Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975), страница 18

Найти в полярных координатах (г, 7) уравнение кривой, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол пеленга а на неподвижную точку (угол между направлением скорости и направлением на точку), если дано: а и г а=г,. Корабль принять за точку, движушуюся на плоскости, н за полюс взять произвольную неподвижную точку в этой плоскости. Исследовать частные случаи а=О, /2 и Ответ: Логарифмическая спираль г= гав асжо. При а=к/2 окРУжность г=га1 пРи а=О или а=к пРЯмаЯ.

12.5 (341). Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/час, определить замедление его прн посадке нз пути /=1200 м„считая, что замедление постоянно. Ответ: те= 5,15 м/сек'. 12.6 (342). Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее поднятия на ту же высоту требуется втрое больше времени, чем на падение. Сколько ударов она делает в минуту, если считать, что свободное падение копровой бабы совершается с ускорением 9,81 м/сека г Ответ: 21 удар.

12.7 (344). Ползун движется по прямолинейной направляющей с ускорением тв„= — дгз!и — '1 м/сек'. Найти уравнение движения х ползуна, если его начальная скорость ов„=2п м/сек, а начальное поло!кение совпадает со средним положением ползуна, принятым за начало координат. Построить кривые расстояний, скоростей и ускорений. Ответ: х=4з!п — 1 м. 2 12.8 (343).

Поезд, имея начальную скорость 54 км/час, прошел 600 м в первые 30 сек. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конде 30-й секунды, если рассмзтрнваемое движение поезда происходит на закруглении радиуса К=1 км. Ответ: о=25 м/сек; ш=0,708 м/сек'. 12.9 (372). При отходе от станпии скорость поезда возрастает равномерно и достигает величины 72 км/час через 3 мин после отхода; путь рзсположен на закруглении радиуса 800 м. Определить . касательное, нормальное и полное ускорения поезда через 2 мпм после момента отхода от станпни. 1 2 Ответ: те!= — м/сека; пгх=-9- м/сека; те=0,25 м/сека. 12.10 (345).

Поезд движется равиозамедленно по дуге окружности радиуса 0=800 м и проходит путь в=800 лг, имея начальную скорость юг=54 км/час н конечную о=18 км/час. Определить полное ускорение поезда в начале и в конде дуги, а также время движения по атой дуге. ~г Ответ: тег= 0,308 м/сека; рг за=0,129 м/сека; Т=80 се!с 12.11 (346). Закругление трамвайного К ггдаче !гл! пути состоит нз двух дуг радиусов р! = = 300 м и р,=400 м. Центральные углы и!=аз=60'. Построить график нормального ускорения вагона, идущего по закруглению со скоростью о=36 км/час.

12.12 (348). Точка движется по дуге окружности радиуса Й= 20 см. Закон ее движения по траектории: в=20 з!пп1 (1 — в секундах, в— в сантиметрах). Найти величину и направление скорости, касательное, 107 нормальное и полное ускорения точки в момент /=5 сек. Построить также график скорости, касательного и нормального ускорений. Ответ: Скорость равна по величине 20п см/сек и направлена в сторону, противоположную положительному направлению отсчета дуги а; а,=О; те=те,=20па см/сек'. 12.13 (349), Прямолинейное движение точки происходит по закону в==я (а/ + е "'), где а и л — постоянные величины.

Найти начальия ную скорость точки, а также определить ее ускорение в функции от скорости. Ответ: о,=О; ге=а — аэ. 12.14 (350). движение точки задано уравнениями х=10соз 2п —, у= !Ожп 2п— (х, у — в сантиметрах, à — в секундах). Найти трзекторию точки, величину и направление скорости, а также величину и нзправление ускорения. Ответ: Окружность радиуса !О см; скорость п=4ц см/сек и направлена т|о касательной в сторону перехода от оси Ох к оси Оу поворотом ца 90'! ускорение те = 1,6па см/сек' н направлено к центру.

12.15 (355). Уравнения движения пальца кривошипа дизеля в период пуска имеют вид х=7бсоз4/а, у=7бз!п4!а (х, у — в сантиметрах, г — в секундах). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения пальца, Ответ: о=600/ см/сек; ге,=600 см/сека; т„=4800/а см/сеь". 12.16 (352). Лвижение точки задано уравнениями х=а(е"'+е ы), у=а(еы — е-ы), где а и к — заданные постоянные величины. Найти урзвненне траектории, скорость и ускорение точки как функции рздиуса-вектора г=)/ха+уз.

Ответ: Гипербола х' — у'= 4аа; в= /гг; чв=каг. 12.17 (356). Найти ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент != ! сек, если уравнения движения точки имеют вид и н х=4а!и — !, у=Згбп — Г 2 (! — в секундах, х, у — в сантиметрах). Ответ: те= 1,25ца см/сека; р=скх 12.18 (357).

