Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 97

Если все отобРажениЯ Уг„инъективны, то все отобРУжениа Г', тоже инъективны. В этом случае Еа и у,(Е„) вообще отождествляют и, таким образом, рассматривают Е как объединение множеств Е,. Обратно, если некоторое множество Е' есть объединение семейства (Е„) ~, частей, таких, что соотношение а -. р влечет Е„'~Е', и если (при а ( р) через у „обозначить каноническую инъекцию множе- Ф ства Е, в Ез, то можно отождествить Е с 1!ш(Е„, /!и), а канонические отображения множеств Е„в 11ш(Е„гы) — с каноническими а инъекциями множеств Е, в Е .

Более общо, пусть (Еа, га,) — индуктивная система множеств относительно ! и для всякого и Е ! пусть я, †так отображение множества Е, в множество Е', что соотношение и ..-. р влечет а а Г = и . Тогда существует и единственно отображение я множеЗа а' в Е', такое, что я„=яа г"„для всякого ац!. Для СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ 13 26" того чтобы я было сюръективным, необходиыо и достаточно, чтобы Е' было объединением множеств я,(Е,).

Чтобы я было инъективньм, необходимо и достаточно, чтобы для всякого а Е 1 соотношения х ~ Е,. у Е Е,, я,(х) = я,(у) влекли существование р )~а, для которого уа,(х)=уз»(у). Если я биективно, иногда отождествляют Е' и индуктивный предел множеств Еа. Пусть (А,, фаа) и (Ва, фаа) — две индуктивные системы множеств относительно одного и того же множества индексов 1; пусть А=!пи(А,, фм), В=Ив(В», фа,) и для всякого а~! пусть ф, (соответственно ф,) — каноническое отображение множества А, в А (соответственно множества В, в В).

Для всякого а~1, пусть й,— отображение множества Аа в В,, такое, что для и ( р имеем и» ф = ф» и,, Говорят, что(и ) есть индуктивная система отображений системы (А,, ф ) а (Ва, фз,). При этих условиях существует и единственно отображение и: А ь В, такое, что для всякого а ~ 1 имеем и»ф =ф,» и,. Говорят, что и есть индуктивный предел отображений иа, и пишут и=Ищи,, если можно не опасаться никакого смешения. Пусть (Са, 03,) — третья индуктивная система множеств относительно 1, (па) — индуктивная система отображений системы (В,, ф а) в (Са, О,) и О=Ишп,.

Тогда Иш(п,» иа)=О» и. Сохраняя прелыдушие обозначения. положим Ра = А, К В, и Ю,=уз,)С', ф,. ТОГда СЕМЕИСтВО(Р», ЮЗ,) яВЛяЕтСя ИидуКтнВНОЕ СИСтЕ- мой множеств. Пусть Р = !пп(Р,, юза), ю, — каноннческо отображение множества Р, в Р, Р'=А )а', В и ю„'=ф,,х, ф,. Тогда существует и единственна биекция у: Р-ь Р' (называемая канонической>, такая, что у»юа=ю' для всякого а~!. Вообще произведение Р' индуктивных пределов отождествляют с индуктивным пределом Р произведений Р,. Пусть д — конфннальная часть множества 1. Тогда б есть множество.

фильтрующееся вправо. Пусть ((Е,),чп (УМ)»! 3Е,) есть индуктивная система множеств относительно! с индуктйвным пределом Е; тогда прежде всего ((Е,)а я (уа,),03 03) есть индуктивная система множеств относительно д; йусть Е' — ее индуктивный предел и для а~3 пусть ӄ— каноническое отображение множества Е, в Е'. Тогда существует и единственно отображение б: Е' — РЕ, такое. что я (уа(Х))=уа(Х) дпя аС» И Х~Е, (ГдЕ у» ОбОЗНаЧаЕт КаНОНИЧЕСКОЕ отображение множества Е, в Е).

Это отображение есть биекция, при помощи которой Е' и Е обычно отождествляют. !4. Пусть 1 — упорядоченное множество. фильтрующееся вправо, (Еа)а,— семейство множеств с множеством индексов 1. Для всякой пары (а, р) индексов из 1, такой, что а(р, пусть у,з будет ото- 33 т 6. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЛШСТВА бражением множестви Еа а Еа.

Предположим, что соотношения и ."' Р % 1 влекУт У„„=У,а»Уау Пусть С вЂ” произведение семейства множеств (Еа)а г Пусть Е— часть множества С. образованная элементами х, удовлетворяющими кажаому из соотношений рг,х=у„з(ргах) для всякой пары индексов (и, р), такой, что а - 'р, Говорят, что Е есть проективный предел семейства (Е,)а ! для семейства отобрижений У,р а сужение у, отображения рг, на Е называется каноническим отобрижением множестве 'Е в Е,, Для ис р имеем у»=у,з»у. Пишут Е = Иш(Е„У» ) или, если можно не опасаться никакого смешения, просто Е=ИшЕ». Допуская вольность речи, мы будем говорить также, что пара ((Е,), (уаа)) есть проектиания система множеств относительно множества 1.

