Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 93

Каково бы ни было Лс!, имеет место включение ЦХ,сЦ Хг 4! В частности, каково бы ни было яЕ 1, имеем Х„4=ЦХ,; обратно, если !' — часть множества Е, такая, что Х,с'!', каково бы ни было 4~1, то Цх,с'!'. Более общо, если (!!',) — какое-либо другое семей- ство частей множества Е, соответствующее тому же множеству индексов 1, и если Х,с'4!Р каково бы ни было 4, то ЦХ,сЦ ьгс Пусть Р— какое-то второе множество и Х-ь К(Х) — отображение множества ьцэ(Е) в 44Р(Р), определенное частью К множества Е К Р'„ тогда (34) Пусть теперь Š— другое множество индексов и (ЗА „— семейство частей множества 1; тогда Ц Х,=Ц ~ЦХ). (35) ве О 4! "Еь ~'ЕТ! ье !.

Это общая формула ассоциативности объединения; когда 1 и Š— множества явно названных элементов, снова получаются извест- Ю,*. ные соотношения (см. $1, п'14); если таким является только 1., образованное, например, числами 1 и 2, то ц х,= ~цх) () ~цх,) . (зб) Пуст~ (Х,),е! и (т„)„ек — два произвольных семейства частей множества Е; тогда имеет место 375 4 4. ОпеРАции нАд семепстВАми мнОЖестВ СВОДКА РЕЗУЛЬТАТО — формула дистрибутивности; она, как частный случай, содержит вторую формулу (10). Если (Х,),~! — семейство частей множества Е.

(У„) к — семейство частей множества г, то (ЦХ,)Х(Ц У,)= Ц (Х,ХУ„). (38) 4. Семейство (Х,), частей множества Е образует покрытие части А множества Е, если АсЦХ,; в частности, если (Х,) есть ш! покрытие множества Е, то ! 1Х,=Е. Разбиением множества Е называют такое покрытие (Х,) множества Е, что а) Х, Ф И, каково бы ни было ! ~1; б) Х,ПХ„=И для всякой пары различных индексов (!, х) нз 1 (это последнее условие выражают еще, говоря, что множества Х, попарно ие пересекаются или попарно не имеют общих элементов). Из этих условий вытекает, что !-э Х,— взаимно однозначное отображение множества 1 на множество $ частей разбиения. Таким образом, задание множества Ту определяет семейство с точностью до взаимно однозначного соответствия между множествами индексов; в частности, безразлично, говорить ли о разбиении как о множестве илн как о семействе частей.

5. Пусть (Х,),— произвольное семейство непустых частей множества Е; в произведении 1)( Е рассмотрим для каждого !~1 часть Х, =]!] КХ„множество 5=ЦХ, называется суммой семейства 'ч! (Х,) Р Ясно, что семейство (Х,) Е! есть разбиение множества 5 и что для всякого !~1 отображение х,— ! (!, х,) есть бнекцня множества Х, на Х,. Допуская вольность речи, мы будем часто суммой семейства (Х,),, называть множество, находящееся во взаимно однозначном соответствии с 5, н будем множества Х, отождествлять с соответствующими им частями этого множества. Часто говорят, что сумма двух непустых множеств Е и Р получается присоединением множества г к множеству Е.

6. В обозначениях п' 2 множество элементов х нз Е, обладающих свойством „каково бы нн было !~Л, х ЕХ,", называется пересечением семейства множеств (Х,), „и обозначается ПХд при д=! вместо ПХ, часто пишут ПХ, нли проч! ~Е! Ф ... ПХР Имеем С]'Ц Х,) = П (СХ,). (~е! е! (39) В частности, еслн Я=И, ПХ,=Е. (40) 'чв Пересечение ПХ, зависит только от множества Ту и может быть записано в виде П Х; если! образовано, например, числами 1, 2, 3 хсй то ПХ,=Х, ПХтйХЗ. Более общо, если (У,) — какое-либо другое семейство частей множества Е, соответствующее тому же множеству индексов 1, н если Х,сУР каково бы нн было !, то ПХ,сПУР Объединение множеств Х, есть пересечение множеств У, таких, что Х,су, каково бы нн было !; пересечение множеств Х, есть объединение множеств а, таких, что Х,!2, каково бы нн было ! 7. Формула (39) позволяет обобщить правило двойственности: если часть А мнржества Е получается из других частей Х, У, 7, и семейств (Х,), (У„), (Х!) частей множества Е прнмененнем, безразлично в каком порядке, одних только операций ц, '(), П, Ц, П.

