Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 19
Текст из файла (страница 19)
з 1 2) После одного оборота кривошипа точка М будет проходить через точку О, о=О, ускорение направлено к точке От н рав- А аыя Ъ но —. 4 ' 12.32. В условиях задачи 12.31 определить радиус кривизны кардиоиды при г=2а, гр=О. 4 Ф ,в Ответ: р,= — а.
'=3 а 12.33. Конек А стержня АВ перемещзется по гг прямолинейной направляющей СО с постоянной скоростью пл. Стержень АВ все время прохо- Ю дит через качающуюся муфту О, отстоящую от к л 1ялз. направляющей СО на расстоянии а. Приняв точку О за полюс, найти в полярных координатах г, <р скорость и ускорение точки М, находящейся на линейке на расстоянии Ь от ползуна А 111 вл Ответ: о=— а те = — соз вР ~ 1 —,7 соа вР) г' соз !7 + 4 27П 12.34. Точкз М движется по винтовой линии. Уравнения движения ее в цилиндрической системе координат имеют вид г = а, вР = И, г =ч!.
Найти проекции ускорения точки на оси цилиндрической системы координат, касательную и нормальную составляюнгие ускорения и радиус кривизны винтовой линии. Ответ: 1) а,= — а62, ав =О, мв,=О! айв 12.35. Точка М движется по линии пересечения сферы х" +уа+ й!в 2 2!в +га=йв и пилиндра (х — — ~ +уа= —. Уравнения движения 2~ 4' точки в сферических координатах имеют вид (см. задачу 10.22) дг и г=К о= — 6= —. Нанти проекции и модуль ускорения точки в сферических координатах. !вав в И~в Ответ: пв„= — (1+ созе 6) 4 7ВЯВ ЩВ юа — — — — з!и 6 сов 6; ее= — )7г4+ з!па 9.
4 4 12.36. Корабли движется под постоянным курсовым углом и и географическому меридиану, описывая при этом локсодромию (см задачу 11.14). Считая, что модуль скорости о корабля не изменяется, определить проекции ускорения корабля на оси сферических координат г, Л и вР (Л вЂ” долгота, вР— широта места плавания), модуль ускорения и радиус кривизны локсодромии, оа Ответ: мв = —— Л' ' ев мвв= — — з!п асов а 13 ва, .7Г ев а г 4" — <вв' в вв = — В'>е а' вв в; а г Л К ааааее!2.ат. Р= У !+в!и' а!ивт' где Й вЂ” радиус Земли, 12.37. Выразить декартовы координаты точки через тороидальные координаты г=СМ, ф и вР и определить коэффициенты Ламе.
1!2 Ответ: 1) х = (а+ г соз р) соз ф, у =(а + г соз 2) з(п ф, г=гз1п р; 2) Н,=1, Н =а+ гсозр, Н =г. 12.38. Пвижение точки задано в тороидальной системе координат г, ф и р. Нзйти проекции скорости и ускорения точки на оси этой системы отсчета. Ответ: 1) в,=р, и =(а+гсозр)ф, о =гф; 2) п~,=р — (а+гсозр)созйф' — гф; ю =(а+ г сов р)ф+ 2соз пуф — 2г з!пффф, тв = «ф + 2Рф + (а+ г соз р) гйп рфз. 12.39. Точка движется по винтовой линии, намотанной на тор, по закону г=Й=сопз1, Определить проекции скорости и ускорения точки в тороидальной системе координат (ю= сопя(, А = сопз1). Ответ: о,=О, я~в=(а+Йсоз<р)вь ю =ЙА; тв,= — [(а+Йсоз р)созрмз+ЙАЯ1, твт — — — 2 Ймлз(пу, тат=ма(а-(- Йсозу)з(ну.
ГЛАВА 1Ч ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ф 13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 13.1 (375). Определить угловую скорость: 1) секундной стрелки часов, 2) минутной стрелки часов, 3) часовой стрелки часов, 4) вращения Земли вокруг своей оси, считая, что Земля делает один оборот за 24 часа, 5) паровой турбины Лаваля, делающей 15 000 об/мин. Отвели 1) ю= — сек а=0,1047 сек ь, 2) ю= — сек а=0,001745 сек — ь !800 3) ю= сек ь=0,0001455 сек а; 21 600 4) ю= сек-~=0,0000727 сек ь 43 200 5) ю= 1571 сек а. 13.2 (376).
Написать уравнение вращения диска паровой турбины Прн пуске в ход, если известно, что угол поворота пропорционален кубу времени и при 1= 3 сек угловая скорость диска соответствует и= 310 об/мин. Ответ: ~р=л/з рад. 13.3 (377). Маятник центробежного регулятора, вращающийся вокруг вертикальной осн АВ, делает 120 об/мин. В начальный момент угол поворота был равен — рад. Найти угол поворотз и угловое 6 перемещение маятника за время 1=1/2 сек.
13 Ответ: ~р= — л рад; А<р=2л рид. 6 13.4 (378). Тело, начиная вращаться равноускоренно из состояния покоя, делает 3600 оборотов в первые 2 мин. Определить угловое ускорение. Ответ: в = л сек '. 13.5 (379). Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя; в первые 5 сек он совершает 12,5 оборота.
Какова его угловая скорость по истечении этих 5 сек"г Ответ: ю=б об/сек=10л сек '. 114 13.6 (380). Маховое колесо начинает врашаться из состояния покоя равноускоренно; через 1О мии после начала движения оно имеет угловую скорость, соответствующую 120 об/лит. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 мии? Ответ: 600 оборотов. 13.7 (381). Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость 2я сек ', сделав 10 оборотов, оно вследствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение е колеса, считаз его постоянным, Отвеги: я=0,1я сек ', врицение замедленное.
