Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 8

Изотипная компонента Мс типа С й-модуля М (Алг., гл. У111, $3, и' 4) называется также изотипной компонентой типа б модуля М. Эта компонента есть сумма К-подмодулей модуля М, устойчивых относительно эндоморфизмов р(х) и таких, что эти р(х) инду- пируют представление класса б; она является прямой суммой некоторых из этих подмодулей; если Мс имеет длину и, то говорят, что кратность б в р равна и. Сумма различных Мс является прямой; она равна М в том и только в том случае, когда р полупросто. 6) Пусть р, р' — два представления алгебры й.

Говорят, что р' — подпредставление (соотв. факторпредставление) представления р, если модуль представления р' является подмодулем (соотв. фактормодулем) модуля представления р. Пусть М является К-модулем. Нулевое представление й в М определяет на М структуру й-модуля.

Наделенный этой структурой, М называется тривиальным й-модулем. Пусть М есть й-модуль. Фактормодули й-подмодулей в М являются также а-подмодулями фактормодулей модуля М: они зв ГЛ. Е АЛГЕБРЫ ЛИ получаются, если рассмотреть два й-подмодуля У, У' модуля М с включением У:з У' и образовать й-модуль У/У'. Если теперь все неприводимые модули, получаемые описанным способом, изоморфны данному простому модулю й/, то говорят, что М— чистый й-модуль тшш /ч'. Если р и в — представления й, соответствую1цне М и йГ, то говорят также, что р — чистое представление типа а.

Пусть М' есть й-подмодуль модуля М. Для того чтобы М был чистым модулем типа й/, необходимо и достаточно, чтобы М' и М/М' были чистыми модулями типа Ж. В самом деле, это условие, очевидно, необходимо. Пусть теперь условия выполнены и У, Г суть й-подмодулн в М, такие, что У'с- У и У/Г— простой модуль. Пусть ф — канонический гомоморфизм М на М/М'„ если ф(У)4=ф(Г), то У/У' изоморфеи ф(У)/ф(У'), а следовательно, и /ч'. Если 1р(У) = ф(У'), то У ~ У'+ М', откуда У/У' изоморфен простому подмодулю модуля (У'+ М')/У', а этот последний сам изоморфен М'/(У'ПМ').

Поэтому У/У' также изоморфен /У, так что М вЂ” чистый модуль типа й/. Пусть М обозначает в дальнейшем й-модуль, и предположим, что множество й-подмодулей в М, чистых типа йГ, обладает максимальным элементом М'. Тогда каждый чистый типа й/ подмодуль М" модуля М содержится в М'. В самом деле, М"/(М' П М") и М' являются чистыми типа Л1, поэтому М'+М" чист типа /ч" по только что доказанному, откуда М' + М" ~ М'.

Предположим, что й-модуль М обладает рядом Жордана— ГельлеРа (М1)ь~,~„. Для того чтобы М был чистым типа ЛГ, необходимо и достаточно, чтобы М,/М„ М,/М„ ..., М„,/М„ были изоморфны М. Действительно, это условие, очевидно, необходимо; достаточность немедленно получается индукцией по и из доказанного выше. ПРедложвнив 1. Пусть й — алгебра Ли над К и а — идеал в й. Пусть М есть й-модуль и Л1 — простой а-модуль. Рассмотрим М как а-модуль и предположим, что множество его чистых а-подмодулей типа й/ обладает максимальиым элементом М'. Тогда М' является й-подмодулем в М.

Пусть у я й. Предположим, что ф — каноническое отображение М на М/М' и / — отображение ЛГ ~ф(ум . Лт) модуля М' в М/М'. Достаточно показать, что /(М') = (б). Пусть х ~ а. Для т ен М имеем хм1м" /(Гп) — ф(хмрм Гп) — ф[Умхм пГ)+ф[[х У)м Гп). Однако [х, у) ~ а, откуда 1р([х, у)м. 1п)=0. Кроме того, 1р(уАГхь,. Лт) =/(х,и. Гп). Поэтому х,. /(Л1) =/(хм.

