Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 94

Обратно, если для каждого индекса 1 7", есть отображение множества Е в Ае то х — ь(Г",(х)) есть отображение множества Е в ДА,; его обозначают (/,) (допуокая вольность речи, так как эта запись обозначает также семейство отображений )',). Так определяется взаимно однозначное отображение ,е а"с е (называемое каноническим) множества (~р А,) на множество ~~ (А, ). 1 ~Е 14.

Пусть Е, Р, С вЂ” три множества. Для всякого отображения г множества Г)ч',С в Е и для всякого у~С обозначим через / частное отображение (Э 3, п'13) х — л 7" (х, у) множества Р в Е; у-ь /У есть отображение множества С в Е". Обратно, для всякого отображения 5 множества С в Е существует и единственно отображе- Р ние г" множества Р Х С в Е, такое, что / = в (у) для всякого у ~ С. Так определяется взаимно однозначное отображение (называемое гхо РО каноническим) множества Е на множество (Е ) .

15, Пусть (А,) л! — семейство непустых частей множества Е, Для всякого 1~1 пусть у,— отображение множества А, в множество Р, такое, что для всякой пары индексов (1, х) отображения /, и г 57.' совпадают на А,ПА„. При этих условиях, если А=()А„суше- ~61 ствует и единственно отображение г множества А в Р, такое, что ь.. 'суэкение отображения г на каждое из А, равно /г В частности, й' А если А,П А„= И для всякой пары различных индексов, множества Р ° а А и ТЦ Р ~ оказываются поставленными этим во взаимно однозначное 'Е! 1 соответствие (называемое каноническим), 381 $5.

СООТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ ф б. Соотношения эквивалентности; фактормножество 1. Пусть (А,),Е! — разбиение множества Е; соотношение К(х, у1 между двумя общими элементами х, у из Е ,существует ! ~ 1, такое, что х ~ А, и у Е А," удовлетворяет слелующим условиям: а) К(х, х1 есть тождество (рефлексивность соотношения К).

б) К!х, у! и К~у. х1 эквивалентны (симметричность соотношения К), в) Соотношение,К(х, у1 и К(у, г1" влечет К(х, х( (транэитивность соотношения К). Если С обозначает часть множества Е К Е, определенную соотношением К, условия а), б), в) эквивалентны соответственно спев ! дующим условиям: а') А~С; б') С=С; в') СьСс-С. Из а') и в') вытекает С «С= С. 2. Обратно, пусть К~х, у1 — рефлексиэное, симметричное и транзитивное соотношение и С вЂ” его график в Е Х Е. Образ гу множества Е при отображении х-«С(х) множества Е в (Ээ(Е) есть разбиение множества Е. а соотношение „существует часть Х~ф, .такая, что х ~Х и уЕХ" эквивалентно К(х, у1.

Всякое соотношение К, удовлетворяющее условиям а), б), в), называется соотношением эквивалентности в Е; определяемое им разбиение (Г. рассматриваемое как часть множества 1(э(Е), называется фактормножестэом множества Е по соотношению К и обозначается Е/К; его элементы называются классами эквивалентности ло К. Отображение х — «С(х) множества Е на Е/К, сопоставляющее всякому элементу х из Е класс эквивалентности, которому принадлежит х, называется каноническим отображением множества Е на Е/К. Соотношение равенства х = у есть соотношение эквивалентности; каноническое отображение множества Е на соответствующее фактор- множество есть не что иное, как х — «(х); оно баек!низко. Когда К есть соотношение эквивалентности, иногда в качестве синонима для К(х, у1 употребляется запись ,х=у(шобК)'. Она читается „х эквивалентно у ло модулю К (или ио К, или .согласно К)".

3. В произведении Е !с' Р соотношение „рг, (х) = рг, (х')' есть некоторое соотношение эквивалентности К и фактормножество (Е)( Р)/К может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с Е (что н лежит в основе наименования фактормножестэо). Более общо, пусть / — отображение множества Е в множество Р; соотношение „/ (х)= /(у)" есть соотношение эквивалентности в Е; — 1 -! если его обозначить через К, отображение х — «/(г) (где у'(х) рассматривается как элемент множества Е/К есть взаимно однозначное отображение множества /(Е) на Е/К.

Отсюда вытекает, что / можно рассматривать как композицию трех следующих отображений, берущихся в указанном порядке: 1' канонического отображения части /(Е) множества Р в Р; 2' взаимно однозначного отображения множества Е/К на /'(Е), обратного определенному выше отобрюкению; 3' канонического отображения Е на Е/К. Это разложение отображения называется каноническим разложением или канонической факторизацией. 4. Всякое соотношение эквивалентности К в множестве Е может быть определено с помощью некоторого отображения как в предыдущем п', ибо если С есть график соотношения К, то соотношение „С(х) = С(у)" эквивалентно соотношению К)х, у1. 5. Пусть К вЂ” соотношение эквивалентности в множестве Е и А — часть множества Е; соотношение К ~ х, у1 между двумя общими элементами х, у множества А есть соотношение эквивалентности в А; говорят, что оно индуцировано в А соотношением К и обозначают его КА.