13.8 (382). С момента выключения мотора пропеллер самолетз, вращавшийся с угловой скоростью, соответствуюшей л = 1200 об/лсин, сделал до остановки 80 оборотов, Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если считать вращение пропеллера равнозамедленным? Ответ: 8 сек 13.9 (383). Тело совершает колебания около неподвижной оси, причем угол поворота выражается уравнением в = 20О з1п ф, где угол ф выражен в угловых градусах зависимостью ф=(21); причем 1, обозначает секунды.
Определить угловую скорость тела в момент 1=0, ближайшие моменты 1, и г„в которые изменяется направление врашения, и период колебания Т. Ответ: м= — я сек ' 1г=45 сек; я -ь З10 1 1я= 135 сек; Т= 180 сек. 13.10 (384). Часовой балзнсир совершает крутильные гармонические колебания с периодом Т= 1/2 сек Нзибольший угол отклонения точки обода бзлансира от положения равновесия а=я/2 рад.
Найти угловую скорость и угловое ускорение бзланса через 2 сек после момента, когда балансир проходит положение равновесия. Ответ: ы = 2я' сек ', в = О. 13.11 (385). Маятник колеблется в вертикальной плоскости около неподвижной горизонтальной оси О. Выйдя в начзльный момент из положешш равновесия, он достигает наибольшего отклонения и=я/16 рад через 2/3 сек. 1) Написать закон колебаний маятника, считая, что он совершает :,гармонические колебания. 2) В каком положении маятник будет имать, наибольшую угловую скорость и чему она равна? в .
3 Ответ: 1) ф= — з!п — я1 рад. 2) В отвесном положении; мм„= — я сек з К-д- 1З.Ы Н6 13.12 (386), Определить скорость п и ускорение пз точки, находящейся нз поверхности Земли в Ленинграде, принимая во вниизание только вращение Земли вокруг своей оси; широта Ленинграда 60', радиус Земли 6370 км.
Ответ: э=0,232 км/сек; тв=0,0169 м/сека, 13.13 (387). Маховое колесо радиуса 0,5 м вращается равномерно вокруг своей осн; скорость точек, лежащих наего А ободе, равна 2лс,'сек. Сколько оборотов в минуту делает колесо? ф'' и вл Ответ: к=38,2 сзб~мпк. 13.14 (388).
Точка А шкива, лежащая на его ободе, движется со скоростью 50 см/сек, а некоторая точка В, взятая на одном радиусе с точкой А, движется со скоростью 1О см,'сск; расстояние АВ=20см. Определить угловую скорость м и диаметр шкива. Ответ: аз=2 ссгс ', с(=50 см. 13.15 (389). Маховое .колесо радиуса ах=2 м вращается равноускоренно из состояния покоя; через с=10 сек точки, лежащие па ободе, обладают линейной скоростью в=100 м/сек. Найти скорость, нормальное и касательное ускорения точек обода колеса для момента Г= 15 сек. Ответ: э=150 мгсек; п1„=11250 м/сека; тв,=10 мгсека. 13.16 (390). Найти горизонтальную скорость и, которую нужно сообщить телу, находящемуся на экваторе, для того, чтобы оно, двигаясь равномерно вокруг Земли по экватсару в особых направляющих, имело ускорение свободного падения.
Определить также время Т, по истечении которого тело вернется в первоначальное положение. Радиус Зеили й= 637 10а см, а ускорение силы ! тяжести )1а экваторе ы=978 см~сека. в Ответ: и= 7,9 к к(сек; Т= 1,4 часа, 13.17 (391). Угол наклона полного ускорения точки обода махового колеса к радиусу равен 60е. Касательное ускорение ее в данный момент щ, = = 10 ) 3 м/сека. Найти нормальное ускорение точки„ отстоящей от оси вращения на расстоянии г =0,5 м, Радиус махового колеса )с= 1 м.
Ответ; пз„=б лс/сека, К задаче 13.18, 13.18 (392). Вал радиуса И=10 слс приво- дится во вращение гирей Р, привешенной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением х= 100(д, где х — растояние гири от места схода нити с поверхности вала, выраженное в сантиметрах, г — время в секундах. Определить угловую скорость м и угловое ускорение а вала, а также полное ускорение гв точки на поверхности вала в момент 1, Олгвет: аз=201 сск ', в=20 сек ", п1=200 $Г1+40011 см/сакэ. 13,19. Решить предыдущую вадачу в общем виде, выразив уско. рениг точек обода колеса через пройденное гирей расстояние к, радиус колеса /с и ускорение гири х =сиз=сипай Ответ: ш=шо )// 1+4 —,. 13.20.
Стрелка гальванометра длиной 3 слс колеблется вокруг неподвижной оси по аакону !р = его а!и /з/ Определить ускорение копна стрелки в ее среднем и крайних положениях, а также моменты времени, при которых угловая скорость од и угловое ускорение в обращаются в нуль, если период колебания равен 0,4 сек, а углова4 амплитуда !ро= †. зо Ответ: 1) В среднем положении стрелки те=8,1 с.и/сека. 2) В крайних положениях стрелки си=776 сл/сека.
3) о!=О при /=(0,1+02л) сек (л=О, 1, 2, ...). 4) в=О при 1=0 2л сек (л=О, 1, 2,,). ф 14. Преобразование простейшик движений твердого тела 14.1 (395). Зубчатое колесо ! диаметром О! = 360 дсм делает и! — †1 об/адил, Чему должен равняться диаметр аубчатого колеса //, находящегося с колесом / во внутреннем вапеплении и делающего па — — 300 об/ясину Отведи Од=120 ям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
