Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 6

Пусть Р— подмодуль многочленов степени (» р. Докажем сначала несколько лемм. (Для краткости будем писать А М, если А - и для всех компонент 11 последовательности М.) Лемма 1. Для любого целого р~)0 существует единственный гомоморфизм 1 К-модуля й ЭкРр в К-модуль Р, удовлетворяющий следующим условиям: (А,) 1р(ХА Э г,и) =гьхм длЯ Л»~М, хм ии РР; (Вр) 1р(хк Э г,и) — гххм еи Ре длн гм ен Рр У (» Р' (Ср) 1р(хАЭ1р(ХРЭзн))=1р(хвЭ1Р(хАЭгн))+1р([хь, хм) Э хи) для г„еи Р,, (Третий член в (С ) имеет смысл ввиду условия (Вр).) Кроме того, ограничение гомоморфизма 1 на й Э РР, совладает с 1 Последнее утверждение вытекает из предыдущих, поскольку ограничение 1р на й Э„ Р , удовлетворяет условиям (А ,), (Вр,), (С„,).

>"'1ы будем доказывать существование и единственность 1р индукцией по р. Для р = 0 из (Ао) следует, что 1о(ХА Э 1) = зы а тогда условия (В,) и (С,) очевидным образом удовлетворяются. Предположим теперь доказанными существо- ванне и единственность 1Р 1. Покажем, что 1р 1 допускает, и пРитом единственное, пРодолжение 1 на й Эк Рр, Удовлетворяющее условиям (А ), (В ), (С„). 7 $ Б УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА АЛГЕБРЫ ЛИ Еэ Л1ы должны определить 1 (»А Э гм) для неубывающей последовательности М из р элементов. Если Л <М, выбор определяется условием (Ар). В противном случае М единственным образом записывается в виде (р, М), Где и < Л, и (» М. Тогда гм — — гр,„ = [Р ,(хр ® г„) соГласно (А ,), так что левая часть (Ср) есть [ (х„ 8 гм). Между тем правая часть (Ср) уже определена.

В самом деле, (В ,) может быть записано в виде [р (Х~ (9 гЛ) ] (ХА ® гч) гьг ~ + где ю~Р и Поэтому правая часть (Ср) должна равняться грг«гл + [Р, (хр Э и) + [Р, ( [хА, х„] Э г„). Итак, [р определен единственным образом и удовлетворяет, очевидно, условиям (Ар) и (Вр). Условие (С ) выполняется, если р <Л и в<АГ. Так как [х„, «А]= — [«А, хр], то усло- вие (Ср) также имеет место и для Л <)А, Л~ (М. Так как (Ср) тривиально выполнено при Л = и, то (Ср) выполняется, если Л< Л~ или в~(У. Если никакое из этих неравенств не выпол- няется, то )ч'=(ч, Я), где ч~((], ч < Л, ч < в. Полагая впредь для краткости Г (х Э г) = хг для х ~ й и г ен Рр, имеем по пред- положению индукции х рг х = хр (хчго) = хч («рго) + [хр ~ хч1 го.

ОДнако хргс имеет виД гргч+Гэ, ГДе шеи Р ~. Условие (Ср) применимо к ХА(х,(грго)), поскольку У <Я и ч < р, к ХА(«,ГБ) по предположению индукции и, стало быть, оно применимо и к х„(х (хрго)). Отсюда х„(хргл) = х («А (хрго)) + [хА, хч] (хрго) + [х„, х 1 (ххго) + + [ХЫ [»„, «УЦго. Меняя местами Л и н и вычитая почленно, получим ХА (Хргх) Хр (ХАЕЛ) = Хч (ХА (Хргс) Х (ХАЕО)) + + [ХА, [Хр, ХУЦЕО [Хр, [ХА, ХУЦЕО = =х ([»А, х ]го)+ [хА, [х, х,Цго+[х, [х, ХАЦ го —— = [Хм «р] (Хчгп) + ( [Хч1 [Хы ХРЦ + [Ххь [Хр~ «чЦ + [Хр~ [Хч, «АЦ ) гч и в силу тождества Якоби »А (х„гл) — хр (»Агл) = [хх, х„] г„, что и завершает доказательство леммы 1. ГЛ.

1. АЛГЕБРЫ ЛИ Лемма 2. Существует а-отображение а алгебры й в Ы'к(Р)„ такое, что 1' в(хь)гм — — гхги для Х(~М; 2' а(хх)гм= — гхгм(гпойРР), если М состоит из р элементов. В самом деле, по лемме 1 существует гомоморфизм К-модуля й ЭкР в Р, удовлетворяющий для любого р условиям (Ар), (Вр), (Ср) (где !р заменяется на 1). Он определяет гомоморфизм о К-модуля й в К-модуль ъ"к(Р), причем последний является а-отображением в силу условия (Ср). Наконец, и удовлетворяет 1' и 2' леммы в силу (Ар) и (Вр). Лемма 3.

Пусть 1 — тензор из Т„П1. Однородная компонента 1„степени и этого элемента лежит в ядре 1 канонического гомоморфизма Т ь 5. 1 В самом деле, запишем 1„в виде ~ хмр где М! — последо! вательности из и элементов множества Л. Отображение а продолжается до гомоморфизма алгебры Т в алгебру к к(Р) (который мы также обозначим через о), нулевого на 1. По лемме 2 в(1). 1 является многочленом, в котором членами наивысшей степени Г будут ~ г,чс Так как 1~1, то а(1)=О, откуда ~.,хм,—— О в Р.

