Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ы(и, К), п(и, К)) обозначаетсж подалгебра Ли алгебры М„(К), образованная треугольными (соотв. треугольными со следом нуль, соотв. нильтреугольнымиГ матрицами (Алг., гл. П, $6, и'5). *Пример 3. Пусть У вЂ” бесконечно дифференцируемое вещественное многообразие. Дифференциальные операторы с вещественными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами на У образуют ассоциативную алгебру над 11 и, следовательно„ в соответствии с примером 1 алгебру Ли Л над (х.
Коммутатор двух бесконечно дифференцируемых векторных полей на У есть. снова бесконечно дифференцируемое векторное поле, следовательно, бесконечно дифференцируемые векторные поля на У образуют подалгебру Ли 1 алгебры Л. Если У является вещественной группой Ли, то левоиивариантные векторные поля образуют подалгебру Ли й алгебры 1, называемую алгеброй Ли груалы У. Векторное пространство й отождествляется с касательным пространством к У в е (единичный элемент группы У) Пусть У' — другая вещественная группа Ли, е' — ее единичный элемент, й' — ее алгебра Ли.
Любой аналитический гомоморфизм многообразия У в У' определяет линейное отображение касательного пространства к У в е в касательное пространство к У' в е', это отображение является гомоморфизмом алгебры Ли й в алгебру Ли й'. Если У вЂ” линейная группа вещественного конечномерного пространства Е, то существует канонический изоморфизм алгебры Ли й!(Е) на алгебру Ли й группы У, с помощью которого й отождествляют с 9!(Е)., Опгвделение 2.
Пусть й — алгебра Ли и х — ее элемент Линейное отображение у ~ [х, у ! алгебры й в й называетса 1' Если модуль Е наделен структурой алгебры (не обязательно ассоциативной), то дифференцирования алгебры Е образуют алгебру Ли над К. 2' Если Е допускает конечный базис, то его эндоморфизмы со следом нуль образуют алгебру Ли над К, которая обозначается через Ы (Е) (или Ы(п, К), если Е = К").
3' Множество М„(К) квадратных матриц порядка и можне рассматривать как алгебру Ли над К, канонически изоморфную й!(и, К). Пусть (Еа) — канонический базис алгебры М„(К) (Алг., гл. П, $6, п' 2). Легко получить, что в ь опгвдвление Алгевг ли линейньии отображением, присоединенным к х, и обозначается через абрх или ай х. Пгвдложвнив 1. Пусть й — алгебра Ли.,7ля любого х чн й отображение аб х является дифференцированием алгебры Отображение х ~. аб х есть гомоморфиэм алгебры Ли й в алгебру Ли Ь дифференцирований алгебры й. Если О я В и х еи й, то [.11, зб х) = аб (1)х).
В самом деле, тождество (4) можно записать в виде (аб х) . [у, г) = [(аб х) . у, г) + [р, (аб х) . г), или (ай[х, у)).г=(абх). ((аду).г) — (ай у) ° ((абх) г), откуда вытекают два первые утверждения. С другой стороны, если 0 ен 5, х чн й, учи й, то [О, аб х).у =Р([х, у)) — [х, ду)— = 10х, у) = (аб Пх) . р, откуда вытекает последнее утверждение. Отображение адх называется также внутренним дифферен- ,цированием, определенным элементом х. ,8. Хоммутативнме алгебры Ли Опгвделвиие 3.
Говорят, что два элемента х, у алгебры Ли лерестановочны, если [х, у) = О. Говорят, что й коммутативна, если любые два ее элемента перестановочны. Пример 1. Пусть Š— ассоциативная алгебра, 1 — алгебра Ли, которая определена в и'2, пример 1. Два элемента х, у перестановочны в й тогда и только тогда, когда ху=ух в Е. *Пример 2. Если вещественная группа Ли 6 коммутативна, то ее алгебра Ли коммутативна. ь Каждый К-модуль можно, очевидно, единственным образом наделить структурой коммутативной алгебры Ли над К. Если й — алгебра Ли, то любой ее моногенный подмодуль является коммутативной подалгеброй в й.
4. Идеалы Из тождества (3) следует, что в алгебре Ли й нет разницы между левыми и правыми идеалами и любой идеал является двусторонним. Поэтому мы будем говорить просто об идеалах. "Пример. Пусть 6 — группа Ли, й — ее алгебра Ли, Н вЂ” подгруппа Ли в 6. Любое левоинвариантиое векторное поле на Н канонически определяет левоинвариантное векторное поле на 6, что влечет за собой наличие канонического вложения алгебры Ли () группы Н в й; посредством этого вложения () отожде- 12 ГЛ. Е АЛГЕБРЫ ЛИ ствляется с подалгеброй алгебры 9.
Если Н нормальна в б, то канонический образ Ь в 9 является в последней идеалом, ь Идеал алгебры 9 является ее подмодулем, устойчивым относительно ее внутренних дифференцирований. ОНРеделение 4. Подмодуль алгебры 9, устойчивый относительчо всех ее дифференцирований, называется характеристическим идеалом в 9. ПРедложенне 2. Пусть 9 — алгебра Ли, а — ее идеал (соотв. характеристический идеал) и Ь вЂ” характеристический идеал алгебры Ли а, Тогда Ь вЂ” идеал (соотв.
характеристический идеал) алгебры 9. В самом деле, любое внутреннее дифференцирование (соотв. любое дифференцирование) 9 отображает а в а и индуцирует в о дифференцирование, а поэтому отображает и Ь в себя. Пусть 9 — алгебра Ли. Если а и Ь вЂ” идеалы в 9, то аПЬ и а+ 9 — идеалы в 9.
