Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 9

Тогда г =г, + г. и г'=г', + г'. Р"' 42 гл. чсс. подьлгеьгьс. кьгтьнк гегглягньса элементы г Действительно, каждый элемент у ен 6 определяет ($1, и'1, следствие 3 теоремы 1) точную последовательность векторных пространств ()' ) (Р (У))- )с (Р(д)) — (! ) (р (у)) Это доказывает первую часть утверждения, Вторая часть следует из первой, так как по лемме 1 (!ч) на открытом всюду плотном подмножестве в 6 имеем г'=г, гк=с, и г'„=г,. Опгвдвлинив 1. Элемент у ~ 6 называется регулярным относительно линейного представления р, если г (д) = г~~(д), Пгедложнннв 1. Точки группы 6, регулярные относительно линейного аналитического представления р этой группы, — это точки, в окрестности которых функция гр постоянна.

Они образуют открытое всюду плотное подмножество в группе О. Если й= С и группа 6 связно, то множество регулярных элементов относительно представления р связно. Это следует из леммы 1 (!ч). Замечание. Пусть 6* — открытая подгруппа группы 6. Для того чтобы элемент а ~ 6* был регулярным относительно линейного представления р группы 6, необходимо и достаточно, чтобы он был регулярным элементом группы О* относительно линейного представления р! 6*. 2.

Регулярные элементы группы .сли Опгедалннии 2. Элемент группы 6 называется регулярным, если он является регулярным относительно присоединенного представления. Другими словами (предложение !), элемент д ~ 6 регулярен, если для любого элемента д' из некоторой окрестности элемента д в группе О размерность нильпространства эндоморфизма Ас((д') — 1 равна размерности нильпространства эндоморфизма Ас( (д) — 1, Пгндложвнив 2. Пусть 6' — группа 7и конечной размерности над полем й и ! — сюръективньсй морфизм группы 6 на О'.

Образ при отображении ! регулярного элемента группы 6 является регулярным элементом группы О'. Если ядро морфизма с" содержится в центре группьс 6, то для регулярности элемента д~ 6 необходимо и достаточно, чтобы элемент 1(д) был регулярным. Пусть й' — алгебра Ли группы 6' и й — ядро морфизма Т! !с! это идеал в алгебре Лн а. Пусть р — линейное представление 8 5 С РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ГРУППЫ ЛИ 43 группы 6 в пространстве», заданное формулой р(д) =Абд~» для де= 6, и пусть Аб»( — линейное представление группы 6 в р', равное композиции морфизма 1 и присоединенного представления группы 6'.

Эти линейные представления позволяют определить точную последовательность 6-модулей О-»»-»а- О. По лемме 2 га = г + ГА, и гь = гь+ г', . Так как ГА,.~ —— гхз ( и ~ — открытое отображение, то г', =г' Следовательно, г — гь =г — гь+(г — гь '1»1, АА Аь Р Р ( АА Ал) Если элемент у регулярен, то (ГАА — г'4)()(д)) =О, и это показывает, что элемент 1(у) регулярен.

Если ядро морфизма лежит в центре группы 6, то (д) — ГО (д) — б ни» для всех у ее 6. Таким образом, если элемент ~(у) регулярен, то ГАА(д) =гь (д), т. е. элемент д тоже регулярен. ПРедложение 3. Пусть 6, и 6,— группы Ли конечной размерности над полем й. Для того чтобы элемент (дн у,) группья 6~Х6т был регулярен, необходимо и достаточно, чтобы были регулярна элементы дн у, групп 61 и 64 соответственно.

Указанное условие необходимо ввиду предложения 2. Покажем его достаточность. Если у = (дн д,) ен 6, Х 6,, то г (у) = =гк (д,)+гА (д,). Используя лемму 1 (й), мы получаем, что г'„4(д)=г'4(д,)+ГАА(у,). Если элементы д, и д, регулярны, то гье(у,) =ГА,(й,) и ГА,(й,) =ГА4(кз), поэтому г„„(д) =та,(у), что означает регулярность элемента д. Лемма 3. Пусть а ен 6 и ж — дополнительное надпространство к подпространству ф (а) в а. Обозначим через 6 некоторую окрестность нуля в пространстве й и через ехр экспоненциальное отображение окрестности 6 в группу 6.

Тогда отображение 4: (х, у)»-»(ехру)а(ехрх)(ехру) ' множества (й' (а) Х ж) Д 6 в группу 6 является этальным в точке (О, О). Касательными линейными отображениями к отображениям х»-»а(ехрх) и у»-»(ехру)а(ехру) ~ в точке 0 являются ото. бражения х»ах и у»-»уа — ау=а(а-'уа — у) пространства а в Т,б=аа (гл. 1П, $3, и'12, предложение 46). Поэтому Гл. чн, подьлтееты. кхттьнА, эегтлятнын элзмянты т касательным отображением к 1 в точке (О, 0) будет отображение (х, у) ах+ а(а-'уа — у) =а(х+а 'уа — у) пространства 1'(а) Х ж в пространство ай. Это отображение инъективно.

