Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 7

Пусть У! — универсальная обертывающая алгебра для а, (! «<!«(и). Пусть ф есть К-линейное отображе- ние К-модуля У, Зк ... Эх У„в У, индуцированное полилиней- ным отображением (и„..., и„) — >и, ... и„декартова произведе- ния У!Х .. ХУ„в У. Тогда <р — изоморфиэм К-модулей. Пусть (х!) — базис в йь Совершенно упорядочим Е! () ...

АИБ! ...()Е„так, чтобы любой элемент из Е! был больше любого элемента из Е! при 1~!'. Тогда элементы (х' х„' ... х' ) Э ... ® (х, х", ... х„"), 2 2 2. УниВБРсАльнАЯ ОББРТЫВАюЩАЯ АлГеБРА АлГББРы ли ЗЗ ГДЕ /(1 </(2»< ... <»3р» (... »<У1»<т2»<... <т, Образуют базис в У, Зк ... ЗХУ„. Они переводятся отображением (р в элементы ХА ХА ... ХА1 ... Х' Х ... Хл р р образующие базис в У. Это и доказывает следствие. Следствие 7. Если К вЂ” целостное кольцо и й — свободный К-модуль, то алгебра У не имеет делителей нуля. В самом деле, 6 изоморфна алгебре многочленов над К (теорема 1) и, следовательно, не имеет делителей нуля (Алг., гл. 1Ч, $1, п'4, теорема 1).

Отсюда и вытекает следствие (Комм. алг., гл. 1П, $2, п'3, предложение 1). 8. Продолжение дифференцирований Лемма 4. Пусть )/ есть К-модуль, Т вЂ” тензорная алгебра модуля у'. Пусть и — эндоморфизм модуля у'. Существует, причем только одно, дифференцирование алгебры Т, продолжающее и. Это дифференцирование коммутирует со всеми операторами симметрии на Т. Пусть Р= у'Х Ч Х ... Х 'у' (и сомножителей).

Отображение (х(, ..., хл) ~-~их1 З х2 З ° ° ° З х„+ Х1З их2 ® ... З х„+ + х1 З х2 З ° ° З их„ множества Р в Я) у' полилинейно. Поэтому существует эндол морфизм и„модуля ® 1', такой, что и„(х, З ... З х„)=их, З ... З х„+ ... +х, З ...

З их„ для любых х,, ..., х„из Ч. Имеем и,=и. Пусть о — эндол морфизм К-модуля Т, совпадающий с и„на каждом Т"=Я'у и обращающийся в нуль на Ть=К.1. Покажем, что о — дифференцирование алгебры Т. Если х„ ..., х„, у„ ..., ур — элементы из )т, то о((х, З ... З х„) ® (у, З ... З у ))— =Ех(З ... Зх1,Зих,Зх„.,З ... ®х„®у,® ®у + 1-1 + с' х(З Зх„Зу1З . Зу/,Зиу/®у/.„З ...Зу / =о(х,З ... ®х)®(у З Зу) 1 +(х,З ... Зх)Зо(у,® ... Зу) 2 Н. Бурбаки ГЛ. !.

АЛГЕБРЫ ЛИ По линейности отсюда легко вывести, что ц — дифферен- цирование. Его единственность очевидна. Ясно, наконец, что и перестановочно со всеми операторами симметрии в Я У, откуда вытекает и последнее утверждение. Пнедложение 7. Пусть й — алгебра 7и, У вЂ” ее универсальная обертывающая алгебра, о — каноническое отображение й в У и Р— диффе, енцирование алгебры й. а) Существует, и притом только одно, дифференцирование Рц алгебры У, такое, что аР0=РцРо (говорят, что Рц продол- жает Р, если отождествить й с подмодулем У при помощи о).

б) Рц оставляет на месте У„и множество У" образов в У симметрических тензэров степени п из Т. в) Рц коммутирует с главным антиавтоморфизмом алгебры У. г) Если 0 — внутреннее дифференцирование й, определенное элементом к из й, то Рц — внутреннее дифференцирование ал- гебры У, определенное элементом ц(х).

