Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики)

УДК 612; 619,46 Редакщт лигерагррьг ло жатслаюшегким наукам гй1 1975 !1сгшзпп, 293 гпе Гссопгйе 78016 Р (ф Перевод па русский язык, «й!ир», 1978 20203 — 001 ! 78 041(01) -78 Книга входит по всемирно известную энцнклопедшо современной математики «Основы математики», созданную группой французсних ученых, выступающих под псевдонимом Е!. Бурбаки. Ряд томов этой эпциклопедгш уже вьипел в русском перепаде и получил высокую оценку читателей. Переаод первых глав «Групп и алгебр Лн» был выпущен а нздатсльстае «Мнр» в 1972 н !975 гг., а сейчас предлагаюггп очередные две главы.

Книга посвящена изучению палупростых алгебр Ли. Она содержит об.нирный матернал по теории подалгебр Картина, автоморфнзчам алгебр Лн, теории представлений полупросп«х алгебр Ли. Книга предназначена для широкого крута математиков различных специальностей и разного уровня подготовки — от студентов до научных ра. ботников. гллвл ун ПОДАЛГЕБРЫ КАРТАНА, РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Руа протяжении этой главы символом й обозначается некоторое поле.

Выраясение „векторное пространство" означает „векторное пространство над поле и й"; аналогичным образом обстоит дело с выражениями .алгебра ди" и т. и, Все алгебры Ли предполагаются конечномерными. й 1. Примарное разлеженне линейных представлений 1. Принарное разлвясение для семейства зндомор$изяов Пусть У вЂ” векторное пространство, 5 — некоторое множество и г — отображение множества 5 в множество Епд(У). Обозначим через Р множество всех отображений множества 5 в й. Для каждого элемента Хан Р будем обозначать через Ух(5) (соотв.

через У (5)) множество таких элементов о ~ У, что равенство г(э)о=) (э)о выполняется для всех э~5 (соотв. равенство (г (э) — Х (э))" о = О выполняется для достаточно больших п и всех вен 5). Множества Ух(5) и У (5) являются подпространствами векторного пространства У, причем Ух(5) с= ~ У (5). Подпространство У„(5) называется собственным 'подпросгрансгвом пространства У, отвечающим отображению Х (и г), а У (5) — примарным подпространством пространства 1г, Х отвечающим отображению Х (и г).

Педпространство Ус(5) называется нильпространством пространства У (относительно действия г). При этом говорят, что отображение Х является веса,ч действия множества 5 на пространстве 1', если У'(5) Ф О. В том частном случае, когда 5 состоит из одного элемента э, множество Р отождествляют с полем я и вместо обозначений Ух((з)) и У ((з)) используют обозначения Ух~1(э) и У еч(з) или Ухсн(г(э)) и Ух(4(г(э)); при этом говорят о собственных подпространствах, примарных подпространствах и нильпростраистве эндоморфизма г(з), Элемент с подпространства Ул<е(э) называют собсгвеннгям вектороч эпдоморфизма г(з), а если о ~ О, то У (э) называют его собственнгям значением (ср.

Алг., гл. И1, з 5). ГЛ, УН ПОДАЛГЕБРЫ КАРТАНА, РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМГНТЫ 1 Из данных определений непосредственно следует, что для любого элемента Хе= Р выполнены соотношения У'(5) =- П У' (), «%з Ул(5)= П У1 сч(э). Пусть й' — расширение поля й. Каноническое отображение множества Епб (У) в множество Епб(У З» й') дает в композиции с отображением г некоторое отображение г'1 5-«Епб (1г З» й'). Аналогичным образом, по любому отображению А множества 5 в поле й канонически определяется отображение, которое мы снова обозначим через А, множества 5 в поле й'.

Используя эти обозначения, сформулируем следуюшее предложение: Пгедложение 1. Для любого элемента Лен Р имеют место равенства (1'З»й') (5) =1' (5)З»й' (1 З»й )»(5) =У»(5) З»й ° Пусть (а,) — базис векторного й-пространства й'. Любой элемент вен У З»й' может быть единственным образом представлен в виде л„о1З ао где (о1) — семейство с конечным носителем векторов пространства 1'. Так как для любого элемента э ен 5 выполняются равенства (г' (з) — А (г))" (о) = ~ (г (з) — А (з))" о1 З ан то о еи (У З» й') (5) ч=:- о1 ~ У~ (5) при всех 1, с ен (У З» й')» (5) ч=:- о, ен УА(5) при всех 1, что и доказывает предложение.

ПРгдложенне 2, Пусть У, У', (У вЂ” векторные пространства, а г: 5 — «Епб(У), г'1 5 — «Епд (У'), о: 5 — + Епб (Цт) — отображения. (1) Если ~: У вЂ” + 1)т — линейное отображение, для которого ч(з)1(о) =1(г(з) о) при любых зя5, оен У, то оно переводит надпространство УА(5) (соотн. у„(5)) в цт»(5) (соотв.

