Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 95

Обратно пусть К и Т вЂ” два соотношения эквивалентности в Е, такие, что „х=у(шобК)' влечет „х=у(шобТ)". Тогда Т совместимо (в смысле п' 7) с К одновременно по х и цо у, и из Т переходом к фактормножеству Е/К (по х и у) получается соотношение эквивалентности 8 в Е/К. Если через / снова обозначить каноническое отображение множества Е на Е/К, то соотношение,у'(х) = =/(у)(щоб8)" будет эквивалентно соотношению „х=у(шобТ)". Соотношение 8 называется факторсоотношеиием соотношения Т по К и обозначается Т/К. По предыдущему, существует взаимно однозначное (а именно каноническое) соответствие между (Е/К)/(Т/К) и (Е/Т). 1О.

Пусть теперь Е, Р— два произвольных множества (не обязательно различные), К)х, у~ — соотношение эквивалентности в Е, 81 г, Г ~ — соотношение эквивалентности в Р. Соотношение „К)х, у) и 81х, 11' между элементами (х, е) и (у, г) произведения Е )С Р есть соотношение эквивалентности в Е х', Р, называемое ироизведением соотношения К ка соотношение 8 и обозначаемое К Х 8; всякий класс эквивалентности по К )г,' 8 есть произведение некоторого класса эквивалентности по К на некоторый класс эквивалентности по 8. Если и обозначает общий элемент множества Е/К и Π— общий элемент множества Р/8, то (и, О) — ьи)!',и есть взаилгпо однозначное отображение множества (Е/К) Х (Р/8) на (Е Х Р)/(К Х 8) (называемое каноническим).

ф 6. Упорядоченные множества 1. Соотношение в)х, у1 между двумя общими элементами множества Е называется соотношением порядка в Е, если оно удовлетворяет двум следующим условиям: а) Соотношение „в)х, у1 и в(у, г)' влечет в)х, х1 (транзитивность). б) Соотношение,в(х, у1 и в!у, х1' эквивалентно „х=у". Условие б) влечет рефлексивность соотношения в. Пусть С вЂ” часть множества Е х', Е, определяемая соотношением в)х, у~ как свойством пары (х, у); условия а) и б) эквивалентны -1 соответственно условиям: а') С 0 СО=С; б') С П С = Ь. Из этих свойств, впрочем вытекает что С к С = С Когда рассматривается конкретное соотношение порядка в множестве Е, говорят, что Е упорядочено этим соотношением и что это СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ 5 Е.

УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 385 У 25 Н. Вурзакз соотношение определяет на Е структуру упорядоченного множества (см. Э 8) или структуру порядка (или просто порядок) '). Если ю» х, у» — соотношение порядка в Е, то и ю» у, х» — соотношение порядка в Е; эти два соотношения порядка, как и определяемые ими структуры порядка, называются противоположными. Пусть ю»х, у» — соотношение порядка в Е и А — произвольная часть множества Е; соотношение ю»х, у» между двумя общими элементами х, у множества А есть соотношение порядка в А; говорят, что определяемый им на А порядок индуцируется порядком, определяемым на Е соотношением ю»х, у». Порядок, рассматриваемый на Е, называется продолжением порядка, индуцируемого им на А.

Рефлексиэкое и тракэитиэное соотношение й»х, у» между двумя общими элементами множества Е называется соотношением предпорядка э Е; соотношение „ю»х, у» и ю»у, х»" есть соотношение эквивалентности В в Е, причем й»х, у» совместимо по х и по у с этим соотношением; переход к фактормножеству (по х и у) дает в множестве Е/)т соотношение порядка, которое называют ассоциированным с в»х, у». 2. Соотношение включения „Х~У" есть соотношение порядка в множестве >4)(Е) частей произвольного множества. Если Е и г — два не обязательно различных множества, соотношение „е есть продолжение функции у'" есть соотношение порядка в множестве отображений произвольной части множества Е в Г.

Множество )ч положительных целых чисел г) упорядочено соотношением „х ( у". 3. По аналогии с этим последним примером часто, когда множество Е упорядочено соотношением ю» х, у», уславливаются обозначать соотношение ю» х, у» черев х -. у или у )~ х; эти соотношения читаются соответственно „х минорирует у" и „у превышает х" (или „у мажорирует х'). В этом случае соотношения „х(у" и ') То, что Н.

Бурбаки называет .порядком, „упорядоченным мпожестзои и т. п., в русской математической литературе называется обычно частичным порядком, частично упорядоченным множеством н т. и. Эти термины иногда снабжают еще словами „нестрогий',,нестрого' (и говорят ,нестрогий частичный порядок', „нестрого частично упорядоченное множество"), чтобы отличить от строгого частичного порядка и строго частично упорядоченного множества, которые задаются соотношением и (х, у), являющимся транзитнвным и алтирефлексивлим (т. е.