В самом деле, пусть Рт — дифференцирование тензорной алгебры Т модуля й, продолжающее Р (лемма 4). Двусторонний идеал Т алгебры Т, порожденный элементами х Э у — у Э х — [х, у1 (х, у из й), устойчив относительно Рт. Действительно, Рт (х Э у — у Э х — [х, у) ) = Рх Э у — у Э Рх — [Рх, у) + +х Э Оу — Ру Эх — [х, Ру]. Посредством факторизации Рт индуцирует дифференцирова- ние Рц алгебры У, такое, что о Р Р =РцРв.

Единственность Оц очевидна, поскольку 1 и а (й) порождают алгебру У. Утвержде- ние б) очевидно. Для доказательства в) рассмотрим главный антиавтоморфизм алгебры У. Если хь..., х„— элементы из й, то РцА(а(х)) ... а (х„)) =,0ц (( — 1)" ц(х„) ... а(х))) = =( — 1)" л а(хь) .. Рц(а(х!)) ... в(х))= ! 1 Р =( — 1)" Х ц(х„) ... а(Рх)) ... в(х,) = г, А(Р' 1,)... )Р,)...

1„))= М! = АРц (а (х)) . о (хч)). Наконец, пусть хен й. Пусть Ь вЂ” внутреннее дифференциро- вание у)-~ц(х)у — уа(х) алгебры У (Алг., гл. 1Ч, $4, и'3, пример 2). Если х' ен й, то (Л ° а)(х') =а(х) а(х') — о(х')ц(х)= п([х, х'])=(аР абх)(х ), откуда ЬРа=цР абх. Это и завер- шает доказательство. у $ е униВеРсАльнАя ОБеРтыВАющАя АлГеБРА АлГеБРы ли зч Применяя предложение 7 к случаю коммутативной алгебры Ли, можно убедиться в том, что любой эндоморфизм и К-модуля продолжается единственным образом до дифференцирования симметрической алгебры этого модуля; это дифференцирование индуцируется посредством факторизации дифференцированием тензорной алгебры, продолжающим и. Пусть снова й — алгебра Ли над К, и пусть 0 — ее дифференцирование. Будем использовать обозначения Т, 5, (Х, О, введенные выше.

Пусть Рт, Рз †дифференцирован Т, о, продолжающие 0, и пусть Рц — единственное дифференцирование (Х, такое, что о БР=Оцупа. Так как (Х„ устойчиво относительно Рц, то оно индуцирует посредством факторизации дифференцирование Ро алгебры О. Так как Рц и Рз индуцируются дифференцированием Рт посредством факторизации, то комму"- тативная диаграмма (3) показывает, что .0о может быть также индуцировано Рз при гомоморфизме в, определенном в п'6.

Если, кроме того, К вЂ” поле характеристики О, то изоморфизмы диаграммы (4) переводят друг в дрлчга ограничения дифференцирований Рт, Рз, Рц, Ро на 5'", о, (Х", 6". Поэтому канонический изоморфизм 8 на (Х переводит Рз в Рц, у. Расширение основного кольца Пусть й — алгебра Ли над К, Т вЂ” ее тензорная алгебра, Х вЂ” двусторонний идеал в Т, порожденный элементами х З у— — у З х — [х, у] (х, у из й) и (Х= ТХХ. Пусть К, — коммутативное кольцо с единицей и о — гомоморфизм К в К„переводящий 1 в 1. Тогда тензорная алгебра й, канонически отождествляется с Топь Пусть Х' — двусторонний идеал в Т~юь порожденный элементами х' З у' — у' З х' — [х', у'] (х', у' нз 6,„,). Ясно, что канонический образ Х~хз в Т~кз содержится в Х'.

Чтобы увидеть, что он равен Х', достаточно показать, что если х' и у' — элементы из й,хз то х'З у' — у'З х' — [х', у'] принадлежит этому образу. Имеем х' = ~ х; З Хь у' = ~ у~ З рт (хь у~ из й, йь !АГ из К|), откуда х' З у' — у' З х' — [х', у'] = Е(х З У~ УуЗ хс [Аь уу]) З )чин что и доказывает наше А / утверждение.