Гп). Отсюда $3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 39 следует, что 1(М') есть а-подмодуль в М/М', изоморфный фактормодулю модуля М', и поэтому он чистый типа й1, Отсюда 1(М') = (О). Следствие. Пусть й — алгебра Ли над К и а — ее идеал. Пусть М вЂ” простой й-модуль, имеющий конечную длину как К-модуль. Тогда существует простой а-модуль 1ч', такой, что М вЂ” чистый а-модуль типа й1. Так как а-модуль М имеет конечную длину, существует минимальный элемент в множестве а-подмодулей из М; ои н является простым а-подмодулем модуля М. Наибольший чистый типа й( а-подмодуль модуля М, таким образом, отличен от нуля и является й-подмодулем в М (предложение 1), т.

е. равен М.. 2. Тензорное произведение представлений В и' 1 мы определили прямую сумму семейства представлений алгебры й. Сейчас мы определим другие операции над представлениями. Пусть йн й, — две алгебры Ли над К и М; — произвольный 11»модуль (1=1, 2). Пусть У,— универсальная обертывающая алгебра для й, и о, — каноническое отображение й~ в Ун В этом случае М, — левый У;-модуль и, значит, М, 9» Мт канонически наделено структурой левого У, 9»У;модуля. В то же время У, 9»У,— универсальная обертывающая алгебра для й, Х йт и отображение (х„х,) о,(х,) ®1+1 ®о,(хт) есть каноническое отображение й, Х йт в ее универсальную обертывающую алгебру ($2, и' 2).

Поэтому на М = М, ЭА. М, существует структура й~ Х й;модуля, такая, что (хн хт)м. (т, Э тг) = (о, (хД Э 1 + 1 9 ат (хт)) . (~п~ Э т~) = ((х!)м ' т ) Э щг + гп! Э Ьхт)м гпг) (1) Эта структура определяет представление й,р', йт в М. Если теперь й, =йг — — й, то гомоморфизм х (х, х) алгебры й и й, Х й, в композиции с предыдущим представлением определяет представление й в М и, следовательно, структуру й-модуля на М, такую, что х„. (гп, Э гпя) =(хм,. гп,) ® пгг+ т~ ® (хм, ° шг) (2) ь'ассуждая аналогичным образом, можно доказать Пведложение 2.

Пусть й — алгебра Ли над К и М,— произвольный й-модуль (1 (( - и). В тензорном произведении М~ 9» Мз Э» ... 9» М„существует, и притом только одна, ГЛ. Ь .АЛГББРЫ ЛН 40 структура й-модуля, такая, что х,и (т, Э ... Э т„) = ~„т~ Э ... Э (хм,. т,) Э ...

Э т„, (3) с-~ где х ен й, т, ен Мо ..., т„ен М„. Соответствующее представление называется гензорным лроизведением заданных представлений й в МР В частности, если М есть й-модуль, то предложение 2 опре- Р деляет структуру й-модуля на каждом Мр — — ®М и, значит, в тензорной алгебре Т модуля М. Формула (3) показывает, что хг при любом х ен й есть единственное дифференцирование алгебры Т, продолжающее хм.

Известно (5 2, и' 8), что хг индуцирует посредством факторизации дифференцирование симметрической алгебры 3 модуля М. Поэтому Я можно рассматривать как й-фактормодуль модуля Т, а хз — дифференцирование модуля 8. Переходя к еще более частному случаю, рассмотрим й как й.модуль при помощи присоединенного представления й. Пусть У вЂ” универсальная обертывающая алгебра для й. По предложению 7 5 2 хм индуцирует посредстном факторизации дифференцирование алгебры У, которое есть не что иное, как внутреннее дифференцирование, определенное о(х) (а обозначает каноническое отображение й в 0). Поэтому У можно рассматривать как й-фактормодуль модуля Т.

Если К вЂ” поле характеристики О, то канонический изоморфизм Я на У является изоморфизмом й-модулей (5 2, п'8). д. Представления в модулях гомоморфизмов Пусть теперь й, и йз — две алгебры Ли над К и М, — произвольный й;-модуль (1 = 1, 2). Пусть У~ — универсальная обертывающая алгебра для й, и о; — каноническое отображение й, в ОР Тогда М; есть левый У,-модуль, вследствие чего м'х (М„М,) канонически наделяется структурой левого У~ Э Укмодуля. о В то же время У1 Эк Уз — универсальная обертываюшая алгебра о для йз Э йз, а отображение (хь хз) ~ а~ (х,) Э 1 + 1 Э о, (хз) есть каноническое отображение йзр' ,й в эту универсальную обе ртывающую алгебру.