Таким, что „не е(х, х)' выполняется для любого элемента из Е). Слова .строгий", .строго" (ках и „нестрогий', „нестрого") часто опускаются (что, конечно, приводит к двусмысленности). — Прим. ред. ') В согласии с характером втой сводки мы предполагаем здесь известной теорию целых чисел. Но не следует думать, что зта теория необходима для построения теории множеств; напротив, обратившись к Книге 1, читатель увидит, что можно, находя нз результатов теории множеств, определить целые числа н доказать все их известные свойства.

В нашей терминологии 0 принадлежит множеству 1>1 н рассматривается, таким образом, как положительное число; положительные целые числа, отличные от О, называются строго положительными, ,у ) х" [которые читаются,х строго микорирует у" или „у строго превышает (строго мажорирует) х") по определению эквивалентны соотношению „х < у и хну". Соотношение „х ( у" эквивалентно соотношению „х ( у или х=у".

Соотношение „х (у и у г' влечет „х(х"; аналогично ,х< у и у (з" влечет „х( х". 4. Часть Х множества Е, упорядоченного соотношением „х < у", называется совершенно упорядоченной ') этим соотношением, если, каковы бы ни были х~Х и у~Х, х < у или у.< х (или еще, если имеет место одно из трех взаимно исключающих соотношений: х ( у, х=у или х) у). Пустая часть упорядоченного множества всегда совершенно упорядочена. Может быть совершенно упорядоченным и все множество Е, например множество Тч, упорядоченное соотношением х у. Всякая часть совершенно упорядоченного множества также совершенно упорядочена индуцированным порядком. Пусть а и д — два таких элемента совершенно упорядоченного множества Е, что а (д; часть множества Е, образованная элементами х, для которых а ( х ( Ь, называется эа.икнутым интервалом с началом а и концом Ь и обозначается [а, д); если а < д, множество элементов х, для которых а ( х ( Ь (соответственно а х ( Ь), называется полуоткрытым справа (соответственно слева) интервалом с началом а и концом д и обозначается (а, д) (соответственно (а, Ь)); наконец, если а ( д, множество элементов х, для которых а х(д, называется открытым интервалом с началом а и д и обозначается )а, д(.

Множество элементов х, для которых х ( а (соответственно х ( а). называется безграничным г) слева замкнутым (соответственно открытым) интервалом с конце', а и обозначается )»-, а) (соответственно )»-, а(); аналогично множество элементов х, для которых х )~ а (соответственно х ) а), называется безграничным справа замкнутым (соответственно открытым) интервалом с началом а и обозначается (а, — «( (соответственно )а, — «(). Наконец, само Е рассматривается как безграничный с обеих сторон (или э обоих направлениях) открытый интервал и обозначается )» —, — «(.

5. В части Х упорядоченного множества Е существует не более одного элемента а, такого, что а ( х для всех х ~ Х; если элемент а ') Совершенно упорядоченные множества нередко называют линейно упорядоченными, а соответствующие порядки (совершенные порядки)— линейпыми порядками. В той терминологии, в которой упорядоченные (в смысле Бурбаки) множества называют частично-упорядоченными, совершенно упорядоченные множества называют просто упорядоченными (а совершенные порядки — просто порядками). Сделанные Выше замечания об употреблении слов .строгий", .строго" и .нестрогий', .нестрого" остаются в силе н в этом случае. — Прим. ред.

') В приложении к русскому изданию первых глав „Общей топологии' здесь з далее вместо „безграничный" —.неограниченный'.— Прим, ред. СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ $6. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА с таким свойством существует, он называется наименьшим элементом множества Х. Аналогично сушествует не более одного элемента д ~Х, такого, что х ( а для всех х ~Х; если такой элемент существует, он называется наибольшим элеменшом множества Х. В соеершенно упорядоченном множестве Е каждая непустая конечная часть имеет наибольший и наименьший элемент, называемый максимумом и соответственно минимумом втой части.

Упорядоченное множество, каждая непустая часть которого обладает наименьшим элементом, называется вполне упорядоченным. Множество Х положительных целых чисел Вполне упорядочено; чтобы часть множества В) имела наибольший элемент, необходимо и достаточно, чтобы она была конечной и непустой. С помощью аксиомы выбора доказывается, что на всяком множестве существует структура вполне упорядоченного множества (теорема Цермело). Упорядочим множество ф(Е) частей произвольного множества Е соотношением включения. Для того чтобы часть $ множества (1э(Е) (т. е. некоторое множество частей множества Е) обладало наименьшим элементом, необходимо и достаточно, чтобы пересечение всех множеств из Ту принадлежало (у; тогда это пересечение и будет наименьшим элементом в Ту; аналогично. чтобы В имело наибольший элемент, необходимо и достаточно, чтобы объединение всех множеств из $ принадлежало Е; тогда это объединенке и будет наибольшим элементом в Е.