Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 7

Пусть Е н Р— множества, каждое из которых наделено внутренним законом композиции, обозначаемым Т; если 1 — представление Е в Р" и закон Т на Е обладает нейтральнылг элементом е, то) (е) является нейтральным элементом относительно закона. индуцированного на /(Е) законом, заданным на г. Опгеделение 2. Пусть на множестве Е задан ассоциативный закон, обладающий нейтральным эле.пснтэм.

Компогицией пустого семейства элементов иг Е называется нейтральный элеменгп с. Таким образом, если р — пустое подмножество множества индексов, то мы будем, в условиях определения 2, писать Т ха —— е; айе э точно так же, каково бы ни было х, будем считать Тх=е. При этих определениях теоремы 1 и 4$1остаютсясправедливыми и бсэ предположения непустоты множеств А и Вг Точно так же форгиэ и м и ти м и мулы Т х=-(Тх)Т(Тх) и Тх= Т (Тт) сохраняют тогда силу для т > О, и > О. Нейтральный элемент аддитивно записываемого закона обозначается О и называется нулем или началом, если только это пе сопряжено с риском смешения (например, с натуральным числом О); при законе, записываемом мулътипликативно, нейтральный элемент обозначается 1 и называется единицей (илв единичным элсмвнтолг),с той же о~аваркой.

'л. Рееуллтрные злементпьс Опгеделенпе 3. Пусть Т вЂ” заданный всюду определенный гапон композиции элементов множества Е. Левым (соотее гстзекно правым) переносом, соответствующилг элементу а Р Е, называется отображение х — +аТх (соответственно х — +хТа) лтожсства Е в себя. е неитРАльный, РеГуляРные, симметРичныР элементы 37 Прилагательные «левый» и «правый» проистекают от обычной записи болыпинства законов композиции. При переходе к противоположно»ту аакону левый перенос становится правым, и обратно. Левый и правый переносы, соответствующие элементу ар Е. будут иногда обозначаться у, и 6, т.

е. у, (х) = а Т х, 6, (х) = х Т а. Пгедложение (. Если Т вЂ” ассоциативный закон, то левый перенос уете, соответствующий композиции х и у, совпадаегп с композицией у„о у„переносов у«и у,; а правый перенос 6„һ— с композицией 6«об„переносов 6 и би. Действительно, у Т (г) =(хту)тг=хт (утг) =у.(у,(г)) 6„то(г) = гТ (хТу) = (гТх) Ту = 6«(6„(г)). Интемн словами, отображение х ~ у„есть представление множества Е (ноделенного законом Т) в множество Еь всех отображений Е в себя, наделенное законом /вд; а х - б естьнредставлениеЕвмно ж«ство Еь, наделенное законом, противоположным )=у.

Опгеделение 4. Пусть Т вЂ” всюду определенный закон композиции элементов множества Е. Элемент а бЕ называется рсзулярным относительно закона Т, сели соответствующие а правый и левый лсрсносы являются взаимно однозначными отображениями Е в себя. Иными словами, для того чтобы а был регулярным, необходимо н достаточно, чтобы каждое из соотношений аТх=аТу, хТа=-уТа влекло х=у (т, е. чтобы эти равенства, как говорит. можно было «сократить на а»).

Если закон Т обладает нейтральным элементом е, то последний регулярен относительно этого закона: переносы у, и 6, являются тогда тождественнымн отображениями Е на себя. Если Х и У вЂ” подмножества множества Е и а — регулярнын элемент этого множества, то каждое из соотношений (а)ТХ= =(а)ТУ, ХТ(а)=УТ(а) влечет Х=У. Напротив, даже если каждый элем«и~ множества Аг Е регу. ларен, соотношение АТХ=АТУ (как и соотношение ХТА= =УТА), вообще говоря, не влечет Х=У. гл.

с, 12 АчгссБРАичвские структуры П р и м е р ы. 1) Каждое натуральное число регулярно отиосвтельно сложения; каждое натуральное число .-,'= О регуляряо относительно умножения; каждое натуральное число, кроме О и 1, регулярве отиосительио возведения в степень. 2) В решетке не может существовать никакого регулярного элемента относительно аакона вор (х, у), кроме нейтрального (т. е. паиыеиьшего) элемента; аналогичное верно для зп((х,у). В частности, в множестве всех подмножеств множества Е х' есть единственный элемент, регулярный относительпо закона О, а Š— единственный элемент, регуляр ный относительно закона Пгедложение 2, Множество всех регулярных относительно ассоциативного закона э.сементов устойчиво относительно этоэс закона.

