Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 99

Пусть М, М' — два множества одной и той же шкалы с базой, например, Е, Р, С; пусть Т вЂ” часть множества М и Т' — часть множества М', определенные каждое некоторыми явно сформулированными аксиомами. Всякий раз, когда будет явно задано взаимно однозначное отобрал ение множества Т на Т', мы будем считать, что элементы еЕТ и е'ЕТ', соответствующие друг другу при этом отображении, определяют на Е, Р, С одну а ту же структуру, и будем говорить, что системы аксиом, определяющие Т и Т', эквивалентны.

Пример такого положения доставляется тоаологическими структурами, которые могут быть определены несколькими эквивалентными системами аксиом; две из этих систем особенно удобны (см. „Общая топология", гл. 1, $ 1). б. Пусть Е, Р, С вЂ” три множества; предположим, что даны взаимно однозначные отображения множеств Е, Р, С соответственно на трн других множества Е', Р', С'. Поскольку мы умеем определять распространения взаимно однозначных отображений на множества частей (э 2, и' 9) и произведения множеств (э 3, и' 14), шаг за шагом определится распространение заданных взаимно однозначных отображений надва множества М, М', построенные по одной и топ же схеме соответственно в шкале множеств с базой Е, Р, С и в шкале множеств с базой Е', Р', С'.

Пусть у' — полученное таким путем взаимно однозначное отображение множества М на М'. Если а — структура на Е, Р, С, представляющая собой элемент некоторой 398 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ б — 7 И 3 1 Ф ' й И 3 2 И 3 4 И 3 4 И 3 5 части Т множества М, то мы будем говорить, что у (о) есть структура, полученная переносом структуры о на Е', Р', 0' посредством взаимно однозначных отображений Е на Е', Г на Р' и 0 на 0'. Всякое предложение относительно структуры а на Е, Г, 0 дает одновременно (при использовании надлежащих распространений) предложение о структуре у'(а) на Е', Р', 0'.

Обратно, пусть лзны структура е на Е, Р, 0 и структура о' на Е', Р', 0', мы будем говорить, что они изоморфны (или что межлу этими структурами уществует изоморфия), если о' может быть получена переносом а посредством взаимно однозначных отображений соответствен1о Е на Е', Г на Р' и 0 на 0'; в этом случае говорят, что эти отображения образуют изоморфизм структуры о на о'.

Когда речь ид !т о структурах на о л н о м множестве Е, взаимно однозначное зтображение множества Е на Е', переносящее а на о', называется также изоморфиз.иом множества Е, наделенного ст рунтурой е, на множество Е', наделенное структурой о'. Этому отображению даюг название изоморфизма также и в случае, когда Г и 0 — лва вспомогательных множества, а взаимно однозначными отображениями этих множеств являются тождественные отображения множеств Р и 0 на себя. Изоморфизм множества Е, надел'нного структурой а, на себя нззывается аетоморфизмом.

В случае существования изоморфизма У множества Е, наделенного структурой е, на множество Е'. наделенное структурой а', часто бывает улобно отождествлять Е и Г, т. е. давать одно и то жс имя элементу множества М шкалы с базой Е и элементу, являющемуся его образом при надлежащем распространении отображения у на множество М.

6. 'Формулируя систему аксиом, определяющую часть Т множества М некоторой шкалы множеств, следует, перел тем как говорить о структурах, удовлетворяющих этим аксиомам, убедиться в том, что множество Т нс является необходимо пустым; в противном случае говорят, что аксиомы протиеорсчиеы. 7.

Может случиться. что система аксиом, определяющая на некотором множестве структуру, может быть сформулирована для произвольного множества, но если рассмотреть две структуры, уловлетворяющие этим аксиомам и определенные на двух различных множествах Е, Р, то из аксиом вытекает, что эти структуры (если они существуют) необхолимо изоморфны (а это влечет, в частности, раеномоилность 'множеств Е и Р). В таком случае говорят, что теория структур, удовлетворяющих этим аксиомам, однозначна; в противоположном случае говорят, что она многозначна.