! ! 1=! В то же время благодаря выбору базиса (хх) в й Р канонически отождествляется с Я. Поэтому канонический образ компоненты 1„в 8 равен нулю, т. е. 1„~1. Теперь мы можем доказать теорему 1. Нужно показать, что канонический гомоморфизм 8 на 6 инъективен. Иначе говоря, если 1гя Т и если ф — канонический гомоморфизм Т на У, то нужно показать, что условие ф(1) яУ„, влечет за собой 1е-=1. Однако ф(1) ~ У„, означает, что существует элемент У еп Т„„ такой, что 1 — 13 ен1. Но 1 является однородной компонентой степени и тензора 1 — 1', поэтому по лемме 3 1 ~1. Слвдствив 1. Предположим, что й — свободный К-модуль.

Пусть Ж' есть К-подмодуль в Т". Если в обозначениях диаграммы (3) ограничение т„на Ч7 есть изоморфизм Ч7 на 5", то ограничение ф„на Ф' есть изо.иорфиэм )1!" на дополнение к У„, в У„. В самом деле, ограничение на ЧГ отображения м„Р т„является биекцией БГ на 0"; то же самое поэтому можно сказать про ограничение 8„ я ф„ на ат". Отсюда и выводится следствие.

Слвдствив 2. Если й — свободный К-модуль, то каноническое отображение алгебры й в ее универсальную обертывающую алгебру инъективно. 7 э а униВеРсАльнАя ОББРТЫВАюшАя АлГеБРА АлГеБРы ли 31 ул ,Вл чл а" Глл (4) 5л где каждая стрелка обозначает изоморфизм векторных простРанств. Если х„хул ..., хл — элементы из а, то Г1„пеРевоДит Это вытекает из следствия 1, если положить Б7=Т'. Когда й является свободным К-модулем (в частности, когда К вЂ” поле), й отождествляют с подмодулем в У при помощи канонического отображения й в У. Это будет подразумеваться в дальнейшем, начиная с ближайшего следствия. Следствиг. 3. Если (хх) р — совершенно упорядоченный базис алгебры й, то элементы хх,х; ...

хх св универсальной обертывающей алгебры У, построенные при всевозможнь!х конечных неубывающих последовательностях (рь ..., А„) элементов из Л, образуют базис К-модуля У. Пусть Лл — множество неубывающих последовательностей из п элементов множества Л.

Для М=(А!...., А„) ~Лл пусть у,и=х,, чэ х,, З... З х, Предположим, что Б7 — подмодуль в Т", . базисом которого является (у,н)м . Следствие 1 показывает, л что ограничение фл на йт есть изоморфизм Ф на дополнение к Ул , в Ул. Между тем лР„(ум) =хх,х,„ ... хх, что и влечет за собой требуемое утзерждение. Следствие 4. Пусть 5'л ~ Т" — множество симметрических однороднь!х тенэоров степени п. Предположим, что К вЂ” поле характеристики О, Тогда произведение канонических отображений 5" -л 5'л -л У„ является изоморфиэмом векторного пространства 5" на дополнение к Ул, в Ул. Это вытекает из следствия 1, если положить )(7=5'".

В дальнейшем будем предполагать, что К вЂ” поле характеристики О. Пусть Г1„— только что определенное отображение 5" в Ул. Пусть У"=Г1,(5"). Вектопьное пространство У является прямой суммой надпространств У . Изоморфизмы т)„ определяют изоморфизм Г1 векторного пространства 5 = ~ 5" на векторное л пространство У = Х У", называемый каноническил! изоморфизл мом 5 на У; он не является изоморфизмом алгебр. Имеем коммутативную диаграмму ГЛ. !. АЛГЕБРЫ ЛИ произведение х!хэ ... х„, вычисленное в о, в элемент ! — х„о>х„<э! ... х„!„!, вычисленный в У. О не Слидствие 5. Пусть () — подалгебра алгебры Ли й и У' — ее универсальная обертывающая алгебра.

Предположим, что К-мо- дула () и ф5 свободны (например, что К вЂ” поле). Пусть (х„), базис в ч и (у )„— семейство элементов из й, канонические образы которых в йД образуют базис модуля йф. а) Канонический гомоморфизм У в У инвективен. б) Если М совершенно упорядочено, то элементы уэ ...

уе, 1 е где ~,« (... («Ц, образуют базис в У, рассматриваемом как левый (или правый) модуль над У'. Наделим Ь Ц М структурой совершенного порядка так, чтобы любой элемент из Е был больше любого элемента из М. Элементы х,,х,, ... х, вычисленные в У' (где а, < ... «(ар), образуют базис в У' (следствие 3). Элементы х, ... х, уе ... уь, 1 р ~ ч вычисленные в У (где а, < ... «(ар(«р! «( ... <«()ц), точно так же образуют базис в У. Следовательно, канонический гомоморфизм У' в У переводит элементы базиса У' в линейно независимые элементы из У и поэтому инъективен. Видно, кроме того, что уз ...

уь (где и, « ... 6) образуют базис в У, 1 д ! ''' ч рассматриваемом как левый У'-модуль. Упорядочивая Е()М так, чтобы любой элемент из Е был больше любого элемента из М, можно точно так же убедиться в том, что у ... уь (где в1 ьч (), ( ... <«рр) образуют базис в У, рассматриваемом как правый У'-модуль. Находясь в условиях следствия 5 и используя канонический гомоморфизм У' в У, можно отождествить У' с подалгеброй в У, порожденной ч. Следствие 6. Предположим, что К-модуль й является прямой суммой подалгебр й„й„..., й„и что каждое слагаемое а;— свободный К-модуль.