Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 4

Если а — подалгебра (соотв. идеал) алгебры й, то канонический образ алгебры ак> в й <к~) <ке есть подалгебра (соотв. идеал) в й<к Г Если а и () — подмодули в й, то канонический образ в йк, модуля [а, ()[<к) равен взаимному коммутанту канонических образов модулей а<к,) и б<к,>. Отсюда следует, что Я'(9<к)) является каноническим образом (Я'й), > и что ЮР(9<к>) — канонический образ (Юлй)„>.

Если К вЂ” поле, К, — подполе К и о — каноническое вложение К в Кь то, имея в виду обычные отождествления, получим [а. ()[<к„= ~~к, у<к)1 1Т)'(9<к)) = (~'й)<к> 2Г'(й<к,)) = (2Г'й)<к„. Такого сорта результаты будут получены и в $2, п'9. Если М вЂ” конечномерное векторное пространство над полем К, то М<к,) — конечномерное векторное пространство над К„ и ассоциативная алгебра х'(М<к,>) канонически отождествляется с ассоциативной алгеброй .<с (М)<к >. Поэтому алгебра Ли <к,> 21(М<к„) канонически отождествляется с алгеброй Ли й!(М),'к). й 2.

Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли 1. Определение универсальной обертывач>щей алгебры Пусть й — алгебра Ли над К. Для любой ассоциативной алгебры Т. с единицей над К назовем а-отображенйем алгебры й в Т. К-линейное отображение о алгебры й в Ь, такое, что о([х, у[)=о(х)о(у) — о(у)о(х) (х, у из й) (другими словами, гомоморфизм й в алгебру Ли, ассоциированную с 1.). Если Ь' — другая ассоциативная алгебра с единицей над К и т — гомоморфизм Ь в Ь', переводящий 1 в 1, то топ есть а-отображение алгебры й в Л'. Отыщем ассоциативную алгебру с единицей над К и а-отображение алгебры й в эту алгебру, являющееся универсальным (Теор. множ., гл.

1Ч, 5 3, и' 1). Опгвдвлвнив 1. Пусть й — алгебра Ли над К, Т вЂ” тензорная алгебра К-модуля й и 1 — ее двусторонний идеал, порожденнь<й тензорами вида х Э у — у 6> х — [х, у), где хен й, у ~ й. Ассоциативная алгебра П= Т[1 называется универсальной обертывающей алгеброй для й. Ограничение на й канонического отображения алгебры Т на П называется каноническим отображеним й в П. г з е униВеРсАльнАя ОБВРтыВАющья АлГеБРА АлГВВРЫ ли з! Пусть Т+ — двусторонний идеал в Т, образованный тензорами, компонента степени О которых равна нулю.

Пусть Тг=К. 1 — множество элементов степени О алгебры Т. Пусть, далее, У+ и сань — канонические образы Т+ и Ть в (У. Так как ус- Т+, то прямое разложение Т=ТВЩТ+ индуцирует прямое разложение У=Уг9У+. Алгебра У обладает поэтому отличным от нуля единичным элементом и Уь — — К. 1. Компонента элемента хан(1, лежащая в Ум называется его свободным членом. Элементы со свободным членом, равным нулю, образуют двусторонний идеал в У, а именно двусторонний идеал !1+, порожденный каноническим образом алгебры й в (У.

Ассоциативная алгебра У порождена 1 и каноническим образом алгебры й в У. Если хен й и у ~ й, то х Э у — у Эх и [х, у) сравнимы в Т по модулю Х; следовательно, если а, обозначает каноническое отображение алгебры й в У, то ао(х)ао(у) — аь(у) аь(х) =оо([х, у[) в с1. Другими словами, аь есть а-отображение й в У. Пгедложенне 1. Пусть а есть и-отображение алгебры й е ассоциативную алгебру Ь с единицей. Существует, и притом только один, гомоморфизм т: У вЂ” Е, переводящий 1 в 1, такой, что а=таам где аг обозначает каноническое отображение й е Ц.

В самом деле, пусть т' — единственный гомоморфизм алгебры Т' в г'., который продолжает а и переводит 1 в 1. Тогда для х, у из й имеем Г' (х Э у — у Э х — [х, у) ) = а (х) о (у) — а (у) а (х) — о ( [х, у) ) .= О, так что т' обращается в нуль на Х и определяет посредством факторизации гомоморфизм т алгебры У в алгебру Ь, переводящий 1 в 1, такой, что а=топь. Единственность т немедленно вытекает из того, что аь(й) и 1 порождают алгебру У. Пусть й' — другая алгебра Ли над К, У' — ее универсальная обертывающая алгебра, а аь — каноническое отображение в 0'.

