Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Говорят, что часть Х упорядоченного множества Е конфиналвна (соответственно коинициальна) множеству Е, если для всякого у ~ Е существует такое х ~ Х, что у с х (соответственно х г у). Сказать, что упорядоченное множество Е имеет наибольший (соответственно наименьший) элемент, все равно, что сказать, что существует конфинальная (соответственно коинициальная) часть множества Е, сводяшаяся к единственному элементу. 6. Пусть Х вЂ” часть упорядоченного множества Е; всякий элемент х ~ Х, для которого не существует ни одного г ~ Х, такого, что х ( х, называется минимальным элементом множества Х; всякий у ~ Х, для которого не сушествует ни одного В ~Х, такого, что х) у, называется максимальным элементом множества Х. Множество максимальных элементов (или множество минимальных элементов) может быть пустым; оно может также быть бесконечным; если Х имеет наименьший элемент а, он является единственным минимальным элементом множества Х; аналогично, если Х имеет наибольший элемент К он является единственным максимальным элементом множества Х.
7. Пусть Х вЂ” часть упорядоченного множества Е; если элемент х ~ Е таков. что х ( х для всякого х ~Х, говорят, что х мажорарует Х или что х есть мажоранта (или верхний озраничатель) множества Х; если у ~ Е таков, что г ) у для всякого х ~ Х, говорят, что у миноргтрует Х или что у есть миноранта (или нижний оараничитель) множества Х. Множество мажорант (или множество минорант) части Х может быть пустым. Часть Х, множество мажорант (соотзетственно мино- рант) которой не пусто, называется мамсорированной или ограниченной сверху (соответственно минорирозанной или ограниченной снизу). Множество, ограниченное одновременно и сверху и снизу., называется ограниченным. Всякий элемент, мажорируюший некоторую мажоранту множества Х, сам является мажорантой множества Х; всякий элемент, минорируюший некоторую миноранту множества Х, сам является минорантой множества Х.
Если множество мажорант части Х имеет наименьший элемент а, то а называют верхней гранью части Х; аналогично, если множество минорант множества Х имеет наибольший элемент д, его называют нижней гранью части Х; если эти грани существуют, то по самому их определению они единственны; обозначают их зцреХ илн зпрХ и соответственно 1п1ВХ кли !ВгХ. Если Х имеет наибольший элемент, этот элемент является ее верхней гранью; если Х имеет наименьший элемент, этот элемент является ее нижней гранью. Обратно, если верхняя (соответственно нижняя) грань множества Х сушествует и принадлежит Х, она является наибольшим (соответственно наименьшим) элементом этого множества. .
Пусть у — отображение множества А в Е. Говорят, что ~ ограничено сеерху (соответственно ограничено снизу. ограничено), если )'(А) есть ограниченная сверху (соответственно ограниченная снизу, ограниченная) часть множества Е; если у (А) обладает Верхней (соответственно нижней) гранью в Е; эта грань называется верхней (соотзетственно нижней) гранью функции у' и обозначается зцр у'(х) "ЕА (соотзетственно 1пг у (х)).
лЕА 8. Упорядоченное множество Е, всю ая непустая конечная часть которого ограничена сверху (соответственно снизу), называется множеством, фильтрующимся вправо ') (соответственно фильтрующимся влево). Упорядоченное множество Е, всякая непустая конечная часть которого обладает верхней гранью и нижней гранью, называется сетчатым множесшвом или упорядоченной сетью (или решеткой) ').
Множество частей произвольного множества, упорядоченное включением, есть сеть, всякое совершенно упорядоченное множество есть сеть. 9. Упорядоченное множество Е называется индуктивным, если оно удовлетворяет следуюшему условию: всякое совершенно упорядоченное подмножество множества Е имеет можоранту. ~) В русской математической литературе фильтрующиеся вправо множества называют также нанраалвнными.
— Прим. ред. *) Такие упорядоченные множества называются в русской математической литературе сшруктурами. В трактате Бурбаки, однако, тернии „струк- 389 а Ъ. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ ь — 1г 'Множество йэ (Е), упорядоченное включением, — индуктивное множество; то же верно для множества всевозможных отображений частей множества Е в множество Р, упорядоченного соотношением „й есть продолжение отображения у".
