Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В самом деле, если х~ а таков, что 1(х)=0, то 1ъ (х) = 1ъ'(1 (х)) = О, откуда х = л (у), где у ен а; далее, л' (у) = =)(Л(у)) =~(х)=0, поэтому у=О, а следовательно, и х=О. С другой стороны, ) сюръективен. Действительно, отображение 1ъ'а1=1ь сюръективно, поэтому 1(й)+Л'(а) = й', из других соображений, однако, видно, что 1(й) ~ 1'(Л(а)) =Л'(а). Из доказанного следует, что только что введенное отношение между двумя расширениями является отношением эквивалентности.
$ Ь ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБР ЛИ ПРедложение 6. Пусть и й" — расширение Ь при помощи а и п — его ядро. а) Если существует подалгебра Б1 алгебры й, дополнительная к п в й, то ограничение и на Бг есть изоморфизм Б1 на Ь. Если Р обозначает изоморфизм, обратный к этому ограничению, то ч есть гомоморфизм Ь в й и 1х0Р есть тождественный автоморфизм алгебры Ь. б) Обратно, если существует гомоморфизм Р алгебры Ь в й, такой, что 11 от — тождественный автоморфиэм на Ь, то Р(Ь) является подалгеброй, дополнительной к и в й.
Утверждение пункта а) тривиально. Обратно, пусть Р— гомоморфизм Ь в й, такой, что 11о Р— тождественный автоморфизм на Ь. Тогда ч(Ь) — подалгебра в й и й — прямая сумма ч(Ь) 11 и-1(0) = и (Алг., гл. ИП, $1, и' 1). Оптеделение б. Пусть а-' й-Р Ь вЂ” расширение Ь при помощи а и и — его ядро. Говорят, что это расширение является несущественным или расщепляется (соотв. тривиально), если существует подалгебра (соотв. идеал), дополнительная (дополнительный) к п в й.
Говорят, что это расширение центрально, если 0 содержится в центре алгебры Если расширение тривиально, то пусть 1п — идеал в й, дополнительный к и в й. В этом случае (см. и'. 1) й канонически отождествляется с алгеброй Ли Б1Х и, а следовательно, и с алгеброй Ли а Х Ь. Обратно, пусть а и Ь вЂ” две алгебры Ли; тогда а Х Ь вЂ” тривиальное расширение а при помощи Ь. Несущественное центральное расширение тривиально. В самом деле, пусть й — алгебра Ли, и — идеал этой алгебры, ссдержащийся в ее центре, ж — подалгебра й, дополнительная к и в й. имеем [Б1, й] = [1и, Б1] + [Б1, и] =[Б1, в1] 1=. Б1, откуда следует, что аг — идеал алгебры 8. Полупрямые произведения Пусть а и Ь вЂ” две алгебры Ли над К.
Нелегкой задачей представляется описание всевозможных расширений Ь при. по- помощи а. Однако мы опишем, и довольно просто, все несущественные расширения Ь при помощи а. Пусть й — несущественное расширение Ь при помощи а. Отождествим а с идеалом алгебры й, Ь вЂ” с подалгеброй в ц, дополнительной к а, и модуль а — с модулем аХ Ь. Для любого ЬыЬ пУсть 1гь — огРаничение на а ДиффеРенЦиРованиЯ абгЬ; ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ 16 это дифференцирование идеала а, и отображение Ь ь-~ фь — гомоморфизм Ь в алгебру Ли дифференцирований идеала а. С другой стороны, для а, а' из а и Ь, Ь' из Ь имеем [(а, Ь), (а', Ь')] = [а+ Ь, а'+ Ь'] = = [а, а'] + [а, Ь'] + [Ь, а'] + [Ь, Ь'] = =([а, а']+фьа' — 1рь а, [Ь, Ь']).
(6) Обратно, пусть а и Ь вЂ” алгебры Ли над К и Ь вЂ”: фь — гомоморфизм Ь в алгебру Ли дифференцирований алгебры а. В прямой сумме й К-Аьодулей а и Ь определим коммутатор двух элементов, полагая [(а, Ь), (а', Ь'Ц ([а, а'] + 1р а' — 1р,а, [Ь, Ь']), где а, а' из а, а Ь, Ь' из Ь. Очевидно, что этот коммутатор есть билинейная знакопеременная функция аргументов (а, Ь), (а', Ь'); покажем, что если взять три элемента (а, Ь) (а', Ь'), (а", Ь") из а Х Ь, то ' [(а, Ь), [(а', Ь'), (а", Ь")Ц + [(а', Ь'), Ца(, Ь'), (а, Ь)Ц + + [(а", Ь"), [(а, Ь), (а', Ь')Ц = О. (7) Так как первый член в (7) есть трилинейная знакопеременная функция (а, Ь), (а', Ь'), (а", Ь"), достаточно произвести проверку равенства в случае, когда система элементов имеет одну из следующих форм: В случаях (8) и (11) соотношение (7) является непосредственным следствием тождества Якоби в а и Ь.