то. дополнение СА получается заменой частей Х, У, Е, ХР У„, Хь их дополнениями н операций О, П, Ц, П на соответственно операции П . (). П, Ц с сохранением их порядка; разумеется, в операциях пересечения н объединения, применяемых к частям множеств индексов, которые могут оказаться подписанными под знаками Ц и П. ничего менять не следует. Соотношение, двойственное к соотношению А=В илн А!=В„ где А и  — части множества Е вышеуказанного вида, определяется,.

как и в $1. п'15. 8. Каково бы нн было дс1, имеет место включение ПХ,сП Хг ~6! Е! В частности, каково бы ни было ч ~ 1, имеем П Х,сХ„; обратно,. если УсХР каково бы нн было !, то УспХР 5 Д ОПЕРАЦИИ НАД СЕМЕЙСТВАМИ МНОЖЕСТВ ю — и СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ Следующие формулы двойственны соответственно формулам (35) и (37)! Х= Х (ассоциативность), (4! ) П П(П .1 ~Е 0 11 Аешь 0Е11 ) лгь" .) ~ .)= ПХ,)01 П У„1 = П (Х,0 У„) (дистрибутивность).

(42) 'Е1 / 1" ЕК / «. *!4!ХЕ Если (Х,),Е! — семейство частей множества Е, а (у„)„~к — семейство частей множества Р, то ,) ~ ») = ПХ,1Х»П У„»= П (Х,)(Х„). (43) / (.ек / !, 1Е1хк Кроме того, если (Х,) и (1',) — семейства частей соответственно множества Е и множества Р. отвечающие одному и тому же множеству индексов 1. то (ПХ,) Х ~ПУ,) = П(Х,)б У,). (44) Формула (34) не имеет двойственной; в общем случае имеем только К»'ПХ,1 =ПК(Х,). ~ 41 (45) у /Пх,) = П / (х,) (46) — формула, обобщающая (14). 9. Пусть Š— произвольное множество, 1 — произвольное множество индексов; множество семейств (х,), ! элементов из Е, 1 имеющих в качестве множества индексов 1, обозначается Е, а операция, переводящая Е в Е, называется возведением а степень; 1 таким образом, Е находится во взаимно однозначном соответствии ! с множеством отображений множества 1 в Е (которое по этой при- 11 чине, допуская вольность речи, часто обозначают Е/, а также, если рассмотреть графики этих отображений.

с некоторым подмножеством множества 14у(1)г,' Е). Множества Е, соответствующие частям 3 множества 1, можно, таким образом, рассматривать как части одного и того же множества, находящегося во взаимно однозначном соответствии с некоторой частью множества 4л(! /!', Е). Для произвольного семейства (Х,) равенство имеет место только в случае, когда Х»К(Х) есть обратное распространение отображения некоторой части множества Р В Е; следовательно, если у — отображение множества Р а Е, то имеет место Пусть теперь (Х,) †семейст частей множества Е, соответ- '~Е! ствующее тому же множеству индексов 1, и пусть Я вЂ” произвольная часть множества 1; свойство „каково бы ни было 1~3, х,~Х,' семейства (х,), определяет часть множества Е, называемую произ- 1 ведением семейства множества (Х,), и обозначаемую Д Х, 'Е1 ( или просто ДХР когда 3=1) .