Пусть / — каноническое отображение множества Е на Е/К, а и — каноническое отображение множества А на А/КА. Поставим в соответствие друг другу элемент из Е/К и элемент из А/КА, если они являются образами одного и того же элемента из Е относительно / н и соответственно; тем самым определяем взаимно однозначное соответствие между образом /(А) множества А относительно / и фактормножеством А/КА. Если через у обозначить каноннческо отображение множества А в Е, это соответствие будет осуществляться отображением и обратным к нему, также называемыми каноническими. 6. Говорят, что часть А множества Е насыщено для соотношения эквивалентности К, если для всякого х ~ А класс эквивалентности элемента х по К содержится в А; иначе говоря, множества, насыщенные для К, являются объединениями классов эквивалентности яо К, Если / есть каноническое отображение множества Е на Е/К, можно еще сказать, что множество насыщено, если оно имеет -! вид /(Х), где Х вЂ” некоторая часть множества Е/К.

Пусть А — часть множества Е; пересечение насыщенных множеств, -! содержащих А, есть множество /(/'(А)), которое можно определить так же, как объединение классов эквивалентности элементов из А, и которое называется насыщением множества А (для К). $ В. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ 10; 1 7. Пусть Р)х, у, я1 — соотношение, в которое входит общий элемент х множества Е. Говорят, что Р соамесгпимо ') (по х) с соотношением эквивалентности К, если соотношение,Р)х, у, г1 и х=— х'(шобК)" влечет Р)х', у, г1. Пусть / — каноническое отображение множества Е на Е/К и — ! г — общий элемент множества Е/К; соотношение „существует х ~,7 (/). такое.

что Р(х, у, х~" эквивалентно тогда соотношению „каково бы ни было х ц/'(/), Р)х, у, г)', это есть соотношение между Г, у, х, о котором говорят, что оно выведено из Р переходом к фактормпожеству а) (по х); если его обозначить через Р'~(, у, г1, то Р)х, у, х ~ будет эквивалентно соотношению Р'1/(х), у, х1. Для соотношения. в которое входит произвольное число аргументов, и для случая. когда это соотношение совместимо с К по нескольким из этих аргументов, определения аналогичны. Например, если А — часть множества Е.

то сказать, что „х ~ А" совместимо (по х) с К, все равно, что сказать, что А насыщено для К; если 17 — отображение множества Е в множество Р, то сказать, что функциональное соотношение „у=8!(х)" совместимо (по х) с К. все равно, что сказать, что функция га остается постоянной на каждом нлассе эквивалентности по К; переходом к фактормножеству получаем тогда соотношение между у и общим элементом Г фактормножества Е/К; это соотношение функционально по у и определяет, следовательно, отебражение в' фактормножества Е/К в Р, удовлетворяющее тождеству у (х) = у' (/(х) ) 8. Пусть К вЂ” соотношение эквивалентности в множестве Е, 8 — соотношение эквивалентности в множестве Р и / — отображение множества Е в Р.

Говорят, что / совместимо с К и 8, если соотношение х=х'(шоб К) влечет /(х)= /(х')(щоб 8); если и— каноническое отображение множества Р на Р/8, то композиция ко / имеет одно и то же значение для всех элементов класса эквивалентности я по К; если это значение обозначить через /г(х), то /г будет отображением множества Е/К в Р/8; говорят, что оно выведено из /' переходом к факто рмкожеспгвам '). 9. Пусть К вЂ” соотношение эквивалентности в Е, 8 — соотношение эквивалентности в Е/К; если / — каноническое отображение множества Е на Е/К, то „/(х) =у'(у)(щоб 8)" есть некоторое соотношение эквивалентности Т в Е; таким образом, класс эквивалентности по Т есть объединение в Е классов эквивалентности по К, энвива- ') В подлиннике „сотрас/Ые"! в приложении к русскому переводу первых глав „Общей топологии' Н. Бурбаки (М., 1958) — „согласуется'.— Прим.

ред. ') В подлиннике .акии1тв бе Р раг разааке аи дио/1еп/"; в приложении к русскому переводу первых глав, Общей топологии',получено из Р факторизацией . — Прим. ред. ') Сн. предыдущее примечание. — Прим. рад, лентных между собой по 8. и „х=у(щоб К)" влечет „к==у(шобТ)". Если я и в — канонические отображения множества Е/К на (Е/К)/8 и множества Е на Е/Т соответственно, то, поставив в соответствие друг другу элемент из (Е/К)/8 и элемент из Е/Т, являющиеся образами одного и того же элемента из Е относительно А о/"' и у соответственно, мы получим взаимно однозначное соответствие между (Е/К)/8 и Е/Т (называемое каноническим).