В случае (9) имеем [(а, 0), [(а', 0), (О, Ь")Ц = [(а, 0), ( — ф а', 0)1 = ( — [а, фь. а'"], 0), [(а', 0), НО, Ь"), (а, 0)Ц = [(а', 0), (ф,„а, 0)1 = ( [а', фь. а), 0), [(О, Ь"), [(а, 0), (а', 0)Ц = [(О, Ь"), ([а, а'], ОЦ = (1р,„ ([а, а']), 0), н соотношение (7) следует из равенства 1р,,([а, а']) =[ф, а, а'1+ [а, 1р а']. (а, 0), (а', 0), (а", 0), (а, 0), (а', 0), (О, Ь"), (а, 0), (О, Ь'), (О, Ь"), (О, Ь), (О, Ь'), (О, Ь"), (8) (9) (10) (! 1) ь $ Ь ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕВР ЛИ !7 В случае (!0) имеем [(а, 0), [(О, Ь), (О, Ь")Ц = [(а, 0), (О, [Ь', Ь"[)[ = ( — 1р , а, О), [(О, Ь'), [(О, Ь"), (а, 0)[[ = ((О, Ь'), ~1р а, О)] = (фыф „а, 0), [(О, Ь"), [(а, 0), (О, Ь')[! = ~(0, Ь"), ( — 1Рь,а, 0)] = ( — 1Р „1Р,а, 0), и равенство (7) следует из 1Р[ь .
ьп = 1Рь'Рь" 1Рь-1Рь' Таким образом, на й определена структура алгебры Ли. Отображение (а, Ь):. Ь алгебры й на Ь является гомоморфизмом !ь, ядром которого служит идеал и, состоящий из элементов алгебры а вида (а, 0). Отображение а ~(а, 0) есть изоморфизм д алгебры а на п. Поэтому а— Ь 11 (12) является расширением Ь при помощи а с ядром и, про которое говорят, что оно канонически определяется через а, Ь, 1р. Отображение Ь «(О, Ь) есть изоморфизм ч алгебры Ь на подалгебру из й, дополнительную к и в й; поэтому расширение является несущественным, Отождествляя а с и при помощи Х и Ь с ч(Ь) при помощи т, для всех а ~а и Ь~ Ь получим (айЬ).а=[(0, Ь), (а, 0)[=(фьа, 0)=1рьа.
Если ф=О, то й — произведение алгебр Ь и а. В общем случае й называется полупрлмым произведением алеебры Ь на алгебру а (соответствующим гомоморфизму Ь1- 1рь алгебры Ь в алгебру Ли дифференцирований алгебры а). Мы, таким образом, установили следующее предложение: ПРедложение 7. Пусть а и Ь вЂ” две алгебры Ли над К, — несущественное расширение Ь при помощи а, ч — изоморфизм Ь на подалгебру алгебры й, такой, что !ь ~э — тождественный автоморфизм алгебры Ь, и р — соответствующий гомоморфизм Ь в алгебру Ли дифференцирований алгебры а. Пусть а — «йь — -«Б Ье Ре — несущественное расширение Ь при помощи а, канонически определенное .через 1р. Тогда отображение (а, Ь) « "А(а)+ч(Ь) Гл. ь Алгеьэы ли 13 является изоморфизмом йа на й и диаграмма ~и "б ,р . и коммутативна, так нто указанные два расширения эквивалентны. Пример 1.
Пусть й — алгебра Ли над К, г) — ее дифференцирование. Пусть 5 — коммутативная алгебра Ли К. Отображение А~-~Л0 (Л ен К) является гомоморфизмом б в алгебру Ли дифференцирований алгебры й. Образуем соответствующее полупрямое произведение 1 алгебры 1) иа алгебру й. Пусть хэ— элемент (О, 1) алгебры 1. Для всех хан й имеем )лх= [хм х1. Пример 2. Пусть й — алгебра Ли иад К, М вЂ” некоторый К-модуль, а р — гомоморфизм й в й1(М). Если рассматривать модуль М как коммутативную алгебру Ли, то ее алгебра дифференцирований есть просто й1(М).