Теория целых чисел, теория действительных чисел, классическая эвклидова геометрия — однозначные теории; теория упорядоченных множеств. теория групп, топология — многззначные теории, Изучение многозначных теорий — самая резкая черта, отличающая современную математику от классической. УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ Цифры прн обозначениях и терминах указывают главу, параграф и пункт книги соответственно: так, 1 3 3 означает гл. 1, 5 3, п. 3. Обозначения, вводимые в Сводке результатов (Рез,), приведены отдельно в конце настоящего указатели "..' "* Ъ7 и',","ч,'-')",~ ' ! 1 1 1 (А), (В! х) А, А (х(, А!х, у! А (В(, А!В, С! 1 1 1 ие (А), (А) или (В), (А) ф(В) 1 2 О т ! 3 1 (! 4 3) ,А иВ" 1 3 4 фф, А(»ФВ 1 3 5 (Зх) В (Ух) В 1 4 1 3'б 1 4 3 (Вбх))1, (1л))Т 1 4 4 =, +, т=и, т+и ! 5 1 ~, (, ГЕи, тфи И 1 1 ~,~,ф,ф,хс=у,х~у И 1 2 СоП )Т, $ (В) И 1 4 (х, у), (х) И 1 5 С А,Х=А,СА,й! И 1 Т О, (т, и), рг, «, рг»« П 2 1 А>(В, АЙВУ(С, АМВХСХ1» (х У «) И 2 2 рг, (0), рг, (О), рг, О, ргг 0 (Π— граФик) И 3 1 О (Х), О (Х), 0 (х) (Π— график, Х вЂ” множество, к — объект) Г (Х), Г (Х), Г (х) (à — соответствие, Х вЂ” множество, х — объект) И 3 1 -! -1 0 (Π— график), Г (à — соответствие) О' О, 0'О (О, 0' — графики), Г' Г, Г'1'(Г, Г' — соответствия) П 3 3 ЛА, 1А (А — множество) И 3 3 »" (х), »» (» — функция), Р (х), Р» (" — функциональный график) у:А-УВ, А — РВ У)А х-+Т («5А, ТБС), х-ьТ (х5А), х-1 Т, Т А, Т (вольность речи) (Т вЂ” терн) И 3 б УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ П П П П П Ш Упр.

Ш !П Ш Ш П П П П П П П1 Ш П! Ш Ш !П 3 3 3 4 5 5 3 3 5 1 2 4 Ш П П П П П П Ш П! Ш 1П !П Ш П! Ш Ш Ш Ш !П Ш Ш Ш Упр. 1 1 Ш Ш Ш Ш Ш 11 12 15 15 Ш Ш П1 П! П1 6 6 6 б Упр. Упр. Упр' 2 Ш Упр Ш Ш Ш 1 Упр. Ш Упрь 12 Прил. 1 П! Уп(ь рг„ргл Ау(Е, у — отображения) (вольиость речи) у(х„у), у(., у), у(х,.), у(.у), у(х) и у(о (и, о — функции), (и, о) (вольность речи) ОХл ПХ, Е1 Е! 'о''и ХЕФ ХЕО АОВ АОВ()С АПВ А()В()С (х у 1)Ь (Х) Г ,У (Е, Р), Р Д Хл рг, Р! рг„ (л,),г! (распространение на произведения семейства (е,),г 1 (вольности речи) ) х = у (шоб Й) (Й вЂ” соотношение эквивалентности) Е1Й (Š— множество, Й вЂ” соотношение эквивалентности) й (й — соотношение эквивалентности, А — множество) Й(8 (Й, 8 — соотношения эквивалентности) Й )с Й' (Й, Й' — соотношения эквивалентности) х(у, у)~х, хчьу хсу, у>х апре Х, 1п!и Х зир Х, 1п1Х аир(х, у), 1п!(х, у)! аир у (х), !и! у (х) лЕА кЕА аир х, 1п1х кЕА лЕА Пш Е„ 1пп Е„ (а, Ь), (а, Ь(, ) а, Ь), ) а, Ь( ) ч-, а), ) л-, а (, (а, -Р(, ) а, -ь (, ) ч-, -ь ( ~~ Е, 8л Е ° 1, Е.

1 (Е, ! — упорядоченные множества) Огб (Г) (à — порядок), Огб (Е) (Š— упорядоченное множество) Л<Р, Л+ !л, РЛ, Р ° Л, Р. Л, Л<Р (Л, Р— оРдинальиыв числа) даЛ й! Ег!(Х, У), Сагб(х) О, 1, 2 Х < т)(т, ц — кардинальные числа) ел!го((в,),Г1 — семейство кардинальных чисел) ~~ ил йаал 1й В, ((В),лг — СЕМЕйетВО КардИНаЛЬНЫХ 'е! 'е! чисел) а+ 6, вЬ, в Ь, в ° Ь (а, Ь вЂ” кардинальные чисаа) а (в. Ь вЂ” кардинальные числа) 3,4 а — Ь (а, Ь вЂ” целые чиода.

такие, что Ь С а) (1!) Р 1 ! 1' (!!)л с ! с ь П,рх, РА (А — часть множества Е) —, а1Ь (а, Ь вЂ” целые числа, такие, что а делит Ь) Ь' 5, 6, 7, 8, 9 и! (л — целое число) 1") " ) (л, р — целые числа) р/ я — с Ь ( — 1) й), и, (Хл)Р !л1. (тл)а Сл (Хл)л'ля (Хл) Пх., йх. Р 1л1 л=л и,ил,и му (в) ул (у — отображение) 8(Е„ ..., Ел) (8 — схема конструкции ступени, Е„..., Ел — множества) (уи ..., ул) (8 — схема конструкции ступени, УР ..., /л — отображения) и' а 8 )( 8', 1р (8) (8, 8' — схемы конструкции. ступени) 463 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ Реэ. 5 9 Рез.

