Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 98

Если а и Ь эквивалентны, а одновременно мажорирует и ыинорирует Ь; обратно, доказывается, что если Ь одновременно мажорирует и минорирует Ь, то а и Ь эквивалентна, Из этого, в частности, вытекает, что множество мощностей частей множества Е упорядочено соотношением „е минорирует Ь"; когда об этом множестве говорят как об упорядоченном множестве, всегда имеют в виду порядок, определенный указанным соотношением. Кроме того, используя теорему 1(орна (и, следовательно, аксиому выбора>, доказывают, что множество мощностей частей множества Е вполне упорядочено.

4. Мощность множества Е строго микорирует мощность множества ф(Е). Если у — отображение множества Е в множество Р, мощность образа у(Х) любой части Х множества Е минорирует мощность множества Х. 5. Пусть (Х,),, — семейство частей множества Е, такое, что г чь х влечет Х, П Х„= Й; пусть (У,),, — семейство частей множества Р.

соответствующее тому же множеству индексов ! и такое, что мощность множества У, минорирует мощность множества Х„каково бы нн было г~1; тогда мощность объелинения ЦУ, минорирует 'Ег мощность множества ЦХР какова бы ни была часть 3 множества 1.

'Ег Если, кроме того, г чь х влечет У, П У„= О и если Х, и У, равномощкы, каково бы ни было ь то ЦХ, равкомощно ЦУ. 'Ег 'Ег В частности, если Р совпадает с Е, видно, что мощность объединения множества частей из Е, попарно не имеющих общих элементов, зависит только от мощностей этих частей; ее называют суммой этих мощностей (функция, которая, таким образом, определена лля семейства (а,) элементов мнзжества мощностей только в том случае, когда можно найти семейство (Х,) попарно не пересекающихся частей множества Е, такое, что Х, имеет мощность а,).

Если (Х,) и (У,) — семейства частей множеств Е и Р соответ- ' '(1 ' Е~ ственно, имеющие одно и то же множество индексов и такие, чтб Х, и У, раэномощнм, каково бы ни было н то произведения ПХ, н ЦУ, раэкомощкы. б. Множество М положительных целых чисел может рассматриваться как множество мощностей конечных частей некоторого бесконечного множества; соотношение порядка „х ( у" в М есть не что иное, как соотношение, упорядочивающее это множество мощностей; сумма же двух положительных целых чисел есть функция, совпадающая с суммой двух мощностей, такой, как она только что была определена.

СВОДКА РВЗУльтАтов %! ь З. ШКАЛЫ МНОЖЕСТВ И СГРУКТУРЫ Зйб 7. Множество называется счетным' ), если оно равномощно части множества Х положительных целых чисел. Таким образом, всякое конечное множество счетно; если п — число его элементов, оно равномощно интервалу (О, и — 1) множества Х. Всякое счетное бесконечное множество равномощно Х; в частности, всякая бесконечная часть множества Х имеет ту же мощность, что и Х. Если Š— бесконечное множество, существует разбиение множества Е, образованное счетными бесконечными множествами; в частности, мощность всякого бесконечного множества мажорирует мощность множества Х.

Если Š— бесконечное множество, множества ЕХЕ и ЕХХ раеномощны Е; множество конечных частей множества Е равно- мощно Е. В частности, Х Х Х есть счепьное бесконечное множество. 8. Последоеательностью элементов множества Е называется семейство элементов множества Е, множеством индексов которого является множество Х положительных целых чисел или какая-нибудь часть множества Х; таким образом, последовательность, множеством индексов которой служит Х, обозначается (х„) „„или проще (х„), когда можно не опасаться никакого смешения; еслйп обозначает общее целое число, х„называется общим членом последовательности или еще членом с индексом и (это последнее наименование употребляют также при замене и каким-либо определенным целым числом).

Множество элементов последовательности счетно. Последовательность называется бесконечной или конечной. смотря по тому, является ли множество индексов бесконечной или конечной частью множества Х. Множество элементов конечной последовательности конечно. Всякое подсемейство последовательности есть последовательность, называемая подпоследоэательностью данной последовательности; всякая подпоследовательность конечной последовательности есть конечная последовательность.

Дэойной последовательностью (или последовательностью с двумя индексами) называется семейство элементов, множеством индексов которого является Х;к, Х или какая-нибудь часть множества Х Х Х; двойная последовательность. множеством индексов которой служит Х)г, Х, обозначается (х„,,), или, проще (х „), если это не лает повода к смешению.

Аналогично определяются последовательности с более чем двумя индексами. Говорят, что две последовательности (х„), (у„) отличаются только порядком членов, если существует перестановка г множества индексов, такая, что у„*= хтыь каково бы ни было п. ') В русской математической литературе счетными называются обычно множества, равиомощиые вееиу мнежеству Х; множества, рзвноиощные частям множества Х, называют тогда не более чем счетными или разве что счетными. — Прим. ред. С семейством элементов (х,),, имеющим счетное бесконечное множество индексов 1, можно следующчм обрааом ассоциировать бесконечную последовательностги существует взаимно однозначное отображение п — «Г" (п) множества Х на 1; положив у„=хжю, говорят, что последовательность (у„) получается расположением семейства (х) в порядке, определенном отображением у'.

