Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 92

(28) (29) Если К и К' — две части множества Е)с',Р, такие, что КсК', то К(Х) сК'(Х) для всякого ХсЕ; в частности, К(х)с К'(х), каков бы ни был х~Е. Обратно, если К(х)с=К'(х), каков бы ии был х ЕЕ, то Кс К'. 9. Соотношение между общим элементом множества Е и общим -1 элементом множества Р определяет часть К множества Е )с', Р и часть К множества Р)с',Й и, следовательно, отображение Х-+К(Х) множе— 1 ства 43(Е) в множество уйв(Р) и отображение У вЂ” ьК(У) множества у(в(Р) в множество 4з(Е).

Когда К является графиком отображения 7 множества Е в Р, -1 отображение У-+К(У) есть не что иное, как обратное распространение отображения г". Следует заметить, что соотношения (18) и (19) ие обобщаются иа — 1 отображения Х -ь К (Х) и У -+ К (У), если К вЂ” произвольная часть множества Е )с Р.

1О. Пусть Е, Р, С вЂ” три множества, не обязательно различных, А — часть множества Е)с, Р,  — часть множества Р)(С. Элементы (х, х) множества Е)с,' С, обладающие свойством „существует у ~Р, такое, что (х, у)~ А и (у, л)~ В", образуют часть множества Е Х С, называемую множеством, составленным (или скомпонованным) из В и А !), или композицией множеств В и А и обозначаемую В а А или просто ВА, если нет опасности смешения. И здесь порядок, в котором компонируются два множества, существен. Отображение ХьВА(Х) множества 4в(Е) в !)з(С) есть композиция отображения У вЂ” ьВ(У) и отображения Х-+А(Х); иначе говоря, ') Б подлиннике: .ци'оп арре1!е !'евзещВ!е сотрозв' йе В ег А'.

В приложении к русскому изданию первых глав „Общей топологии" Н. Бурбаки (М., 1958) эта фраза переводится так: „называемое композицией множеств А и В". Мы сохраняем порядок оригинала (ср. подстрочное примечание иа стр. 363, а также оиределеиие 6 из гл. !1, 9 3, п' 3). — Прим. рвд. 24 Н. Бурбаки П 8. Всякое отображение Х-ьК(Х). определенное частью К множества Е Х Р, обладает следующими свойствами, обобщающими свойства распространения отображения множества Е в Р (9 2, па 4 И 5)1 а) К(И) =И.

б) „Х с= У" влечет „К(Х) с=К(У)". в) Каковы бы ни были Х, У, 4 з. пвоизввдвние нескольких множвств и-!3 гз зто сводка гвзкльтлтов каково бы нн было Хс= Е, В А (Х) = В (А (Х) ). (30) Пусть Н вЂ” множество, не обязательно отличное от Е, Р, О, и С— часть множества С Х Н.

Тогда С о (В о А) = (С о В) о А; это множество обозначается также С о В о А (или просто СВА) и называется составленным из, или скомпанованным из, или композицией множеств С, В, А. взятых в указанном порядке '). Пусть г — отображение множества Е в Р, а д — отображение множеств Р в С; если А и  — графики отображений соответственно г" и а, то композиция ВА есть график композиции дог. !1. Имеем — 1 — — 1 -! (В о А) = А о В, (31) Пусть А, А' — две части произведения Е Х Р, В, В' — две части произведения Р Х С; соотношение „А с= А' и В ~ В'" влечет „Во А ~В'оА'". Пусть А — часть множества Е )( Р, Ь вЂ” диагональ множества Е Х Е, Ь' — диагональ множества Р Х Р; тогда А о Ь = Ь' о А = А.

(32) 12. Пусть теперь Е, Р, Π— три не обязательно различных множества; их произведение Е Х РХ С есть множество троек (х, у, з), где х~Е, уц Р, з с 0; соотношение (х, у, з)=(х', у', з') эквивалентно соотношению „х=х' к у=у', и я=я'". Три отображения (х. у .3) -«х (х у з) -« у (х )! з)-!" з множества Е Х Г Х С соответственно на Е, Р, С называются первой, второй и третьей координатами (пли проекциями); аналогично, например, отображение (х, у, з) -«(х, у) множества Е Х Р Х С на Е Х Р называется проекцией индекса (1, 2, и обозначается рг,, г).

Определения н предложения п' 2, 3, 4 легко обобщаются на произведение трех множеств. Кроме того, рассмотрение произведения Е Х Р Х О трех множеств можно заменить рассмотрением произведения (Е Х Р) )( С, полученного двукратным применением операции „произведение двух мно- ') В подлиннике: „з'арре!е !е сотрозо йе С, В, А рг!и йапз се! огйге; в приложении к русскому изданию первых глав .Общей топологии": „называется композицией множеств А, В, С, взятых в указанном порядке".— Прим.

дед. ') См. подстрочное примечание иа стр. 388. — Прим, ред. жеста В самом деле (х, у. з) — ! ((х, у), з) есть взаимно однозначное отображение множества Е)(РХО на (Е Х Р) Х С, называемое еще каноническим; аналогично определяются взаимно однозначные отображения (также называемые каноническими) множества Е Х Р Х О на множество Е Х (Р Х 6) и все множества, получающиеся из Е Х Р Х О, (Е Х Р) Х О и Е Х (Р Х 6) перестановкой трех букв Е, Р, О.

