Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975), страница 16

3 Ответ: Ь== )'2' 9.27(309). Найти предельную высоту Ь конуса, при которой тело, состоящее из конуса и полушара одинаковой плотности н радиуса г, теряет устойчивость в положении равновесия при условии предыдущей задачи. Ответ: л=г)г 3. К задаче 9.96. К задаче 9.Ю.

К задаче 9.99, 9.28. Тонкий однородный лист изогнут в виде двух треугольников и квадрата, как показано на рисунке: равнобедренный треугольник ОАВ лежит в плоскости ху, прямоугольный треугольник ООЕ— в плоскости уг (вершина прямого угла — точка Е), квадрат ОВКЕ— в горизонтальной плоскости. Определить координаты центра тяжести изогнутого листа, Отвея: хе=3,33 см, 1зс=0,444 см, во=3,55 см. ОТДЕЛ ВТОРОЙ КИНЕМАТИКА ГЛАВА П! КИНЕМАТИКА ТОЧКИ В 1О. Траектория и уравнения движения точки 10.1. По данному ураанениьо движения точки на произвольно выбранной траектории построить через равные промежутки времени шесть положений точки, определить расстояние з по траектории от начала отсчета до конечного положения точки н пройдеьььььай ею путь и за указанный промеькуьок времени (з и о — в сантиметрах, ! — в се- кундах).

1) з = 5 — 41+ !а, 0 = ! «= 5. Ответь з = 10 см, о = 13 см. 2) з= !+21 — !а, 0(!~25. Ответ: з= — 0,25 см, о=3,25 см. 3) з= 4з!и!О!' 20 ~ь ~10' Ответ: в=О, о=20 см. 10.2. По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения. 1) х=3! — 5, у=4 — 21.

Ответ: Полупрямая 2х+ Зу — 2 = 0 с началом в точке х= -5, у=4, 2) х=21, у=8!а. Ответ: Правая ветвь параболы у=2ха с начальной точкой х=О, у=О. 3) х = 5 з!и 101, у = 3 соа 10Г. Ответа Эллипс + — = 1 с начальной точкой х = О, у = 3. р~ 25 9 4) х = 2 — 3 соз 51, у = 4 зш бс — 1. Ответ: Эллипс + ~ — )-=1 с начальной точкой х = 9 !б = — 1, у= — 1. 5) х = — — (е' + е-"), у = — (е' — е-'). 1, „1 Ответ; Верхняя часть правой ветви гиперболы ха -у' 1 с на алькой точкой х=1, у=О.

4 н, В, мещерьхна 10.3. Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изме- няется согласно уравнению (г, и е — постоянные заданные векторы, 1 и ) — координатные орты): 1) г=гз+г е. Ответ: Полупрямая, проходягцая через начальную точку Мз(гз) параллельно вектору е. 2) г=!'в+сов! е. Ответ: Отрезок М,М! прямой линии, проходящей через точку М(гв) параллельно вектору е. Начальная точка Мз(г,+е); вторая крайняя точка Мг(гз — е) При 1-ьоо конец радиус-вектора пройдет бесчисленное число раз через каждую точку траектории. 3) я=асов — 1+Ьз!ив !+аз !+Р хя у' Ответ: Отрезок верхней части эллипса —,+ Ь,— — 1.

Точка начна' ивет движение от левой вершины эллипса, монотонно приближаясь к его правой вершине. 10.4 (312). По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки: !) х=з!з, у=4!з. Ответ: Полупрямая 4х — Зу=О; з=б!Я. 2) х=Зз!и1, у=Зсоз!. Ответ: Окружность х'+у'=9; а=31. 3) х= а соз' 1, у = а з!пз й Ответ: Отрезок прямой х+у — а=О, причем 0 -х~а; з = а )/ 2 з!пз 1, 4) х= 5 соз 5!Я, у= 5 зш 5!з, Ответ: Окружность ха+у"=25; з=25ЬЯ. 10.5 (313).

Мостовой кран движется вдоль мастерской сбгласно уравнению х=1; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у=1,5! (х и у — в метрах, 1 — в секундах). Цепь укорачивается со асоростью о=0,5 лггсек. Определить траек- торию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Оху; ось Ое направлена вертикально вверх. Ответ: Траектория — прямая: у=1,5х; г=0,5х. 10.6 (314). ))вижение точки, описывающей фигуру Лиссажу, за- дается уравнениями х=Зз!и1, у=2соз2! (! — в секундах). Найти уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после начала движения момент времейи Сн когда траектория пересечет ось Ох.