Пусть а и Ь вЂ” подмодули в 9, Допуская вольность в обозначениях, символом [а, Ь] обозначим подмодуль модуля порожденный элементами вида [х, у] (х ен а, у ен Ь). Вследствие тождества (3) выполняется равенство [а, Ь]=[Ь, а]. Если Е~9, то под [г, а], или [а, е], будем понимать подмодуль [Кг, а]= = (ай г) (а). Пведложение 3. Если а и Ь вЂ” идеалы (соотв.
характеристические идеалы) алгебры 9, то [а, Ь] — также идеал ') (соотв. характеристический идеал) в 9. В самом деле, пусть П вЂ” внутреннее (соотв. произвольное) дифференцирование алгебры 9. Если х ~ а и у ~ Ь, то 0([х, у]) =[Пх, у]+ [х, Пу] ~ [а, Ь], откуда следует доказываемое утверждение, Если а — подмодуль в 9, то множество х ен 9, таких, что (ай х).ос: а, есть подалгебра и алгебры 9, называемая нормали- затором а в 9. Если, кроме того, а — подалгебра алгебры 9, то а с= п н а — идеал в п.
5. Производный ряд, нижний центральный ряд Характеристический идеал [9, 9], обозначаемый через Я9, называется производным идеалом (или коммутантол1) алгебры 9. Любой подмодуль в 9, содержащий '9)9, являетсн идеалом в 9. ') Он називается взанмныи коммутаитом о з 6. — Прим. перез. $ ь ОЛРаделвнне Алгввг лн Производным рядом алгебры й называется убывающая последовательность !х)ьй,Я~9,...
характеристических идеалов в й, рекурреитно определяемых следующим образом: 1) 2)ьй = й; 2) У" й=Ь6'й ~)'Й Нижним (или убываюи1им) центральным (тядом алгебры называется убывающая последовательность Ж й, 'э"зй, ... характеристических идеалов, рекуррентно определяемых следующим образом: 1) %~й=й; 2) Ж'"'й=(й, ЖЯ Имеем Уй=Уй и Жь+'й:з Яьй для любых р, что немедленно доказывается индукцией по р.
Пгадложпнип 4. Пусть й и () — две алгебры Ли над К и /— гомоморфизм й на (). Тогда /(Я'й) =Же(), /(чурй) =й'1). Если а и 6 — подмодули в й, то обязательно /((а, ь()= = 1/(а), /(ь)). Утверждение доказывается теперь непосредственно индукцией по р. Следствия. Пусть й — алгебра Ли, а — идеал в й. Длл того чтобы алгебра Ли й/а была коммугагивной,необходимо и достаточно, чтобы а ~ Яа.
В самом деле, безразлично, сказать ли, что а/а коммутативна или что Я(й/а)=0. Однако У(й/а), согласно предложению 4, является каноническим образом Яй в й/а. б. Верхний центральный ряд Пусть й — алгебра Ли и Р— подмножество в й. Централи- затором Р в й называется совокупность элементов из й, перестановочных с этим множеством Р. Централизатор есть пересечение ядер отображений ад у, где у пробегает Р, а потому является подалгеброй в й. Ппвдложпнив 5.
Пусть й — алгебра Ли, а — идеал (соотв. характеристический идеал) в й. Ценгрализатор а' идеала а в й есть идеал (соотв. характеристический идеа4 алгебры й. В самом деле, пусть П вЂ” внутреннее (соотв. произвольное) дифференцирование алгебры й. Если хана' и у аз, то (Пх, у) = П (1х, у)) — (х, Пу1 = О, откуда Пх ен а'. Предложение доказано. Пусть й — алгебра Ли. Центром алгебры й называется централизатор й в а, т. е. характеристический идеал, состоящий из таких элементов х ен й, что (х, у) =0 для всех у чи й. Центр алгебры й является ядром гомоморфизма х~-э абх. 14 ГЛ. Ъ АЛГЕБРЫ ЛИ Верхним (илн возрастающим) центральным рядом алгебры й называется возрастающая последовательность Юьй, Ж1й, ...
характеристических идеалов й, рекуррентно определяемых следующим образом: 1) Уьй=(0); 2) Жр+10 есть прообраз центра алгебры й/Ж й при каноническом отображении й на й(Ж й. Идеал Ю,6 является центром алгебры а. 7. Расъиирения Оп~еделение 5, Пусть а и Ь вЂ” две алгебры ЛЪ над К. Расширением Ь при по41ощи а (или посредством а) называется последовательность, а — »а — »ь, Ъ Р где й — алгебра аи над К, 1ъ — сюръективный гомоморфизм й и! Ь и Л вЂ” инъективный гомоморфизм а на ядро 1ъ. Ядро и гомоморфизма 1ъ называется ядром этого расширения. Гомоморфизм Л является изоморфизмом алгебры а на и, а гомоморфизм 1ъ определяет прн факторизации изоморфизм й/я иа Ь.
Допуская вольность речи, говорят также, что й является расширением Ь при помощи а. Два расширения а — а — ь,а 'й — 'ь Ъ Р Ъ называются эквивалентными, если существует гомоморфизм Г алгебры й в й', такой, что диаграмма й Ъ "ъЬ Р 6 коммутативна (т. е. что 1оЛ=Л', 1ъ'»1=1ъ). Покажем, что любой такой гомоморфизм обязательно баективен. Прежде всего, 1 ннъективен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
