Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики)

лстилглтвв зс1В!9т1Рщииз кт гыоизтвжыз 12%, 1349 Й1 ЙМЕХТЯ 0Е МАТНЙМАТ1ЯУЕ раг Х. ВОП~ВАК1 Раас!си!ее ХХгг1, ХХХХХ!1 6К0$3РЕЬ ЕТ АИюЕВКЕЬ РЕ 1ЛЕ снаогг!ге ! Л1.ОйВККЬ ВВ 1.1И снаогт!ге и ЛЫйВКВ9 ВВ 1.1И ЫВККЗ снАРгт!!е н! ОКООРИЬ ВВ 1.1И НВКМАгг!е 156, Вои1ечаг!! Ба!и1-Оегага!и, Раг!в 71 1971, 1972 УДК б12; 019ИВ Кннга входит в завоевавшую мировое признание энцнклопедню современной математики «Элементы математики», созданную группой французских ученых, выступающих под псевдонимом Н. Бурбаки, В 1972 г. издательством «Мнр» был выпущен перевод гл.117 †Т книги «Группы н алгебры Ли», а сейчас предлагается перевод ее начальных глав (в таком же порядке выходнлн французские нада.

ння): Книга отражает самые современные результаты в этой области. В ней нмеетсн обшярный материал по теории алгебр Ли, свободных ал. гебр Лн н групп Ли. Книга предназначена для широкого круга математиков различных специальностей — от студентов до научных работников. Редакция литературы по математическим наукам © Перевод на русский язык, «Мнр», 197б.

90900 — 070 ВБ — 70 041(01) — 7В Н. БУРБАКИ Группы н алгебры Лн Редакторы Д. Борисова н Г. Цукерман Художественный редактор В. Шаповалов. Текннческнй редактор Б. Поганенкова .СДаНО З НабОР 23Л 2976 Г. ПОДОНСаза К ПЕ«етм 26/П 1976 Г, БУМаГа 16 2 60Х90цм - 16,№ бум. л. 21.0 неч. л. у«..кзд. л. 61,90 изд. № шьи цена 2 р 46 к. Бак. 612 ИЗДАТБЛЬСТВО «МИР» Москва. 1-й Рнжскнй неро 2 Ордена Трудового Красного Знзмени Леакнградскзк тнсографнк зй 2 имена Явгенкк Соколовой Сожзоолкгрзфнрома нрн государственном комнтете Совета Ммнк«гров СССР но делам нздагельстз, солнгрзфкн н кннжзоя торгозлн 196062, Леакнград, Л-62, Измайловский нроснект, 29, ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА Б 1972 г.

издательством „Мнр" был вйпущен перевод глав 1Ч вЂ” Ч! книги Н. Бурбаки „Группы и алгебры Ли", входящей в известный трактат „Элементы математики". Французское издание этих глав относится к 1968 г. Ко времени работы над русским изданием гл. 1Ч вЂ” Ч! начальные главы книги еще не были полностью опубликованы, и тогда пришлось нарушить привычный порядок издания. Настоящий выпуск заполняет образовавшийся пробел: он содержит перевод трех первых глав книги. Французские издания этих глав вышли в разное время: гл.

1 — вторым изданием в 1971 г., гл. П и 111 — первым изданием в 1972 г. Глава 1 посвящена алгебрам Ли, гл. П вЂ” свободным алгебрам Лн и гл. !П— группам Ли. Логическая зависимость этих глав от других частей трактата указана в примечаниях в начале глав. Короткое авторское введение имеется в гл. ГЧ вЂ” Ч! (см. русское издание 1972 г.); в этих начальных главах авторское введение отсутствует. ГЛАВА 1 АЛГЕБРЫ ЛИ В параграфах 1, 2 и 3 К обозначает коммутативное кольцо с единицей.

В параграфе 4 К обозначает поле. В параграфах 5, 6 и 7 К обозначает поле характеристики О'). 5 1. Определение алгебр Ли 1. Алгебры Пусть М вЂ” унитарный модуль над К, снабженный билиней.ным отображением (х, у) ь-' ху произведения М Р', М в М. Тогда выполняются все аксиомы, определяющие алгебры, за исключением ассоциативности умножения. Допуская вольность речи, товорят, что М вЂ” не обязательно ассоциативная алгебра над К или, если нет опасности возникновения недоразумений, просто что М вЂ” алгебра над К. В настоящем параграфе мы будем использовать эту последнюю терминологию.

Если наделить К-модуль М умножением (х, у) ьух, можно по.лучить еще одну алгебру, про которую говорят, что она противоположна к ранее введенной. К-подмодуль У модуля М, устойчивый относительно умножения, очевидным образом наделяется структурой алгебры над К. 'Говорят, что У есть подалгебра алгебры М. Кроме того, говорят, что У является левым (соотв. правым) идеалом алгебры М, если из того, что х я У, у еи М, следует, что ух еи У (соотв.

ху ~ У). Если У вЂ” одновременно и левый и правый идеал, то говорят, что он — двусторонний идеал алгебры М. В этом случае умножение в М позволяет определить посредством факторизации билинейное умножение в фактормодуле М/У таким образом, что М/У наделяется структурой алгебры. Говорят, что ,М/У является факторалгеброй алгебры М по идеалу У. Пусть М, и М, — две алгебры над К и ~р — отображение М, в Мз. Говорит, что ~р — гомоморфизм, если оно К-линейно и если <р (ху) = ~р (х) ф(у) для х я М„у я М,.

Ядро ф является двусторонним идеалом в М„а его образ — подалгеброй алгебры Мз. ') Теоремы, доказываемые в настоящей главе, опираются исключительно не результаты, полученные в книгах 1 — 'з'1, и не несколько результатов из .Комм. алг., гл. П1, з 2. Гл. ь Алгавгы ли При факторизации ф определяет изоморфизм алгебры М!1У на алгебру !р (М,).