Действительно, если У„н Тх взаимно однозначны, то это веРнс Н дЛН у,ГЭ =уавут (ПрЕддежЕННЕ 1). АпаЛОГНЧНО дЛя Ь„ТС, Если элемент х регулнрен относительно закона Т, то ок регулярен и относительно закона, индуцированного этим законом на каждом устойчивом ынопкестве А, содержащем х (но элемент нз А может быть регулярным в А, не будучи регулярным в Е); в частности, если Л вЂ” множество всех элементов множества Е, регулирных относительно ассоциативного закона Т, то все элелсентьс из Л регулярны относительно закона, индуцированного законом Т на Л.

Л. Си.зслсетртсчньсе э.ге.иенсны Опгеделенне 5. Пусть Т вЂ” закон комзгоэиции элементов множества Е, обладающий нейтральньыс элемента.м е. Элемензп х' называется симметричным элементу х, если хТх =х Тх=е; элемент х называется симметризуемым, если существуесн элемент, симметричгсьсй х. П р и м е р ы. 1) Нейтральный элемент, если оп существует. симыетричен сам себе. Может случиться, что в Е не существует других свмметричных элементов; так обстоит дело длл сложения в умкожевия в и; так же обстоят дело и для закона эпр (х, у) в решетке. 2) В множестве всех отображений Е в Е симметризуеиыми элемеятами относительно закона / е являются взаимно аднааначмыв ашабрахввнал Е ма Е (Теор. ми., Рез., г 2, и' 12); симыетричным такому отображению 1 служит обратное отображение. нентгальгтыя, еегтляеные, снмметенчные элементы 39 Пусть Е и Р— множества, каждое из которых наделено внутренним законом, обозначаемым Т, и с — представление Е в Р; если х и х' симметричны в Е, то с'(х) и с (х') симметричны в с (Е).

Пгедложение 3. Относительно ассоциативного закона Т но Е каждый симмеспризуемый элемент х регулярен и обладает единственньсм силгметричным, а соответствуюсцие левый и сгравьсй переносы у„и Ь„являются взаимно однозначными отображениями Е на Е. Пусть х — элемент, симметричный х; если хТу==хТг, то х'Т (хТУ)==.х'Т(хТз) или (по ассоциативности) еТу=-еТг, т. е. у=-г. Точно так же, если УТх=зТх, то (УТх)Тх'==(гТх)Тх', откуда у=-з.

Таким образом, х регулярсн. Если х" — элемент, симметричный х, то хТх' = хТх'= е, а тогда х' =- х": элемент, сснсметричпый х, единственен. Наконец, у„есть отображение Е нп Е; иными словами, каково бы пн было у с Е, существует г такое, что у (г)- — -У; в самом де.ге, для з=-х'Ту нмеелс у„(з) =-хТ(х' Ту)= ==еТУ=У, и аналогично для бгг Предложепее 3 допускает следующее обращение: Псгедлоя'ение 4. Пусть Т вЂ” ассоциативный закон на Е, Если .с б Е таково, что левый и правый переносы у„и б„являются отобралсениями Е на Е, то Т обладает нейтрольнылс элементом и х сим.иетризуемо. Так как у„.(К)=Е, то существует ебЕ такое, что у.(е)=х, т.

е. хТе=х; далее,так какй„(Е)=Е, тодчя каждого убЕ существует гбЕ такое, что зТх==у, откуда УТе=-сТхТе=гТх=.у. диалогично (меняя ролями у„и б„) убеждаемся в существовании е такого, что е'Ту=у для каждого у. Но в таком случае, с одной сторопьс, е'Те=е', а с другой, е'Те=е так что е=е', УТе= — еТУ=У поп любом у, т. е.

е — нейтральный элемент. Тогда существуют х' и х" такие, что хТх'=-е, х"Тх=е; поэтому х"Т(хТх')=-х", (х Тх)Тх'=х', откуда х =-х" и х' — элемент, симметричный х, Пгедложение 5. Пусть Т вЂ” ассоциативкый закон. Если х' и у соответственно силгметричны х и у, то у' Тх' симметрично хТУ.