Последовательности, таким образом соответствующие двум различным взаимно однозначным отображениям множества Х на 1, отличаются только порядком членов. Действуя таким же образом в случае конечного множества !. получим конечную последовательность, ассоциированную с семейством (х,). 9. Объединение, пересечение или произведение семейства (Х,) к, частей множества Е называются счетными, если 1 — счетное множество, и конечными, если ! конечно. Если 1 счетно и, каково бы ни было ь мощность множества Х, минорирует заданную бесконечную мощность а, то мощность объединения ЦХ, минорирует а; если, кроме того, по крайней мере одно из Х, имеет мощность а, ЦХ, также имеет мощность и.

В частности, всякое счетное объединение множеств мощности а имеет мощность а; всякое счетное объединение счетных множеств есть счетное множество. ф 8. Шкалы множеств н структуры 1. Если даны, например, три различных множества Е, Р, С, из них можно образовывать другие множества, беря множества их частей или составляя произведение одного из этих множеств на себя или, наконец, составляя произведение двух из этих множеств, взятых в некотором порядке.

Таким образом получается двенадцать новых множеств; присоединив их к трем множествам Е, Р, С, можно вновь применить к этим пятнадцати множествам те же операции, отбрасывая те, которые дают уже полученные множества; и т. д. Вообще о любом из множеств, полученных этим процессом (по определенной схеме), говорят, что оно составляет часть шкалы множеств, имеющей э качестве базы Е, Р, С. Пусть, например, М, Х, Р— три множества этой шкалы и К )х, у, з'1 — соотношение между общими элементами, принадлежащими соответственно к каждому из этих множеств; К определяет некоторую часть множества М р,' Х к', Р, следовательно (при помощи канонического соответствия), некоторую часть множества (М)С Х) )г, Р н, наконец, некоторый элемент множества Ф ((М ~ Х) ~ Р)1 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ 4 а. шкАлы мнОжестВ и стРуктуРы таким образом, задание соотношения между элементами нескольких множеств одной и той же шкалы сводится к заданию элемента некоторого другого множества этой шкалы, Аналогично задание отображения, например, множества М в Х сводится (если рассмотреть график этого отображения) к заданию части множества М Х Х, т.

е. к заданию элемента множества 1(Р(М Х Х), также принадлежащего к шкале. Наконец, задание двух элементов (например) множества М сводится к заданию одного-единственного элемента произведения МХМ. Таким образом, задание некоторого числа элементов множеств шкалы, соотношений между общими элементами этих множеств, отображений частей некоторых из этих множеств в другиз сводится в конечном счете к заданию одного-единственного элемента одного из множеств шкалы.

2. Выше было сказано ($6), что задание элемента С множества 4Р(ЕХЕ) определяет на Е структуру упорядоченного множества, если имеют место свойства: -1 а) С о С гС; б) С П С = б. Более общо, рассмотрим некоторое множество М шкалы, база которой образована, например, тремя множествами Е, Р, С; зададим некоторое число явно сформулированных свойств общего элемента множества М, и пусть Т вЂ” пересечение частей множества М, определенных этими свойствами; говорят, что элемент а множества Т определяет на Е, Р, С структуру рода Т; таким образом, структуры рода Т характеризуются схемой образования множества М, исходя из Е, Р, С, и свойствами, определяющими Т, которые называются аксиомами этих структур; всем стуктурам одного и того же рода придается специальное название. Всякое предложение, являющееся следствием предложения,а ~ Т" (т.

е. аксиом, определяющих Т), называется принадлежащим к теории структур рода Т; например, предложения, сформулированные в э 6, принадлежат к теории структур упорядоченного множества. Заметим, что в этом последнем примере аксиомы могут форму.- лироватся для множества с совершенно произвольной базой Е; поэтому структурам, удовлетворяющим этим аксиомам, дают одно и то же наименование независимо от множества, на котором они определены; и предложения, выведенные из этих аксиом, применимы к произвольному множеству, ибо для их формулирования не нужно вводить особенности множества Е.

Эти замечания применяются каждый раз, когда формулируются аксиомы этого типа'). ') Читатель заметит, что указания, данные в этом абзаце, остаются довольно неопределеннымй; здесь они приводятся только в эвристическом плане и, по-видимому, почти невозможно сформулировать общие н точные определения, касающиеся структур, вве рамок формальной математики (си.

гл. !1!). Чаще всего при использовании шкалы с базой, составленной из нескольких множеств Е, Р, С, одно из этих множеств. например Е, играет в рассматриваемых структурах преобладающую роль; поэтому, допуская вольность речи, говорят, что эти структуры определены на множестве Е, а множества Р и С рассматриваются как вспомогательные множества. Наконец. для облегчения речи множеству, наделенному структурой определенного рода, часто дают специальное название; именно так мы говорим об упорядоченном множестве и определяем далее в этом Трактате понятия группы, кольца, тела, топологического пространства, равномерного пространства и т.

ш — все это слова, означающие множества, наделенные определенными структурами. 3. Рассмотрим структуры одного. и того же рода Т, где Т вЂ” часть множества М некоторой шкалы множеств; если добавить новые „аксиомы" к тем, которые определяют Т, полученная система аксиом определит некоторую часть () множества М, содержащуюся в Т; говорят, что структуры рода () богаче, чем структуры рода Т. Например, структуры совершенно упорядоченного множества богаче, чем структуры упорядоченного множества, ибо элемент С множества 1)У(Е Х Е), определяющий такую структуру, удовлетворяет дополни— ! тельной аксиоме С 0 С = Е у!,' Е. 4.