Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975), страница 17

Точка движется по винтовой линии х=асозИ, у=аз1пИ, в=т1. Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах, Ответ: г=а, ф=И, ае м1. 10.20, Ланы уравнения движения точки: х=2асоз —, у=аз!пИ, и где а и л — положительные постоянные. Определить траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от на- чального положения точки, Ответ: Окружность (х — а)а+уз = аз; з = аИ. 10.21.

В условиях предыдущей задачи определить уравнения дви- жения точки в полярных координатах. И И Ответ: г = 2а соз —; ф = —. 2' 2' 10.22. По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах И тг .. И х=)ссоз' —, у= — 1 И е=)тзш— 2' 2 найти ее траекторию и урзвнения движения в сферических координатах.

Ответ: Линия пересечения сферы ха+уз+аз=)са и цилиндра ( ) 11 та х — — ~ +уз= —. уравнения движения в сферических координатах: 4 ' И И г=~, ф= 2, 8= —. 2' 10.23. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых имеют вид х = Ае "' соз (И+ е), у = Ае "' з!п (И+ и)„ 101 где А)0, й)0, л)0 и а — некоторые постоянные. Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию точки. Ответ: г=Ае ~, 2=И+а; траектория — логарифмическая л — — (т -«) спираль г=Ае 2 И.

Скорость точки 11А (325). Точка совершает гармонические колебания по закону х=аа!плг. Определить амплитуду а н круговую частоту л колебаний, если прн х=х, скорость 'о=о«, а прн х=х, скорость о=о,. В Дз 1'«- 2Г С д= )/';-"-„. о «2 11.2 (327). Длина линейки эллнпсоРо графа АВ=40 слг, данна кривошнпа ОС=20 см, АС=СВ. Кривошип К задаче 11.2. равномерно вращается вокруг осн О с угловой скоростью ез, Найти уравнения траектория н годографа скорости точки М линейки, лежащей на расстоянии АМ=10 см от конка А. у' х', у,' Ответ: я +1ОО=1; —,+ —,=1.

11,3 (328), Точка описывает фигуру Лнссажу согласно уравнениям х=2 свай, у=йсоа21 (х, у — в сантиметрах, т — в секундах), Определить величину н направление скорости точки, когда она находится на осн Оу. Ответ: 1) о=2 см(сея; соа(о, х)= — 1. 2) о=2 см(сех; сов(о, х)=1. 11.4 (329). Точка движется согласно уравнениям х — 4юп — 1, у=Зюп — 2 2 (1 — в секундах, х, у — в сантиметрах). Определить величину н направление скорости точки прн 1=0; 2=1 сек; 1=2 сек, 5 4 3 Ответ: 1) пе — — 2 я см(сея~ соа(оь х) = б ', соа(ое, у)= —. 2) в,=О. 5 4 3 3) оа= 2 я см(сех; соя(1Ъ х)= — б «соа(оьу) 11.5 (330). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью и, Найти скорость середины М шатуна кривошипно-шатун- 102 ного механизма и скорость ползуна В в зависимости от времени, если ОА ='АВ = а (см.

чертеж к задаче 10.12), Ответ: 1) пи = — м УЗ з1 и' шс+ 1. 2) пв = 2 ам з1п ма, 11.6 (363). Движение точки задано уравнениями а ~' У пв 28' причем ось Ох горизонтальна, ось Оу направлена по вертикали вверх, ва, в и а,а" — — величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки, .2) координаты наивысщего ее положения, 3) проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох. Ответ: 1) Парабола у=х13а,—. „~, х', а»» 2) х = — ' з1п 2ая', у = — ' з1па а . 28 ' 2» 3) в =о,совая, и„=-+.п,з1псчь причем верхний знак соответствует начальному моменту времени, а нижний — моменту 2щ аж а» К 11.7 (364). движение точки задано теми же уравнениями, что и в предыдущей задаче, причем в,=20 м/сек, за=60', 8=981 мосек'. Найти, с какой скоростью ог должна выйти из начала координат в момент 1=0 вторая точка для того, чтобы, двигаясь равномерно по оси Ох, она встретилась с первой точкой, и определить рассто»- ние хг до места встречи. Ответ: ог — — 10 м/сек; хг —— 35,3 м.

11З (365). Определить высоты Ьн ля и )га над поверхностью воды трех пунктов отвесного берега, если известно, что три пули, выпущенные одновременно в этих пунктах с горизонтальными скосостями 50, 75 н 100 м/сек, одновременно упали в воду, причем расстояние точки падения первой пули от берега равно 100 м; привять во внимание только ускорение силы тяжести д= 9,81 мосек". Определить также продолжительность Т полета пуль и их скорости вь па и о» в момент падения в воду. Ответ: 10=6|=да — — 19,62 м; Т=2 еек; п1=53,71 м/еек, о»=77,52 мосек, п»=101,95 мосек. 11.9 (366).

Из орудия, ось которого образует угол 30' с горизонтом, выпущен снаряд со скоростью 500 мс'еек. Предполагая, что снаряд имеет только ускорение силы тяжести в=9,81 м1'еек', найти годограф скорости снаряда н скорость точки, вычерчивающей голо- граф. Отвелж Годограф — вертикальная прямая, отстоящая от начала координат на 432 м; о~ — — 9,81 м(сека. 11.10 (332). Определить уравнения движения и траекторию точки колеса электровоза радиуса Й = 1 м, лежащей на расстоянии 103 а=05 м от оси, если колесо катится без скольжения по горя. зонтальному прямолинейному участку пути; скорость оси колеса о=10 м(еек.