Установив это, мы можем отождествить канонически (Х<кз =(Т[Х) ко с Т<к, ХХ" универсальная обертываютцая алгебра для й„> канонически отождествляется с (Х,„з, а каноническое отображение й,„~ в ее универсальную обертывающую алгебру отождествляется с о З ! (если через а обозначить каноническое отображение Я в (Х). ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ $3. Представления л.

Представления Опвнднлннин 1, Пусть й — алгебра Ли над К и М является К-модулем. Гомоморфизм. й в алгебру Ли 21(М) называется представлением й в модуле М. Инъективное представление называется точным. Если К вЂ” поле, то размерность (конечная или бесконечная) модуля М над К называется размерностью представления.

Представление х ~.абх алгебры й в К-модуле назь1вается ее присоединенным представлением. Представление й в М является, таким образом, К-линейным отображением р алгебры й в модуль эндоморфизмов модуля М, таким, что для любых хенй, у~й, тен М р((х, у]), т=р(х)р(у). т — р(у) р(х). т. ' Пример. Пусть П вЂ” вещественная группа Ли, й — ее алгебра Ли, 0 — аналитическое представление 6 в вещественном векторном пространстве Е конечной размерности. Тогда соответствующий гомоморфизм й в й!(Е) является представлением алгебры й в Е., Пусть У вЂ” универсальная обертывающая алгебра для Предложение 1 5 2, и'1, задает взаимно однозначное соответствие между множеством представлений й в М и множеством представлений У в М.

С другой стороны, известно (Алг., гл. ИЦ, $ 13, и' 1), что понятие представления ассоциативной алгебры У эквивалентно понятию левого У-модуля. Опгедилеиин 2. Пусть й — алгебра Ли над К, У вЂ” ее универсальная обертываюи(ая алгебра. Левый унитарный модуль над У называется левым й-модулем, или просто й-модулем. Если М есть й-модуль и если х е= У, то через хм будем обозначать гомотетию модуля М, определенную при помощи х (см. Алг., гл. И11, 5 1, и'2). Правый унитарный модуль над У называется правым й-модулем. Такой модуль отождествляется с левым Уч-модулем, г. е. ($2, и' 4) с левым йь-модулем. Пусть 41 — главный антиавтоморфизм алгебры У.

Если М— правый й-модуль, то он наделяется структурой левого й-модуля, причем а.т=т .~р(а) для т ен М и а ен У. Можно перевести на язык представлений понятия и результаты теории модулей: 1) Два представления р и р' алгебры й в М и М' называются подобными или изоморфными, если й-модули М и М' изоморфны. l 5 3. ПРвдстьвлвння зт Для этого необходимо и достаточно, чтобы существовал изоморфизм и К-модуля М на К-модуль М', такой, что р' (х) = и о р (х) а и-' при х еи й. 2) Пусть для каждого 1 еи 1 р~ — представление й в Мь Пусть М есть я-модуль, являющийся прямой суммой й-модулей Мь Ему соответствует представление р алгебры й в М, называемое прямой суммой р, и обозначаемое через )' р, (или р, 9 ... Юр„ !ЩИ в случае и представлений р„ ..., р„). Если тп = (т,), — элемент из М и х ен й, то р(х). т=(р,(х).

п1,), 3) Представление р алгебры й в М называется простым или неприводимым, если а-модуль, соответствующий ему, прост. Это равносильно тому, что не существует К-подмодуля модуля М (отличного от нуля и М), устойчивого относительно всех р(х), х еи й. Класс простых й-модулей (Алг., гл. 1П, $3, и' 2) определяет класс неприводимых представлений алгебры й, 4) Представление р алгебры й в М называется полупростым, или вполне приводимым, если соответствующий й-модуль полу- прост.

Это равносильно тому„что р подобно прямой сумме простых представлений или что любой К-подмодуль модуля М, устойчивый относительно всех р(х) (х еи й), обладает дополнением, устойчивым относительно тех же эндоморфизмов (Алг., гл. ЧП1, $3, п'3). 5) Пусть 6 — класс неприводимых представлений алгебры й, соответствующий классу С простых й-модулей. Пусть, с другой стороны, р — некоторое представление й в М.