Ответ: Часть параболы 4х'+9у=18, вдоль которой !х(~З, 1у ~~2! 1, = — еем. 10.7. При соответствующем выборе осей координат уравнения движения электрона в постоянном л1агнитном поле определяются равенствами х=аз1пИ, у=асозИ, г=тс, где а, л и ч — некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траекторию электрона и закон движения его по траектории. Ответ: Электрон движется по винтовой линии. Начальная точка 2я х=О, у=а, а=О; шаг винта л= — х Закон движения электрона л по винтовой линии: з=Уалй'+чл1, 10.8. Гармонические колебания точки определяются законом х=аз!п(И+а), где а) Π— амплитуда колебаний, л >Π— круговая частота колебаний и а( — я(а(я) — начальная фаза.

Определить центр колебаний аь амплитуду, круговую. частоту, период Т, чзстоту колебаний ~ в герцах и начальную фазу по следующим уравнениям движения (х — в сантиметрах, à — в секундах): 10.9 (310). Груз, поднятый на' упругом канате, колеблется согласно ЗЫ уравнению х=аз1п(И+ — (, где а — в сантиметрах, Й вЂ” в сек '. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если период колебаний равен 0,4 сек и в начальный момент ха= — 4 ель Построить также кривую расстояний.

Ответ: а=4 слй А=ба сел л. 10.10 (315). Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но равных амплитуд н фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным осям: х = а з'ш (И+ а), у = Ь зш (И+ р). х" ул 2ку Ответ: Эллипс —,+ —, — — соз(а — р)=вша(а — Я. дл !ОА1 (316).

Найти уравнение трзектории движения точки, получающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты: 1) х=ая!и 2а1, у=аз!йвс; 2) х=асоз2м(, у=асозм!. Ответ: 1) х'а'= 4у'(а' — уа); 2) 2у' — ах — а'=О, причем (х~«= а, )у! =а, !0.12 (317). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скок' л ростью к=!О сек ', Длина ОА= =АВ =80 с.н. Найти уравнения движения и трзекторию средней точки А! шатуна, а также уравнение движения х ползуна В, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; оси координзт указзны на чертеаке. Отвегл: 1) Траекторией точки М является эллипс х" у' !20" +И 2) уравнение движения ползуна В х = 160 соз 106 10.13 (318).

Уравнения движения точки обода колеса, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, имеют вид х=а(лг — згпИ), у=а(1 — совет). Определить моменты времени, когда точка занимает низшее, среднее и высшее положения на траектории, считая, что ось у найравлена вверх, 2л Гв л ! Гв 2я Ответ: 1) -„2Л сек; 2) ! — + — Л) сек; 3) ! — + — Лт! сек, где .'=О, 1,2,3,...

10.14 (319). Определить уравнения движения и траекторию точки обода колеса радиуса !с= ! лс автомобиля, если автомобиль движется по прямолинейному пути с постоянной скоростью 20 м/сек. Принять, что колесо катится без скольжения; за начало координат взять начальное положение точки на пути, принятом за ось Ох. Ответ. Циклонда х = 20! — з!и 201; у = 1 — соз 20!. 10.15. Ланы уравнения движения снаряда: х=овсоза 1, у=паз!пи ! —— а тю 2 ° где и, — начальная скорость снаряда, а — угол между я!в и горизонтальной осью х, 8 — ускорение силы тяжести. Определить траекторию движения снзряда, высоту ТТ, дальность Ь и время Т полета снаряда, 100 Ответ: Траектория — пзрабола у=19а х— й х'; высота 2е'созт а и' е е гт'=фа!папи 1.= — ззш2ой Т=2 — 'з1па.

2в 2 з 10.16. В условиях предыдущей зздачи определить, прн каком угле бросания гх дальность полета 1. будет максимальной. Найти соответствующие высоту и время полета. Ответ: сь 18 ' Еыах= ' Н вЂ” ' Т ) 2 и'" ' 4 10.17. В условиях задачи 10.15 определить угол бросания а, при котором снаряд попадет в точку А с координатами х н у. Ответ: 19сг= " 1 " в)2У В ех 10.10. Определить параболу безопасности (все точки, лежащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при данной начальной скорости св и любом угле бросания а). Ответ; у= — — —,х. е) з а 2я 2е) 10.19.