Пусть М вЂ” алгебра над К. Отображение .Р алгебры М в М называется дифференцированием этой алгебры, если оно К-линейно и если 0 (ху) =(Рх) у + х(0у), как только х ен М и у ен М. Это определение обобщает определение 3 из Алг., гл. 1Н, $ 4, и' 3. Ядро дифференцирования алгебры М является подалгеброй в М.

Если Р, и Оз †' дифференцирования алгебры М, то 0,0 — 0,0, — также дифференцирование М (см, Алг„ гл. !Н, 5 4, и' 3, предложение 5; доказательство этого утверждения не использует ассоциативности алгебры). Пусть М, и М, — две алгебры над К. В модуле М = М, Х Мм являющемся произведением модулей М, и М„ определим операцию умножения, полагая (хо хз)(у„у,)=(х!у„хауз), если хо у! — элементы из М„а х,, уз — элементы из Мм Алгебра, определенная таким образом, называется произведением алгебр М, н Мэ Отображение х, ! ——: : (хо 0) (соотв. х, «(О, хз)) является изоморфизмом М, (соотв. Мз) на двусторонний идеал алгебры М, С помощью этих изоморфизмов М, и Мз отождествляются с двусторонними идеалами алгебры М. После этого К-модуль М становится прямой суммой подмодулей М, и М,. Обратно, пусть М вЂ” алгебра над К и М„ М, — двусторонние идеалы М, такие, что М является прямой суммой М, и М .

Имеем М,М,с: М, Д М, = (О); поэтому, если хо у, принадлежат М, и х„у, принадлежат Мм то (х, +х,)(у, + у,)=х!у!+х,ум так что М отождествляется с произведением алгебр М, Х М,. Каждый левый (соотв. правый, двусторонний) идеал алгебры М, является левым (соотв. правым, двусторонним) идеалом в М. Мы предлагаем читателю позаботиться о формулировке аналогичных результатов в случае произвольного конечного семейства алгебр. Пусть М вЂ” алгебра над К, и предположим, что К-модуль М допускает базис (а„)„.

Для любых Х, 1! из ь' существует, н притом единственная, система (ухян)кь м м схсхс элементов из К, такая, что а„а„= л., у~„,а,. Элементы у„„, называются струч ктурными константами алгебры М в базисе (ах), Пусть М вЂ” алгебра над К, Кс — коммутативное кольцо с единицей, а р — гомоморфизм кольца К, в К, переводящи!1 единицу в единицу. В этом случае М можно рассматривать как алгебру над Кы полагая а. х = р(а). х для а ен К,, х ~ М. В частности, это так, если в качестве Ка взять подкольцо кольца К, содержащее единицу, а в качестве р — тождественное отображение КО в К Пусть М вЂ” алгебра над К, К, — коммутатнвное кольцо с единицей, а в — гомоморфизм К в К!, переводящий единицу в единицу. г $ Ь ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБР ЛИ 9 Пусть М~к,, ы = М<кв есть К,-модуль, получающийся нз М расширением кольца скаляров до К, (Алг., гл.

П1, приложение П, п' 1О). Умножение в М канонически определяет К,-билинейное отображение М~квХМ~кв в М~ке(Алг., гл. 1Х, $ 1, п'4) так, что М~квоказывается наделенным структурой алгебры над К, (про которую говорят, что она получается из М расширением кольца скаляров до К,). В частности, это так, если К вЂ” подкольцо кольца К„ содержащее единичный элемент, и о — тождественное отображение Кв КР 2.

Алгебры Ли Опэеделение 1. Алгебра й над К называется алгеброй Ли над К, если умножение в ней (обозначаемое через (х, у) Р [х, у]1 удовлетворяет тождествам [х, х)=0, (!) [х, [у, г] ] + [у, [г, х) ] + [г, [х, у] ! = О, (2) где х, у, г — элементы из й. Произведение [х, у] называется коммутатором (иногда — скобкой) х и у. Тождество (2) называется тождеством Якоби. Коммутатор [х, у] является билинейной знакопеременной функцией элементов х, у. Это означает, что [х, у]= — [у, х), (3) так что тождество Якоби можно записать в виде [х, [у, г]] = [[х, у], г)+[у, [х, г]]. (4) Любая подалгебра и факторалгебра алгебры Ли сами являются алгебрами Ли.

Произведение алгебр Ли также является алгеброй Ли. Если й — алгебра Ли, то и алгебра йь, ей противопо[ ложная, — снова алгебра Ли, а отображение х — х есть изоморфизм й на йь в силу тождества (3). Пример 1. Пусть Š— ассоциативная алгебра над К. Коммутатор [х, у) =ху — ух является билинейной функцией х и у. Легко проверить, что умножение в К-модуле Е, задаваемое правилом (х, у)~-Р[х, у), превращает Е в алгебру Ли над К. Пример 2. В примере ! выберем в качестве алгебры Е алгебру эндоморфизмов К-модуля Е.

Тогда мы получим алгебру Ли эндоморфизмов модуля Е, обозначаемую через й!(Е), (Если Е=К", то вместо й!(Е) употребляется обозначение й!(и, К).) Любая подалгебра Ли алгебры й!(Е) есть алгебра Ли над К. В частности: гл. ь ллгевгы ли (Еп, Еы)=0, если 1'~й и 1Ф1, (Епо Еп) =Еи„если (чь1, (Еи Еь1) = — Еьб если 1чьй, (Есц Еп) =Еи — Е (5У Символом 1(и, К) (соотв.