Поэтому на М = Ы'„. (М, „М ) существует структура й", Х й,-модуля, такая, что ((х,, хз)м . и) л1, = ((о, (х,) Э 1 + 1 Э о, (хз)) . и) . т, = =и((х,)м.т,)+(хз) .и(т,), (4) г % 3. ПРвдстхвлнния 41 где и си У»(М„Мг), и, ~ Ми Эта структура определяет представление йь!Х й, в М. Пусть теперь 8!=8,=8; тогда гомоморфизм х ( — х, х) алгебры й в йети 8 в композиции с предыдущим представлением задает представление й в М и, следовательно, структуру й-модуля на М, такую, что (хм и) и! =хм .и(и,) — и(х, .и,) (5) или (6) х .и=-х и — их м и, и; Если скомбинировать этот результат с предложением 2, то очевидно следующее Пввдложвнив 3.

Пусть й — алгебра Ли над К и М, — произвольный й-модуль (1 «(1 ««и + 1). Пусть !!!' есть К-модулв .У» (Мь..., М„; М ч,) пзлилингйных отображений Ц М, в М„.!.!. ! 1 Существует единственная структура й-модуля на 7»', такая, что ч (х„. и) (ио..., и„) = — ~ и (и„..., хи, . иь ..., и„) + 1=! + хм,.и(иь ..., и„), (7) где хай, и ен г( и и! ен М! (1 ««!< и). В частности, пусть й — алгебра Ли над К, а М вЂ” произвольный й-модуль. Рассмотрим, с другой стороны, К как тривиальный 8-модуль. Предложение 3 определяет на Ы'»(М, К)=М' структуру й-модуля.

Соответствующее представление называется дуальным к представлению х ~ хм. Имеем (хм*. )) (и) = — 7 (хм . и), (8) где хай, 7 ен М*, иенМ. Иначе говоря, хм. = — 'хм. (й) В случае когда К вЂ” поле и М конечномерен, й-модуль М прост (соотв. полупрост) тогда и только тогда, когда й-модуль М' прост (соотв. полупрост).

Пгцдложенив 4. Пусть М„Мт — два й-модуля. Канонические К-линейные отображения (А(й., с(!ар. !71П, 3' ей., арр11сайоп П, и'и' 3 и 8) М! !8!»Мг Ук(Мь Мг), Жг(Мь Мг) — (М! !8!кМ)" (где в первом случае Мг отождествляется с,У»(К, Мт), а второе отображение биективно) являются гомоморфизмами й-модулей. ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ Положим Ф = М; Э Ма, Р = 2' (М ь Ма), 0 = Ы'(Мь Мз), Я = (М, Э Мз)'. Имеем для хан й, 1 АМ), т~ ен Мь теяМз ((фх,„)(1 Э т )).

т,=(ф(хм.) Э т +1 ® хм тз)). т, = =(хм.1, т,>т +(), т,>хм т,, ((хрф) () Э т.)) . т, = х (ф () Э т,) . т,) — ф (1 Э тг) (х т,) = ='0»>" . — (~ ","> откуда фх„=хрф. С другой стороны, для хай, и я Ы(МИ М1), т, ~Ми те~ М, имеем (фхои) (т, Э тз) = ((хои) . т „т,> = (хм ит, — ихм и „т >, (х фи) (т, Э т ) = — (фи, х„т, Э т, + т, Э х т,> = = — (ихмто Л1,> — (шио х т,>, откуда фхо — — хаф, что и требовалось доказать. Отождествим й-модули 2'(Мь М3) и (М~ Э Мз)* при помощи изоморфизма ф Если М, и Мг конечномерны, то ф — изоморфизм (Алг., гл.

П1, $1, и'4, предложение 9), который позволяе'г отождествить й-модули М1 Э Мз и 5Г (Мь Мз). Стало быть, в этом случае можно отождествить и й-модули М)ЭМ3, Ы(Мь Мгр и (М, Э Мг)'. 4. Примеры Пример 1. Пусть й — алгебра Ли над К, а М вЂ” произвольный й-модуль.