Заметим, что Е может быть пустым, даже если все Еа не пусты и все отображения Уаа сюръективны. Для всякого а ~ 1 пусть я„— отображение некоторого множества Е' в Е,, такое, что соотношение а Р влечет У„а»да — — Я,. Тогда существует и единственно отображение я множества Е' в Е, такое, что б„=У,»б для всякого и~1. Для того чтобы я было инъективным, необходимо и достаточно. чтобы для всякой пары различных элементов х', у' из Е' существовал такой индекс а~1, что б (х )а-л,(У ). Пусть (А„ф,а) и (В,, ф„а) — две проективные системы множеств относительно одного и того же множества индексов 1; пусть А = Иш(А», ф,з), В = Иш(В», фаа) и для всякого а~ ! пусть фа (соответственно ф,) — каноническое отображение множества А в А, (соответственно множества В в В,). Для всякого а~1 пусть и, — отображение множества Аа з Ва, такое, что для а ( р имеем ф,а» иа —— и, » и„р Говорят.

что (и,) есть проективния система отображений системы (А„ф,а) в (В„ф,з). При этих условиях существует и единственно отображение и: А — ь В, такое, что для всякого а ~ 1 имеем ф»и=и»»фа. Говорят, что и есть проективный предел отображений иа, и пишут и = Иш иа, если можно не опасаться никакого смешения. Пусть (С„0»з) — третья проективная система множеств относительно 1, (О,) — проективная система отображений системы (Ва, ф, ) в (С,, 0„3) и О= Вши».

Тогда Иш(О»» и,)=О» и. Пусть б — конфинальная часть множества 1. Пусть ((Е„) 0 и (у' ) ) — проективная система множеств относительно 1 с проекаа »ЕЕ ае1) тивным пределом Е; тогда прежде всего ((Е,)а, (У„з) „) есть проектнвная система множеств относительно д; пусть Е' — ее проек- СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ $7. мОщнОсти. счетные мнОжествА 1 — з тивный предел и лля а~3 у'„— каноническое отображение множества Е' в Е,.

Для хЕЕ пусть к(х)=(1;(х)), ~Е' (у', обозначает каноническое отображение множества Е в Е„). Тогда А есть биекция множества Е на Е', при помощи которой Е' и Е обычно отождествляют. 9 7. Мощности, Счетные множества 1. Два множества Е, Р называются раэкомощкыми, если они могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. Два множества, равномощные одному и тому же третьему множеству, равномощны. Если Е и Р равномощны, то ф(Е) и ф(Р) тогке равномощны. Если Е и Р, Е' и Р'.

Е" и Р" соответственно равномощны, то Е н', Е' Х Е" и Р )( Р' Х Р" равномощны; это предложение распространяется на произведение любого числа множеств. 2. Пусть Х и У вЂ” две общие части множества Е; соотношение „Х и У равноыощны" есть соотношение эквивалентности в х(э(Е); класс эквивалентности (по этому соотношению), к которому принадлежит Х, называется мощностью') части Х, а множество этих классов (фактормножество множества ф(Е) по указанному соотношению) — множеством мощностей частей множества Е. Пусть Е и Р— два различных множества; соотношение „Х и У равномощны" между частью Х множества Е и частью У множества Р выражают еще, говоря, что мощность множества Х и мощность множества У экаиэалектны; этим определено взаимно однозначное соотношение между некоторой частью множества мощностей частей из Е и некоторой частью множества мощностей частей из Р.

3. Пусть Е, Р— два произвольных множества, не обязательно различных; пусть а — элемент множества мощностей частей из Е. Ь вЂ” элемент множества мощностей частей из Р; говорят, что а микорирует Ь или что Ь превышает (или мажорирует) а, если существует вззимно однозначное отображение части Х<=Е мощности а в часть УЩР мощности Ь; говорят, что а строго минорирувт Ь или Ь строго превышает (строго мажорирует) а, если, кроме того, а и Ь не являются эквивалентными мощностями. ') В формализованной теорки множеств (см.

гл. 1П, 5 3) определяют понятие кардинального числа некоторого множества, которое, допуская вольность речи, называют также мощностью этого множества. Однако эта вольность речи не вызывает смешения, ибо для того, чтобы две части некоторого множества ннелн одну и ту же мощность (в вышеуказанном смысле), необходимо н достаточно, чтобы они имели одно и то же кардинальное число; аналогично, чтобы мощность части А множества Е превышалась мощностью части В множества Р(п'3), необходимо н достаточно, чтобы кардинальное число множества А превышалось кардннальнын числом множества В; наконец, если мощность множества А есть сумма (в'5) мощностей семейства (А,) частей множества Е, то кардинальное число множества А есть сумма кардинальных чисел множеств А,.