Пусть ~р — гомоморфизм й в й'. В этом случае а; Р~р есть а-отображение алгебры й в У', поэтому существует, и притом один, гомоморфизм ф алгебры У в У', переводящий 1 в 1 и такой, что диаграмма й й го Ро ц — ' и' Гл. ь Алгнвгы ли коммутативна. Этот гомоморфизм переводит элементы из У с нулевым свободным членом в элементы из У' с нулевым свободным членом. Если йо — другая алгебра Ли над К, а «р'— гомоморфизм алгебры й' в 9", то (ф'~«р) =«р'««р. 2. Универсаязная обертывающая аггебра нроизведения аягебр Ли Пусть йо йг — две алгебры Ли над К, У, — универсальная обертывающая алгебра алгебры й«и о, — каноническое отображение й«в У, (1=1, 2).

Пусть й=й«Х йн У вЂ” ее универсальная обертывающая алгебра, о — каноническое отображение й в У. Канонические вложения алгебр й, и йг в й определяют канонические гомоморфизмы алгебр У, и Уг в алгебру У, где их образы коммутируют, а следовательно, и гомоморфнзм алгебры У«ЗхУ, в У, переводящий 1 в 1. Пгндложннив 2. Гомоморфизм «р является изоморфизмом. Отображение о'. (х„х,) о,(х,) З 1+1 З о,(х,) (х, ~до х ен йз) является а-отображением алгебры й в У«ЗхУм так что существует (и' 1, предхожение 1) единственный гомоморфизм т алгебры У в У, ЗкУн переводящий 1 в 1, такой, что о'=топ.

(1) Имеем ф т«о=фоо'=о и тофоо'=т о=о', поэтому «р ° т и т «р — тождественные отображения алгебр У и У, ЗкУ соответственно. Отсюда следует доказываемое. Принято отождествлять У, З„Уг с У при помощи изоморфизма «р. Тогда, согласно (1), каноническое отображение й в У ' отождествляется с отображением (хо х,) ~ о, (х,) З 1 + 1 З оз (хз). Аналогично, если йп ..., й„— алгебры Ли над К, а У„..., ӄ— их универсальные обертывающие алгебры, то универсальная обертывающая алгебра У для я«Х...

Х й„канонически ото-', ждествляется с У, Зх ... ЗхУ„, а каноническое отображенуе; алгебры а, Х ... Х г„в У вЂ” с отображением (х„..., х„) ~-э о, (х,) З 1 З ... З 1 +... + 1 З ... З 1 З !И„(х„) (если обозначить через о, каноническое отображение алгебры й« в й;). 3. Универсальная обергывающая алгебра нодалгебры Ли Пусть й — алгебра Ли над К, (! — ее подалгебра и о, о'— канонические отображения алгебр й, 1) в их универсальные обертывающие алгебры У, У. Тогда каноническое вложение 1 у у а униВеРсАльнАя ОБВРтыВАюшАВ АлГеБРА АлГеБРы ли 2в алгебры () в алгебру й определяет гомоморфизм т': )Г-РУ, называемый каноническим, такой, что оюс=т~о'.

Алгебра ю'((т) порождена элементом 1 и оД). Вудет проверено, что в этом важном случае Г инъектнвен (и' 7, следствие 5 теоремы 1). Если $ — идеал в й, то левый идеал в У, порожденный о(Ц, совпадает с правым идеалом, норождениым о(()), иначе говоря, является двусторонним идеалом, который мы обозначим через /т. В самом деле, если х ен $ и х' еи й, то о (х) о (х') = о (х') о (х) + о ([х, х') ) и [х, х4ен().

Пведложение 3. 'Пусть () — идеал в а, р — канонический гомоморфизм й на йД и йт — универсальная обертываюи(ая ал- ~ гвбра для й/(). Гомоморфизм р: У- )Р', канонически определенный с помощью р, сюрввктивен, и гго ядро является идеалом Л алгебры У, порожденным о(5). Пусть о" — каноническое отображение й/() в (Р".

Из коммутативной диаграммы () — Р й - Р+ йД видно, что ограничение гомоморфизма р на о(1)), а следовательно, н на 1т является нулевым. Пусть ф — канонический гомоморфизм У на У/1ч. Существует гомоморфизм ф алгебры У//г М ч~ В,'~ У/й в йГ, такой, что р=фоф. Отображение фасо алгебры й в У//т является а/отображением и обращается в нуль на 5, а значит, определяет а-отображение 8 факторалгебры й/5 в факторалгебру Уф, такое, что 8 ор=фоо.

Поэтому фР йор=ф~фо о.= ' =о" юр, откуда фа 8=о". Существует (п'1, предложение 1) гомоморфизм ф', и притом только один, алгебры йт в У/Р, переводящий 1 в 1 и такой, что 8 ф'оо". Поэтому ф' ф 8= =ф'оо"=8 и файф'оо"=ф ° 8=в", откуда следует, что ф'Рф и ф~ф' — тождественные отображения алгебр У/К в йт соответственно. Этим заканчивается доказательство. ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ Алгебру УЯ отождествляют с алгеброй Нт при помощи гомоморфизма !р. В этом случае каноническое отображение о" факторалгебры й/() в Ф' отождествляется с 6, т.