 Упротмиеяия к главе !Х 297 209 301 303 305 307 3!О 313 317 321 323 325 328 332 333 Упразмиеиия к главе Х.

Упрааюнеиил к главе Х1. 5 1. 3 2. 5 3. з 4. '( 5 16 з 7. ~ 8. т!О г 11 ! г12 ~ !3 ! г14 3 2. 1 3. ( 5. 6. 3 7. з 8. г 9. 3 10 з 11 Пршк ч и (йх~г>во и! ш вс«(( рпой ф! икппп ( «вля!п(о(о аргуш пт!. ; рлвн(пп( !. (слтсльпой к к!япн и. '.! рзв(к'и:и: «оршш!.пой изОско(.ти Правпгш,(пффорснпнршынвя (к(кторов !вся!ори! (х функций)...... Первая н в>прая ирои>во„(пнс ве«тор> (и,!.пшо душ!. !4рш>изпа !.ри- зой. !>шнпая нормаль.

С«оро( (ь и >гкоргппе то (кп в криволинсри(ом цвижшши Соприкасшопшяся плогкогть. Ви(шризл(,. Кру (гипс.. К (сатгльва» плог«ос! ь и пормаль к яовсрхцос(и..... гчлвлх НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная и нсопредолгиный интеграл ....................... Табгшца ш(тегрзлов. Некоторые свойства цеопрсде.,(сивого интеграла Интегрирование методом замены зерсмениого или способ>ом полста- вовки Интегралы от некоторых функций, содсржагцих квадратвый трехчлеи . Иптегрировацие по частям . Рациспальцыс дроби, Простейшие рациональные дроби и их интегрирование Разложение рациоиапьвой дроби за простейшие. Иптегрированис рациопальиых дробей.............................. Иптегралы от иррациональных функций ............................

( (,'а ((к Интегрироваиие некоторых класгов тригопомстричесних функций .. Иитегрировапие пекоторых иррпциоишчып,(х фун«ций с помои(ыо тригономстриче(ких подстаповок О функциях, интегралы от которых не выра>каются (срез злсчептарные функпии. гллв а х! ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы,...... Определевцый интеграл. Творе«(а о существовании определенного интеграла..

Основные свойства определоппого интеграла .......,. Вычи(ление опрсдслепцого интеграла. Формула Ньютона — Лейбница Замена переменного в определенном интсгрзле.......... Интегрирование по частям Несобственные интегралы Приближенное вычисление определс(п(ых интегралов............... Формула Чебышева . Интегралы, зависящие от параметра, Гаь(ь(а-функция Интегрирование комплексией функции действительного перел(сивого 342 351 355 360 361 364 370 375 380 384 О Гл А в л ц и и е 404 406 411 Уцралснення !с главе ХП.