5 10 Рез. 6 2 Рез. 6 3 Рез. 4 6 Реэ. 6 7 Рек 6 7 Рез. 6 13 Рез. 6 14 Рез. 7 8 Рез. Рез. Реэ. Рез. Реэ. Рез. 1О 12 12 12 12 4 Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. 4 4 4 5 5 5 9 11 13 2 2 5 Й)х, у, х1 =,ж Е ОА Е А О [а) Ф (Е) с,=э,фф 0 П (ху ) ХА (Х вЂ” часть) ФА (й — множество частей) у(х) ух х-ьхх(х) (у — отображение, х — элемент) 1 (А') (Х вЂ” часть) У (х' — отображение) "'Й'у (у Е, А — отображенне) ул 71(А (х' — отображение) (х),~г.

(х,) (х, у) Е ХР (Е, Р— множества) ргь рг, А Х ' (Х вЂ” часть произведения) К(Х) (К вЂ” часть Е ХР, Х вЂ” часть Е) К(х) (К вЂ” ЕХР, х — элемент Е) ВьА, ВА, СьВьА, СВА (А — частьЕХР, — частьРХО, С вЂ” влемент () Х Н) (х, у, х) Е Х Р Х с) рг,, (У. к Ь) (У Е А — отображения) ЦХ„ЦХ„Ц Х 'й! ХЕБ П .,ПХ„ПХ 'Е! в Х49 ЦХ., ПХ, Е! (Е, 1 — множества) ргл рг„ (У) (У, — отображения) Е1й (Š— множество, й — соотношение зквивалентностн) х = у (шод й) ЙА (й — соотношение эквивалентности, А — часть) Рез.

Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Реэ. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рез. Рел. Рез. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 6 7 7 8 1О 12 13 13 !6 16 2 4 6 !1 13 14 1 ! 1 4 6 Т/й (Т, й — соотношение эквивалентности) й Х 5 (й, 5 — соотношение эквивалентности) М, О ~,~,<,> (а, Ь), (а, Ь(, ) а, Ь), ) а, Ь(, ) ч-, а) (,) , (.) , ( зпрк Х, эпр Х, 1п!е Х, !п1 Х зяр у (х), 1п! у (х) хьд х1А !1гп (Е„/Н), йш Е„, 1пп и, !Ьп (Е„, у„)), !пп Е„, Пш и„ (х„), (х „) (ш, и — положительные целые числа) УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ 10 3 1 6 4 Рек 4 П 1 1 2 Введение Рез.

2 !Ч 1 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ ') 2 4 4 Упр. 8 8 1 6 Рез. Рез. 1Ч 1П 1 Прил. 4 Рез. 6 1 Рез. 1 2 14 3 8 11 Рез. Рез. Рез. Рез. П Ш Рез. П 1 3 3 4 3 4 6 Рез. !Ч 1Ч 1Ч 1Ч 1Ч 1Ч 1Ч 3 3 1 5 8 5 6 1 4 10 1 1Ч Рез. Ш Рез. — — вспомогательные (аих!Иа!геа) ! — — основные (рг!пс!Раях) 1 5 5 1 2 Упр. 2 1 2 1 1 4 П П 1 1 П 1Ч Ш Рез. 15 15 15 П! Рез. 27 Н. Бурбаки В настоящем указателе в необходимых случаях после русского термина (который может быть словом или группой слов), являющегося переводом какого-либо французского термина (опять-таки слова или группы слов), помещен в угловых скобках этот французский термин. При замене по обычным правилам повторяющегося русского слова или цепочки русских слов посредством тире (соответственно цепочки тире) французский перевод этого слова или цепочки не повторяется; подразумевается,что он остается тем же самым (в противном случае замена слов на тире не производится).

При этом французские прилагательные, различающиеся лишь родовыми окончаниями, мы уславливаемся считать одним и тем же переводом; так что для образования французского словосочетания с участием прилагательного необходимо еше придать этому прилагательному правильное окончание. Заключенный в ломаные скобки французский термин считается переводом всей предшествующей группы русских слов, если ранее в той же строке не встречается никакой французский термин; если же ранее в строке имеется другой французский термин (в том числе и не представленный явно, а „подразумеваемый" после тире), то последующий термин считается переводом той группы русских слов, которая заключена между ним и предшествующим. Как правило, французские предлоги приводятся в указателе, исключение составляет предлог гГе, который считается переводом русского родительного падежа во всех случаях, где не указзн иной перевод, н потому в этих случаях обычно не приводится.