Действительно, если хан й'(а), у я ж и х+а-'уа — у=О, то (Аб(а) — 1)у= = Ад (а)х ~ ф (а), поскольку Ад (а) й' (а) с: ф (а). Вследствие этого уев ф(а) и, таким образом, у=О. Так как отображение Ас((а) инъектнвно на подпространстве й'(а), мы получаем, что к=О. Из равенства б(си й = с(нп й'(а)+ бпп ж следует теперь, что отображение 1 этально в точке (О, О). Пэвдложение 4. Пусть а ен 6 и Н вЂ” подгрупускула Ли группы О, алгеброй Ли которой является подалгебра й' (а). Тогда отобраткение (Ь, с) саЬс ' топологического пространства Н К 0 в 6 является в точке (е, е) субмерсией.

Пусть ж — дополнительное к й' (а) подпространство в алгебре й, а ехр — экспоненциальное отображение открытой окрестности нуля У с: й. Можно выбрать окрестность У таким образом, чтобы ехр (У Д ф (а)) с: Н. В этих условиях отображение 1: (х, у) ~(ехрх, ехру) есть аналитическое отображение окрестности точки (О, 0) в пространстве ф (а) р,'ж со значениями в НР,0. По лемме 3 композиция отображения 1' и отображения йк (Ь, с)~-~ ~ — э саЬс-' этальна в точке (О, 0). Вследствие этого отображение ~р является в точке ) (О, 0) =(е, е) субмерсией.

Пэедложение 5. Пусть а ен 6 и В' — некоторая окрестность элемента е в группе О. Тогда существует окрестность Г точки а, обладающие следующим свойством: для любого элемента а' ен 'т' существует элемент и ен В", такой, что й' (а') с: Ад (к) й~ (а). Введем обозначение ф = ф (а), н пусть й = ф + й+ — разложение Фиттинга для эндоморфизма Аб (а) — 1 5 1, и'1). Обозначим чеоез Н подгрупускулу Ли группы 6, алгебра Ли которой есть й . Для любого элемента Ь ~ Н выполняется включение Ай (Ь) ф с ф. Так как 1й', й+] ~ й+, то сунсествует такая окрестность 6 элемента е групускулы Н, что Аб(Ь) й+ с й+ при Ь ~ У.

Поскольку ограничение эндоморфизма Аб(а) — 1 на й+ биективно, можно выбрать окрестность 6 таким образом, что ограничение эндоморфизма Аб(ай) — 1 на й+ будет биективным при всех Ьея6. Тогда ф(аЬ) с:й'(а)=й' для всех Ь~ У. По предложению 4 множество 1п((()т) (аУ) служит окрестностью элемента а в группе 6, Если а'е= 1п1(йУ)(аУ), то а'=д(аЬ) д-', где дев Ф' н Ь ен У, откуда й'(а') =Ад(д) ф (аЬ) с: Ай (д) й'(а). Следствие. Пусть О* — открытая подгруппа группы 6. Если элемент а~ 6 регулярен, то существует такая окрестность т' элемента а, что надпространство й'(а') сопряжено с й'(а) относительно группы Ас) (О") для всех а' ен 1'.

4 $ С РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ГРУППЫ ЛИ 3. Связь с регулярными элементами алгебры Ли ПРедложенне 6. Пусть У вЂ” открытая подгруппа в» и ехр: У вЂ” 6 — экспоненциальное отображение, определенное на множестве У. Тогда (!) с!!Гцествует такая окрестность (Р нуля в группе У, что »4(ехрх) = 4)О(х) для всех хее М7; (й) если и = (ч или С, то а' (ехр х):э 8'(х) для всех х ен а. По следствию 3 предложения 8 гл.

П1, $4, п'4, существует такая окрестность У' нуля в группе У, что для всех х ~ У' О отображение ехр(аб(х)) = ат — 4аб(х) определено и при этом Х4 ! ь О О А4((ехрх)=ехр(аб(х)). Если Ры 44(Х) и а~ Епб(4!), то легко проверить, что 84(а) с 8Р4~4(Р(а)) для всех Ая А. Вследствие этого 8О (аб (х)) с= !14 (ехр (аб (х))) = 84 (Аб (ехр х)) = д4 (ехр х) для всех хы У'. Если А= !1 или С, то обязательно У=», и можно считать, что У'=У; это доказывает утверждение (и), Докажем утверждение (!).

Пусть П вЂ” такая окрестность 0 в пространстве Епб (»), что отображение (.оп (! + а) = = ~ ( — 1) — а определено для всех а ~ П, При этом я+4! О О~О (.од 4 ехр = ! в некоторой окрестности нуля и»~ (1+ а) с: с: ()О((.оп(!+ а)) для любого а я К Обозначим через )У окрестность нуля в пространстве 8, состоящую из тех элементов х ее У', для которых ехр ай х ~ 1+ У и 1.ой'(ехр(аб (х))) = аб (х).

Таким образом, 8' (ехрх) = 64 (Ао (ехрх)) = 84 (ехр(ап (х))) с= ~ йо(1 оа(ехр(аб (х)))) 4!О(аг) (х))»О(х) при всех х~ (Р'. Это показь4вает, что ()4(ехрх) =9О(х) при всех хен К. Лемма 4. Пусть П вЂ” окрестность нуля в алгебре а, и пусть экспоненциальное отображение ехр окрестности П в группу 6 является этальным в каждой точке множества П, причем 8' (ехр х) = »О (х) для любого элемента х ен К Тогда (4) функция Гььл постоянна на множестве ехр(П), и ее значение равно рангу алгебры й; (й) если хее П, то элемент ехрх регулярен тогда и только тогда, когда элемент х регулярен в алгебре 8; Гл, НЕЕ подллГевРы кАРтАнА.