Произвольная часть индуктивного множества, вообще говоря, не является индуктивным множеством; но, если а — произвольный элемент индуктивного множества Е, часть множества Е, образованная элементами х, для которых х) а, также является индуктивным множеством. !О. С помощью аксиомы выбора доказывается следующее предложение, которое будет именоваться теоремой Цорка: Всякое индуктивное упорядоченное множество обладает ао крайней мере одним максимальныль элементом. 11.
В множестве йэ(Е) частей произвольного множества Е, упорядоченном включением, верхней гранью любого множества $ частей множества Е является объединение множеств из (у. Применение теоремы Цорна лает следующий результат: Если )у — такое множество частей множества Е, что для всякой части чй множества 1)ч совершенно упорядоченной соотношением включения, обьедииение множеств из Ю принадлежит )у, то $ обладает ао крайней мере одним максимальным элементом (т. е.
в данном случае некоторой такой принадлежащей к тат частью множества Е, которая не содержится ни в какой другой части множества Е, принадлежащей тт). Говорят, что множество Ту частей множества Е есть множество конечного характера, если свойство „Х~)у" эквивалентно свойству „всякая конечная чзсть множества Х принадлежит $". Это определение позволяет сформулировать следующую теорему: Всякое множество частей множества Е, являющееся множеством конечного характера, обладает по крайней мере одним максимальным элементом.
!2. Отображение г части А упорядоченного множества Е в упорялоченное множество Р называется возрастающим (соответственно убывающим), если соотношение х с. у между общими элементами множества А влечет у'(х) < Г" (у) (соответственно у (х)) Г(у)); таким образом, всякая функция, постоянная на А, является одновременно возрастающей и убывающей; обратное верно, если А — фильтрующееся (вправо или влево) множество. Отображение у' называется строго возрастающим (соответственно строго убывающим), если соотношение х < у влечет у'(х) С г(у) (соответственно у(х)) у(у)). Если Š— совершении упорядоченное, всякое строго возрастающее (или строго убььеающее) отображение части А множества Е в упорядоченное множество Р ииьектиено.
тура" (фигурирующий в самом наименовании всей первой части трактата) употребляется в совершенно ином смысле. — Прим. ред. ства Е 1пп Е, ш йб Н. Вгэе Если ! — уаорядоченное множество индексов, сеыейство (Х), частей множества Е называется возрастающим (соответственно убивающим), если 1-РХ, есть возрастающее (соответственно убывающее) отображение множества ! в а!э(Е), упорядоченное включениеы. !3. Пусть ! — упорядоченное множество.
фильтрующееся вправо, (Е ) — семейство множеств с множеством индексов 1. Для всякой а ас1 пары (а, р) индексов из 1, такой, что а.-, р. пусть гз„будет отобра! ' жением множества Е, в Ез. Предположим, что соотношения а (р (Т влекут у„=~.ьа Гы. Пусть Р— сумма семейства множеств (Е,)„а1', допуская вольность речи, мы отождествляем множества Е с соответствующими частямн а множества Р. Пусть Е(х, у ~ — следующее соотношение между двумя элементами х и у множества Р(и и р обозначают злесь такие элементы множества 1, что х ~ Е, и у ЕЕЗ): существует такое Т ~ 1, что Т )~ а, Т )~ р и 1 „(х) = Г1З (у), Тогда !! является соотношением эквивалентности на Р. Пусть Р есть фактормножество Р/й и у' — каноническое отображение: Р -ъ Р/!!.
Говорят, что Е есть индуктивный предел семейства (Еа), для семейства отображений (г а), а сужение У, отображения у' на Е, называется каноническим отображением множества Е, е Е. Для а ((! имеем гвауг„— — г",. Пишут Е =!!щ(Еа, уа„) или, если от этого не получается никакого смешения, просто Е=!1щЕа. Допуская вольность речи, мы будем говорить также, что пара ((Е,), (уг,)) есть индуктивная система множеств относительно множества 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