Действитессьно, (у'Тх') Т(хТУ)=у'Т(х'Тх) Ту=-У'Ту=с гг аналогично для (хТУ)Т(у Тх). 40 гл, к $ 2 АлгеБРАические стРуктуРы Следствие 1. Пусть Т вЂ” ассоциативный закон на Е. Если каждый элемент х„серии (х )аел элементов из Е обладает симметричным х„, то элементом, симметричным композиции Г ха. аЕА служит композиция ) ха, где А' — совершенно упорядоченное аЕА' множество, полученное из А заменой его порядка противопе ложным.

Это следствие получается из предложения 5 индукцией по числу элементов множества А. э и В частности, если х н х' симметричны, то Тх и Тх' симметричны для каждого целого п~О. Следствие 2. Множество всех симметризуемых элементов относительно ассоциативного закона устойчиво. ПРедложвние 6. Если х и х' симметричны относительно ассоциативного закона и х перестановочно с у, то также х' пер~- становочно с у, Действительно, из хТу=уТх вытекает х'Т (хТу) Тх' = =х'Т(уТх) ) х' или (х'Тх) Т (уТх ) = (х'Ту) Т(хТх ), т.

е. уТх'=х'Ту, Следствие. Если закон композиции ассоциативен, то элементы, симметричные центральным элементам, центральны. Из предложения 6 вытекает также, что прп существовании нейтрального элемента предложение 2 з 1 можно заменить следующим более полным результатом: Пведложение 7. Пусть Т вЂ” ассоциативный закон колспозицио злементов множества Е, обладающий нейтральным элементом е.

пусть Х и У вЂ” подмножества множества Е,' Х" (соответственно У") — устойчивое множество, порожденное обьединением Х (соответственно У), (е) и множества элементов, симметричных всевозмохсным симметризуемым элементам из Х (соответственно У). Если тогда каждый элемент иэ Х перестановочен с каждым элементом из У, то каждый элемент из Х" перестановочен с каждым элементом из У". е Нкнт»АЛЫ|ЫН, РЕГгЛЯРНЫН, СИММКтРИЧНЫК ЭЛБМБНТЫ 4$ и. Симхгетаризация коммумзатпивного ассоииатггивтгого закона Элемент хрЕ, симметризуемый относительно ассоциативного.

закона Т, регулярен отяоснтельио закона, индуцированного законом Т на кагкдом устойчивом множестве, содержащем х. Обратно, могкно задаться вопросом, возможно ли множество Е с заданным ассоциативным законом Т «погрузить» в более широкое множество Е, определив на последнем аакон композиции так, чтобы он индуцирозал Т на Е и чтобы относительно пего каждый регулярный вле.кент из Е был симметривуел|.

Это ие всегда. возможно *), но, как мы увидим, при коммутативности закона Т задача разрешима. Итак, предположим, что Т коммутативен, и обозначимчерезЕ" множество всех регулярных элементов из Е. Откинем прежде всего тот неинтересный случай, когда Ее пусто: задача тогда тривиально решается принятием за Е самого множества Е. Таким. образом, будем в дальнейшем предполагать„что Ее~!2!. Говоря точно, нашей задачей является определить множество Е, коммутативный ассоциативный закон Т на Е и изоморфизм 7' множества Е на устойчивое подмпоя|ество А множества Е (наделепное законом, иидуцировакпым законом Т) так, чтобы: 4' Е обладало нейтральным элементом относительно закона Т; 2' 7'(х) было симметризуемо в Е для каждого регулярного глемента хб Е*. Предположим сначала, что задача решена; пусть Ае=)(Е»). п А' — множество элементов, симметричных всевозможным элементам из А*.

Устойчивость множеств А и А' относительно Т влечет устойчивость А ТА', поскольку тогда, вследствие коммутативности и ассоциативности закона Т, (АТЛ')Т(А Т А') =- =(АТА)Т(А'ТА') г. А ТА'. АТА' содержит нейтральный элемент мпожества Е; далее, АТА' содержит Л", ибо если уЕА» п у' — элемент, симметричный у, то У=УТ(УТУ') =(УТУ)ТУ б *) С»т. А. М а !с е т, Оп |Ье !шшегвйтп о! ап а!8еЬга!с г!п«!п|о а Йе16„ Ма|Ь. Апп., т.