Множества Х, называются множителями или сомножителями. Заметим, что Д Х, есть множество, ~«я состоящее из одного элемента (соответствующее пустой части множества 1к'Е). Если Х,=Е, каково бы ни было!~Я, то ДХ,=Е1. <«1 Если 1 образовано, например, тремя числами 1, 2, 3. 11 Х, нахо~е! дится во взаимно однозначном соответствии с множеством Х, Х Хе )(Хз. 1О. Пусть К»х, у( — соотношение между общим элементом х множества Е и общим элементом у множества Р. Имеет место экви- аалентность между следующими двумя предложениями. „каково бы ни было х, существует такое у, что К»х, у»" и ,существует такое отображение / множества Е в Р, что для всякого х К»х, /(х)»". Утверждение об этой эквивалентности называется аксиомой выбора (или аксиомой Цермело). Мы будем иногда отмечать, зависит ли доказательство той или иной теоремы от этой аксиомы.

Аксиома выбора есть предложение, эквивалентное следующему предложению: „Если для всякого 1Е! Х,чь И, то ДХ, +И". 'Е1 11. В этом и следующем пунктах рассматривается непустое произведение Д Ае где (А,) — произвольное семейство (непустых) частей ~Л множества Е. Пусть Л вЂ” часть множества 1; отображение ')~Е1 ( ')~Е1 множества Д А, на Д А, называется проекиией произведения Д А, ГЕ! <Е1 379 а В. ОПЕРАЦИИ НАД СЕМЕЯСТВАМИ МНОЖЕСТВ 1а — 1а 378 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ на произведение Ц А, и обозначается рг„'); в частности, отображение (х,),е! — л х„множества Д А, на А„обозначают рг„и называют 61 также координатой индекса ха).

Таким образом, для элемента г произведения Д А, имеем . =(рг,(я))и и Пусть ди да — два множества, образующих разбиение множества 1; тогда Х вЂ” ь(РГ1 (г), РГ (Х)) есть взаимно однозначное отображение множества ЦА, на ~1А,ХПА,. Ц Х, = П рг, (Х,). 'Е1 ,в1 в) Если Ц Х,Ф И, то рг„(ЦХ,) =Х„. (47) (48) ') В га, 11, 9 5, н'4, ато отображение было названо проектированием по индексу 1. — Прим. Рвд.

') В га. 11, $5, и 3, ато отображение было названо координатной функцией индекса х иаи проектированием по индексу х; координатой индекса х элемента в нз Ц А, быа назван таи элемент рг (в).— Прим. рвд. Более общо, если (дл)л „вЂ” произвольное разбиение множества 1, Отображение х — ь(рг1 (л)! есть взаимно однозначное отображение "л )лЕЬ 4называемое каноническим) множества Д А, на произведение Е1 Ц/ / Ц А,); этот факт выражают еще говоря, что произведение семейлеь 1'евл ства множеств ассоциативно.

12. Следующие предложения обобщают предложения $3, п'3; (Х,), (1',) обозначают семейства частей множества Е, такие, что Х,с=А, и У,с=АР иакова бы ни было 1~1; Х обозначает произвольную часть множества Д Ас а) Если ДХ, чь И соотношение „ДХ,~Ц'1'," эквивалентно соотношению, каково бы ни было 1~!, Х,с='1",". -1 б) рг„(Х„) = Ц'л'Р где 1'„=Х„и "1",=А, для лчьх.

Отсюда г) Каково бы ни было Х, ~ =Црг,(г) (49) д) Пусть (Л1, да) — разбиение множества 1 на два множества„ (а,),Е1 — семейство элементов множества Е, а (Х,) „— семейство частей множества Е, такие, что а,ЕАР каково бы ни было л~ди Ха=АР каково бы ни было 1~да; тогда произведение Ц "ло где Г~Ч У,=(а,), если 1~31, н '1",=Хе если 1сва, может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с ЦХ, при помощи проекции 'ец на это последнее множество. 13. Пусть (А,), — семейство частей множества Р, н пусть / — отображение множества Е в произведение Ц Ас Если положить г",(х)= ~Е! =рг,(у'(х)), то /, будет отображением множества Е в Ае а г" — не чем иным, нак отображением х-ь(г",(х)).