Аналогичные определения и свойства имеют место для произведения более чем трех множеств. 13. Если функция г". принимающая свои значения в каком-нибудь множестве Е', определена на произведении трех множеств Е, Р, С, говорят также, что это функция трех аргументов, каждый из которых пробегает одно из множеств Е. Р, О; значение функции г" на элементе (х, у, з) множества Е Х Р Х О обозначается г(х, у, з).

Пусть а — какой-нибудь элемент множества Е; (у, з)-«,г (а, у, з) есть отображение множества Р Х С в Е'; оно называется час!иным, нли парциальным, отображением (а также частной, или парциальной, функцией '), порожденным функцией г' и соответствующим значению а аргумента х; оно является также композицией функции у и отображения (у, з) — «(а, у, з) множества Р Х О в множество Е Х Р Х С. Аналогично если д есть элемент множества Р, з — «г(а, Ь, з) есть отображение множества О в Е', называемое еще частным отображением, порождаемым функцией г" и соответствующим значениям а, Ь аргументов х, у.

Обратно, пусть й — отображение множества Е в Е', тогда (х, у, з) †. й (х) есть отображение Ь множества Е Х Р Х С в Е', такое, что всякое частное отображение множества Е в Е', порождаемое отображением Ь и соответствующее любым значениям для у и з, совпадает с д; этот факт часто выражают, говоря.

что функцию одного аргумента х всегда можно считать функцией всех аргументов, которые нужно рассматривать в данный момент и среди которых, разумеется, встречается х. ') В приложении к русскому изданию первых глав .Общей топологии' Н. Бурбаки (М., 1958) подобные отображения и функции названы частичными. Мы предпочитаем переводить здесь французское прилагательное „раг!!е!" русским прилагательным .частный", устойчиво встречающимся— в данном значении — в сочетании .частная производная" (по-французскн— ,де!!чае рагг!ейе'), Кроме того, частичным отображением множества А в множество В удобно называть всякое отображение всякой части множества А в множество В.— Прим.

ред. 373 372 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ !4; ! — 3 (х, у, я)-+(г (х), д'(у), Ь (я)) К(ЦХ,) =Цк(х,) „существует такое 4СЛ, что х~х,"'. Ц х,=с(о) =и, 'Ео (зз) ~цх,)п(ц у.)= Ц (х,пу.) (37'ь 14. Пусть ~'. и, й — три отображения соответственно множестза Е в Е', Р в Р' и О в О'! отображение множества Е р, Р )!', О в Е' Х Р)4', О' обозначается (7, й, Ь) или )')( йХ 7! и называется распространением отображений 7, и, й на произведения множеслгв. Если 7', э., Д вЂ” все л4ри — инъективны (соответственно сюръективны.

биективны), 7 )4', и )4', й инъективно (соответственно сюръективно, биективно). В этом и предыдущем пунктах мы рассматривали случай только трех множеств единственно для определенности изложения; аналогичные рассмотрения справедливы для любого конечного числа множеств. ф 4. Объединение, пересечение, произведение семейства множеств 1. В этом параграфе мы рассматриваем семейство (Х),ч! часлгей множества Е с произвольным множеством индексов 1; через ъу мы будем обозначать множество нринадлежаизих этому семейству частей множества Е (часть множества 441(Е)).

Когда 1 конечно, рассмотрение семейства (Х,) сводится к рассмотрению нескольких, не обязательно отличных друг от друга, частей множества Е в числе, равном числу элементов множества 1; например, три произвольных подмножества Х,, Х. Хз множества Е образуют семейство частей множества Е, причем множество 1 образовано здесь числами 1, 2, 3. 2. Пусть 3 — произвольная часть множества 1; рассмотрим множество элементов х, обладающих свойством Это множество называется объединением семейства множеств (Х,), и обозначается Ц Хс 'е! Это определение можно сформулировать еще следующим образом: отображению !-ьХ, множества 1 в 4э(Е) соответствует вполне опре- деленная часть С множества 1)4', Е. такая, что Х,=С(!) (4 3, п'7); имеем Ц Х, = С (Я), ~е! В частности, При л =1 вместо ЦХ, часто пишут Ц Х, или просто ЦХР ~е! В 1е! Э 4.

ОПЕРАЦИИ НАД СЕМЕЙСТВАМИ МНОЖЕСТВ Объединение ЦХ, завысит только от множества $; другими словами, оно одинаково для всех семейств, соответствующих одной и той же части !(у множества ь4э(Е); в частности, оно равно объединению семейства, определяемого каноническим отображением множества )уз ьбэ(Е), и потому его можно записать Ц Х; оно называется такжэ хеэ объединением множеств, принадлежал(их к Е. Если ! — множество, элементы которого названы явно, например числа 1, 2, 3, то ЦХ,=Х,()хз() Хз, чем оправдывается наименова~е! ние „объединение", данное в общем случае множеству ЦХР 1 3.