Ось Ох совпадает с рельсом, ось Оу — с радиусом ~очки при ее начальном низшем положении. Определить также скорость этой точки в те моменты времени, когда диаметр колеса, на котором она расположена, займет горизонтальное и вертикальное положения. м Ответ: Укороченная циклоида х= !Ог — 05 з!п 105 у= 1 — 05 соз 105 Скорость: 1) 11,18 м(век; 2) 5 м(еек; 15 м(сек. 11.11 (ЗЗЗ), Скорость электровоза яа = =72 км(чае! радиус колеса его (с=! м; колесо Р катится по прямолинейному рельсу без скольжения. 1) Определить величину и направление ско- рости о точки М на ободе колеса в тот момент, к „ „, ц.ц.

когда радиус точки М составляет с направлением скорости яа угол я(2+а. 2) Построить годогрвф скорости точки М и определить скорость еа точки, вычерчивзющей годограф. Отвел: 1) Скорость о=40 соз ~ м(еек и направлена по пря- 2 мой МА. 2) Окружность р=2пасоз6, где 8= —, радиуса г=вз а еа (см.

чертеж); па= — '=400 м(сека. И 11.12 (334). Определить урайпения движения и траекторию точки М колеса вагона радиуса )с=0,5 м, отстоящей от оси на расстоянии а=0,6 м и лежащей в начальный момент на 0,1 м ниже рельса, если вагон движется по прямолинейному пути со скоросгью в=10 м(еек. Найти также моменты времени, когда эта точка будег проходить свое нижнее н верхнее положения„и проекции ее скорое~и на оси Ох, Оу в эти моменты времени.

Ось Ох совпадзет с рельсом, ось Оу проходит через начальное нижнее положение точки. Оегвеегг Удлиненнзя циклоида х= 101 — О,ба!п 200 у=0,5 — 0,6 соз 201; при 1= — сек — нижнее положение точки, о — 2 м(сек, и =0; па при г= — (1+2к) еек-верхнее положение точки, п„=22 м(сек, а~я=О, где к=О, 1, 2, 3> .. 11.13. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях согласно уравнениям х = Ае "' соз (л(+ а), у = Ае "'з!и (к!+ а). Определить проекции скорости точки на оси декартовых и полярных коордннзт и найти модуль скорости точки Ответ: 1) е = — Ае "' (а соз (И+ з) + л ып (лт + в)), о„= — Ае "'(лзш(й(+з) — асов(лг+з)); 2) Ет — — — Айе ", е =А?те ~; 3) е = А )т Ьз+ лз е лт = $' ттз+ аз г.

11.14. Какую кривую опишет корабль, идущий под постоянным курсовым углом а к географическому меридиану? Корабль принять аа ~очку, движущуюся по поверхности земного шара. К ляллчв ц ы. Ответ: 1и~ — +Ы=(и( — +"— ')ен — "и "а" где р — широта, а 1 — долгота текущего положения корабля (эта кривая называется локсодромией).

У к алан и е. Воспользоваться сферическими иоординатами г, 1 и Ч. 11.!5. Урзвнения движения точки М в цилиндрической сйстеме координат имеют вид (см. задачу 10.19) Г=а, р=И, а=чу. Найти проекции скорости точки М на оси цилиндрической системы координат, уравнения движения точки Мм описывающей годограф скорости, и проекции скорости точки Мт. Ответ: 1) е,=О, е„=ал, е,=ч; 2) г,=ай, р,=- +?тт, 3) е„,=б, ее=ааз, е„=О. 11.16. Точна М движется по окружности согласно уравнениям аг аг г=2а сов —, ?=в 2' 2 (г, р — полярные координаты), Найти проекции скорости точки М на оси полЯРной системы коОРдинат, УРавнениЯ движении точки Мт, описывающей годогрзф скорости, н проекции скорое~и точки Мь 105 Ответе 1) о,= — ака1п —, .

йв и о =аА соа —; ч 2 1 фа= — + 2/; и та„= а/аа. 2) гт=ак, 3) о,,=О, 11.17. Точка движется по линии пересечения сферы и цилиндра согласно уравнениям т ат с=го ~р= —, 6=— 2' 2 9 1Х Ускорение точки 12.1 (336). Поезд движется со скоростью 72 км/чис; при торможении он получает ззмедление, равное 0,4 м/сека. Найти, аа какое время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начато торможение. Ответ: 50 сек; 500 м.

12.2 (337). Копровая баба, ударив сваю, движется затем вместе с ней в течение 0,02 сек до остановки, причем свая углубляется в землю на 6 см. Определить начальную скорость движения сваи, считая его равнозамедленным. Ответ: 6 м/сек. 12.3 (338). Водяные капли вытекают из отверстия вертикальной трубочки через 0,1 сек одна после другой и падают с ускорением 931 см/сек'. Определить расстояние между первой и второй каплями через 1 сек после момента нстечения первой капли. Ответ: 93,2 см. 12.4 (339). Движение трамвая по прямолинейному пути в период разгона характеризуется тем, что проходимый трамваем путь пропор. ционален кубу времени; в течение первой минуты трамвай прошел путь 90 м.

Найти скорость и ускорение в моменты 1=0 и г'=5 сек. Построить кривые расстояний, скоростей и ускорений. 15 Ответ. оа —— 0; тва —— 01 оь= з м/милй ава=45м/мик. (г, у, 9 — сферические координаты; см, задачу 10.22). Найти модуль и проекции скорости точки на оси сферической системы координат. Ра т /га Ка Г а1 Ответ: о =О, о = — соа —, оа= —; о=- — у 1+соа' —. 2 2' 2' 2 Р 11.18 (335).