Найти радиус кривизны при х=у=О траектории точки, описываюшей фигуру Лиссажу согласно уравнениям х= — азги2ыб у= — аа!пгв/. Ответ: р=оо. 12Л9 (358). Найти величину и направление ускорения, а также радиус кривизны траектории точки колеса, катяшегося без скольжения по горизонтальной осн Ох, если точка описывает циклоиду !08 согласно уравнениям х=201 — гй~201, у=1 — соя 201 (1 — в секундах, х, у — в метрах). Определить также значение радится кривизны р при 1=0.

Ответ: Ускорение тв= 400 м(сека и направлено по МС к центру С катяшегося круга; р=2МА1 р,=О. К задаче 1В.20. К задаче 12,1В, 1т.20. Найти траекторию точки М шатуна кривошипно-шатунного механизма, если г=1=60 см, МВ= — Е, 7=4Ы (з — в секундах), 1 а также определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда 7=0, Я Ответ: Эллипс 1ОО, + —, =1; о=80к см,'сек; тв=1600кв см/секв1 р=4 см. »т 12.21. На проволочной окружности радиуса 1О см надето колечко М; через него проходит стеРжень ОА, котоРый РавномеРно вРашаетсЯ к „д,„, м вв вокруг точки О, лежа»цей на той же окружности; угловая скорость стержня такова, что он поворачивается на прямой угол в 5 сек.

Определить скорость э и ускорение та колечка. Ответ: о= 2к сч1сек; те=0,4кв см1секв. 12.22 (367). Лвижение снаряда задано уравнениями х=ов(созаь У=оасз1п«в — 2 Ф» 1 где оа и аа — постоянные величины. Найти радиус кривизны траекто. рви при 1=0 и в момент падения на землю. оз О уСОв аз 12.23 (366).

Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям х=3001, у=4001 — 51в (г — в секундах, х, у — в метрах), Найти: 1) скорость и ускорение в начальный момент, 2) высоту и дальность обстрела, 3) радиус кривизны траектории в начальной и в наивысшей точке. Ответ: ов — — 500 м(сек) вне=10 м(сека) 6=8 км; а=24 км1 рв 41,67 км' р 9 км, 109 12.24 (370). Из орудия береговой артиллерии с высоты 3=30 м над уровнем моря произведен выстрел под углом а,=45' к горизонту с начальной скоростью снаряда па='1000 м/сек.

Определить, на каком расстоянии от орудия снаряд попадет в цель, находящуюся на уровне моря. Сопротивлением воздуха пренебречь, Ответ: 102 км. ь 12.25 (371). Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями ьчз х=Ы, у=рг — —.

К эеааче !тхг Ответ: те,= —; тв„= —, где н — скорость точки. ° а(р — ег) «е 12.28 (373). Точка движется по винтовой линии согласно уравнениям х=2 соя 41, у=2з!п41, я=21, причем за единицу длины взят метр. Определить радиус кривизны р траектории. 1 Ответ: р = 2 — м. 12.27 (374). движение точки задано в полярных координатах уравнениями г=ае н !р=лг, где а и к — заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиуса-вектора г.

Ответ: г = ает — логарифмическая спираль; о= кг )г 2; та = =2лтг! р=г Р' 2. 12.28. Движение точки задано уравнениями х=2(, у=ст (1 — в секундах, х и у — в сантиметрах), Определить величины и направления скорости и ускорения точки в момент времени 1= 1 сек. Ответ! «=2 'г' 2 см!!сек; и!=2 см!!сек', (ч!, х)=4бч, (тв, х) =90~. 12.29. Построить траекторию движения точки, годограф скорости и определить радиус кривизны траектории в начальный момент, если точка движется согласно уравнениям х=41, у=И (1 — в секундах, х и у — в сантиметрах).

х' Ответ: Уравнение траектории у = — 4 — кубическая парабола; годо- граф скорости — прямая, параллельная оси т(г; р,= оп (начальная точка траектории — точка перегиба). 1Х30. Кривошип О,С длиной а/2 вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг оси Ог, В точке С с кривошипам шарнирно . связана линейка АВ, проходящая все время через качающуюся муф!у О, находящуюся на расстоянии а/2 от осн вращения О!. 110 Приняв точку О ва полюс, найти в полярных координатах урзв.

пения движения точки М линейки, отстоящей от шарнира С на к залвче 1я.зз. расстоянии а, ее траекторию, скорость н ускорение (в начальный момент угол ~р= ~ СООт=О). м!1 ыГ Ответ: 1) г=аГ1+соз — ~ ~р= —; 2~' 2' 2) г=а(1+соя р) — кардионда; 3) о=аюсоз —; ыг 4 ' аоР Г Ш 4) гв= — ~,' 5+4соз —. — — 4 — ~l 2' 12.31. В условиях предыдущей зздачи определить положение точки М, ее скорость и ускорение в начальный момент и в момент, когда кривошип сделает один полный оборот. Ответ: 1) При 1=0 точка М будет находиться в крзйнем правом положении на расстоянии 2а от точки О; скорость о перпендикулярна к осн е и равна аей ускорение направлено к точке О и равно — аю .