Поэтому можно построить полупрямое произведение () алгебры й на М, соответствующее гомоморфизму р. Возьмем, в частности, й = й((М), и пусть р — тождественное отображение алгебры й((М). Полупрямое произведение а на М обозначается в этом случае через а1(М) (или а[(п, К), если М =К"). Элемент из а[(М) представляет собой пару (т, и), где т ен М, и ее й!(М), а коммутатор определяется формулой [(т, и), (т', и'Ц = (и (т') — и' (т), [и, и'1 ). 'Если М вЂ” векторное пространство конечной размерности над (т, то а1(М) канонически отождествляется с алгеброй Ли аффинной группы пространства М..„ Пусть 1 — алгебра Ли над К.
Линейное отображение 9 алгебры 1 в а[(М) может быть записано в виде х ~((ь(х), ц(х)), где ь — линейное отображение алгебры 1 в М и ц — линейное отображение Г в й((М). Выясним, какими свойствами должны обладать ь и ц для того, чтобы О было гомоморфизмом. Для всех х ен1, у ен1 должно выполняться равенство Е([х, у1) =[В(х), Е(уЦ, т. е (ь ( [х, у] ), ч ( [х, у] )) = [(ь (х), т( (х))„(ь (у), ч (у)Ц = =(ц(х).~(у) — т)(у).ь(х), [т1(х), п(уЦ).
Поэтому для того, чтобы О было гомоморфизмом алгебры ь У $ ь опРвделеиив АлгвБР ли !9 в а!(М), необходимо и достаточно, чтобы ц было гомоморфизмом 1 в 0!(М) и ь удовлетворяло соотношению ь((х, у]) =ц(х).~(у) — ц(у).~(х). (! 3) Пусть У есть К-модуль МХК. Возьмем за 1 подалгебру алгебры 01(У), образованную элементами ге ен 0((У), такими, что в(У) с=М. Для всех ге ен1 пусть т!(и) ен 0!(М) — ограничение в на М и пусть ь (з) = в (О„! ) ен М.
Для ю ен 1, ш„ен 1 имеем ~((во ю.])=ю,(ь(па)) —,(ь(ю))=ц(нч).ь(ю) — ц(ю).ь(ич). Поэтому отображение ге~ — ~(~(в), т!(в)) является гомоморфизмом 0 алгебры 1 в а!(М), Ясно, что 0 биекгивно. Пусть «р=0 . Если (т, и)ена!(М), то ~р(т, и) есть элемент э алгебры 1, определенный равенством э (т', а) = (и (т') + Ьи, О). С помощью изоморфизма ~р алгебра а!(М) часто отождествляется с подалгеброй 1 алгебры й! (У). *Если М вЂ” конечномерное векторное пространство над (т, то гомоморфизм ~р алгебры а!(М) в 0!(У) соответствует каноническому гомоморфизму ф аффинной группы А пространства М в группу 01.(У); если а ен А, то ф(п) — единственный элемент д группы 01.(У), такой, что п(гл, !) = (а(т), !) для всех т ~ М. Этот гомоморфизм инъективен н ф(А) есть множество автоморфизмов У, оставляющих на месте все линейные многообразия в У, параллельные М.„ У.
Замена кольца екаллрое Пусть Кз — коммутативное кольцо с единицей, р — гомоморфизм кольца Кз в К, переводящий единицу в единицу. Пусть 0 — алгебра Ли над К. Пусть, далее, 0' — алгебра, получающаяся из 0, если последнюю рассматривать как алгебру над Кь с помощью р (см. п' !). Тогда 0' — алгебра Ли. Все подалгебры (соотв. идеалы) алгебры й являются подалгебрами (соотв. идеалами) алгебры й'. Если а и 6 — подмодулн в 0, то взаимный коммутант [а, в] является взаимным коммутантом а и 6 в 0'„ п в самом деле, ]а, 6] — множество элементов вида ~ (хь у;], 1=! где х,еа, у,ый. Отсюда следует, в частности, что 2~0= =Я'0', (р~0=%'~0' для всех р. Далее, централизатор любого подмножества из 0 — один и тот же й в 0, и в 0'.
Поэтому $'рй=-Ж„й' для всех р. Пусть К, — коммутативиое кольцо с единицей, о — гомоморфизм кольца К в К„переводящий единицу в единицу. Пусть ГЛ. >. АЛГЕБРЫ ЛИ 2О й — алгебра Ли над К. Пусть, далее, й,, — алгебра над К„ получающаяся из й расширением кольца скаляров (см. и' 1). Тогда й,к) является алгеброй Ли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