в ()т (5)) при любом Х ен Р. (й) Если В; У Х У'-«(Р' — билинейное отображение, для которого д(з)В(о, о)=В(,(г)о, )+В( „. () ) Л 1, ПРНМАРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЛННЕЙНЫХ ПРЕДСТЛВЛЕННН „ри з — 5, о ен (т, о'~ Г, то оно переводит (г (5) Х Г л(Я) (соотв. )тА(5) Х )гр(5)) в В' +"(5) (соотв. в В'А;.„(5)) для любых Л р и=- Р. (111) Если В: 1г Х 1м-ь 11т — билинейное отображение, для которого д(з)В(о, о')=В(г(з) о, г'(з)о') при з ен 5, о е (Г, о'я Г, го оно переводит Г (5) Х Г "(5) (соотв, рх(5) Х Г„(5)) в (р'4'(5) (соотв. в Ю'А„(5)) для любых Л, р е= Р.

Утверждение (1) непосредственно вытекает из соотношения (д(з) — Л(з))") (о) =)((г(з) — Л(з))" о) для зев 5 и о ~ У. В предположениях п. (И) из соотношения (л(з) — Л(з) — 1А(з))В(о, о')= = В((г(з) — Л(з)) о, о')+ В(о, (г'(з) — р(з)) о') для зы Я, о ен )г, о'ен Г индукцией по и получаем (В (,) Л ( ) — р (з))" В (о, = Е Г ) В ((г (з) — Л (з))1 о, (г' (з) — М (з))т о'), что непосредственно дает наше утверждение. В случае (ш) имеем И(з) Л(з)р(з))В(о о)= В ((г (з) — Л (з)) о, г' (з) о') + В (Л (з) о, (г' (з) — 1А (з)) о ') для з~ь 5, о ~ )т, о' ~ Г, откуда индукцией по и получаем соотношение (в(з) — Л(з) 1А(з))" В(о, о') = ( ) В(Л(з) (г(з) — Л(з))'о, г'(з)'(г'(з) — 1л(з)) о'), 1Р1 л нз которого следует нужное утверждение.

П~едложение 3. Суммы ~ (гА(5) и Х )гх(5) прямые. АяР АаР Второе утверждение следует из первого, которое мы и будем доказывать. Рассмотрим несколько случаев. а) Множество Я пусто. Утверждение тривиально, б) Множество Я состоит из одного элемента з. Пусть Ль ..., ˄— различиыс элементы поля й и о1ен Г (з), Гл. чп. подАлгеьРы кАРТАПА. РегуляРпь!е элемш1ты 1 1'=О, 1, ..., п, — некоторые векторы. Предположим, что ел=о,+ ...

+в„, Нам нужно доказать, что Е,=О. Для каждого 1=0, ..., и су!цествуст такое целое число в1 ) О, что Ю1 Ч1 (с (в) — Х1) ' о> =О. Рассмотрим многочлены Р (Х) = П (Х вЂ” )ч) ' 1>1 и Г;>(Х) =(Х вЂ” ),ь)". Тогда !">(Р(з)) о,=О н Р (г (з)) о = л = ~, Р(с(з)) о, = О. Так как многочлены Р и 1„! взаимно просты, 1-! то тождество Безу показывает, что о, = О. в) 5 — нгпустог конечное множество. Будем доказывать наше утверждение индукцией по числу элементов множества 5. Вы- берем элемент э~5 и положим 5'=5 — (з).

Пусть (ох)„р— такое семейство с конечным носителем элементов простран- ства у', что х ЕЕ=О и ох~ 1>А(5). Выберем некоторый эле- А ~Р мент Аь~ Р н обозначим через Р' множество тех отображений Х ен Р, для которых Х'!5'=>1ь~5'. Из предположения индукции, примененного к множеству 5', следует, что ~ оь О.

Если А А я Р' и р — различные элементы множества Р', то Х(в) Ф р(з). Так как вследствие б) сумма 2„11" (з) прямая и так как оье= Уььа(з), аяь то еА=О дчя всех Хев Р'. В частности, Е„=О, что и нужно было доказать, г) Общий случай. Пусть (ьх) р — семейство с конечным но- сителем элементов пространства )1, такое, что ~ оь = 0 и А с э ехен )сь(5). Обозначим через Р' конечное подмножество тех элементов Х~Р, для которых охи О, и пусть 5' — такое ко- нечное подмножество в 5, что из условий А ~ Р', р ~ Р', )с !5'= р ~5' следует равенство >с= р. тогда ох~ )1~>~ (5'). при- меняя в), мы получаем, что с = 0 для всех >> е= Р'.

Тем самым предложение доказано, Напомним, что если х ~ Епй ()>), то через ай х обозначается отображение у> —; ху — ух = [х, у) множества Епй()1) в себя. Лемма 1. Пусть х, у ы Епб (Г). (1) Предположим, что пространство у' конечномгрно. Для того чтобы эндоморфизм х можно было привести к треугольному виду, необходимо и достаточно, чтобы 1>= л, 1" (х). а~ь (Й) Если существует такое целое число и, что (айх)" у =О, то каждое надпространство Рл(х) устойчиво относительна эндоморфизма у. ь ь пенмьенов глзложвнне линвнных пэвдстьвлвнии 9 (!!!) Предположим, что пространство Г конечномерно. Если Г'(х) и каждое надпространство Г'(х) устойчиво отноапь ~ительно эндоморфиэма у, то существует такое целое число и, что (ад х)" у=О.