Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 5

е. отображение й/(! в УЯ получается из о посредством факторизации. .Ф. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли, лротивоиояожной и данной Пусть й — алгебра Ли над К, йв — противоположная к ией алгебра, о и оэ — канонические отображения алгебр й и й' в их универсальные обертывающие алгебры У и Р. В этом случае о является а-отображением алгебры Ли йэ в ассоциативную алгебру УБ, противоположную к ассоциативной алгебре У. Следовательно, существует, и притом только один„гомоморфизм ф алгебры Р' в алгебру УБ, переводящий 1 в 1 и такой, что о =%О ос. ПРедложеиие 4.

Гомоморфизм !р является изоморфизмом алгебры )' на 0Б. В самом деле, существует гомоморфизм ф' алгебры У в алгебру т'Б, переводящий 1 в 1 и такой, что о,=<р'оп. Можно рассматривать !р' как гомоморфизм алгебры УБ в Р'. Имеем ов — — !р'о!р оз и о=<ро<р'оп, откуда <р'о!р и !р !р' суть тождественные отображения алгебр т' и (!. Предложение доказано. Принято отождествлять У с УБ при помощи изоморфизма !р. В этом случае в, отождествляется с в. Тем самым установлено, что изоморфизм 8: х †; — х алгебры й на алгебру йз определяет изоморфизм о алгебры 1! на алгебру т' =Уз.

Этот изоморфизм можно рассматривать как аптиавтоморфизм алгебры О. Он называется главным антиавтоморфизмом алгебры У. Если х„ ..., х — элементы из й, то 4 (о (х!)... а (х„)) = 9 (о(х„))... О(в(х!)) =( — о(х„))... ( — о (х,))= =( — 1)" о.(х„) ... о(х,). (х) Х Симметрическая алгебра модуля Пусть т' есть К-модуль.

Его можно, причем единственным образом, рассматривать как коммутативную алгебру Ли. Универсальная обертывающая алгебра для Р' может быть тогда получена следующим образом. Пусть Т вЂ” тензорная алгебра модуля (т, а 1 — двусторонний идеал в Т, порожденный тензорами вида х 9 у — у !й! х (х~ У, уев 'т'). В качестве искомой .алгебры нужно взять факторалгебру 5= Т/!.

Б $ Х УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫБАЮШАЯ АЛГЕБРА АЛГЕБРЫ ЛИ Мы будем изучать в дальнейшем эту алгебру 5, называя ее симметрической алгеброй модуля У. Кратко приведем ее свойства, которые понадобятся нам в этой главе и доказательство которых тривиально. Пусть Т" — множество однородных тензоров степени и в Т. Имеем Т=(ТП Т2)Щ(Т() Т )6 ..., так что 5 является прямой суммой канонических образов 5" этих подмножеств Т". Элементы из 5" называются однородными элементами степени а. Имеем 52=К.

1, 5' отождествляется с У и 5"5РС:5"+Р. Алгебра 5 порождается 1 и 5'=У. Ясно, что любые два элемента из 5' перестанозочны, поэтому 5 коммутативна. Если У вЂ” свободный К-модуль с базисом (кь)А А, то канонический гомоморфизм )' алгебры многочленов К !ХА) на 5, который переводит 1 в! и ХА в хь для всех А ~ Л, является изоморфизмом. В самом деле, вследствие универсального свойства алгебры 5 (и' 1, предложение 1) существует гомоморфизм я алгебры 5 в К!ХА!А А, переводящий ! в ! и хА в Х„ для всех Л~ Л, так что ) и д — два взаимно обратных гомоморфизма.

Пусть 5'" с: Т" — множество однородных симметрических элементов (тензоров) порядка и (Алг., гл. П1, $6, и'1, определение 2). Если К вЂ” поле характеристики О, то 5'" и ! Д Т дополняют друг друга в Т". В самом деле, пусть (ЛА)А базис в У. Введем на Л полный порядок (Теор. АГнож., гл. П[, $2, и'3, теорема !).

Пусть ˄— множество неубывающих строк из и элементов множества Л. Для М=(АИ ..., Л„) ~Л„положим ! х~ уз,— — — 2 х, ОЭ...®х, РЯ6„ Элементы ум, где М ен Л„, составляют систему образующих векторного К-пространства 5'". В то же время их канонические образы в 5" образуют, как это следует из сказанного выше, базис в 5".

Поэтому (ум)м А является базисом дополнения к (ДТ" в Т" (Алг., гл. П, в 1, и'6, предложение 4), что и доказывает наше утверждение. Итак, если К вЂ” поле характеристики О, то ограничение на 5'" канонического отображения Т" — 5" является изоморфизмом пространства 5ГА на пространство 5 и обладает поэтому обратным изоморфизмом. Полученные таким образом для любого ГГ обратные изоморфизмы определяют канонический изоморфизм пространства 5 на пространство 5'= Х 5'" симметрических Р~О тензоров алгебры Т. ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ б.

Фильтрация универсалышй вбертывающей алгебры Пусть й — алгебра Ли над К, а Т вЂ” тензорная алгебра .К-модуля й. Пусть Тл — подмодуль модуля Т, образованный однородными тензорамн степени и, н Тл = ~ Т'. Имеем ТлсТлл и ! лл Т, = К. 1, Т, = (О) и Т„Тр с Т„+р. Пусть Ул — канонический образ Тл в универсальной обертывающей алгебре У алгебры й. Тогда У„сУлл„Уь — — К. 1, У ! — — (О) и УлУ сУ„+; можно поэтому говорить, что У есть алгебра, фильтрованная подпространствами У„ (Комм. алг., гл. П1, $2, п' 1); будем говорить, что элементы из Ул имеют фильтра!!ию (и, Пусть 6" есть К-модуль У„/У„ ! и 6 — прямая сумма К-модулей 6". Умножение на У определяет посредством факторизации билинейное отображение 6" Х 6 в 6л+ и, следовательно, билинейное отображение 6 Х 6 в 6, которое являетсч ассоциативным.

Таким образом, 6 оказывается наделенным структурой ассоциативной К-алгебры. Имеем 6"6 с: 6"+ . Говорят, что элементы из 6" имеют степень и. Полученная таким образом градуированная алгебра есть не что иное, как градуированная алгебра, ассоциированная с фильтрованной алгеброй У (Комм. алг., гл. П1, $2, п'3). Пусть ф„— произведение канонических К-линейных отображений Т" Ул 6". Так как Т" дополняет Тл, в Тл, то фл сюръективно. Отображения фл определяют К-линейное отображение ф модуля ~.

Т" = Т на ~ 6" = 6. л л Првдложвнив 5. Отображение ф модуля Т на 6 является гомоморфизмом алгебр, переводящим ! в 1 и аннулирующимся на двустороннем идеале, порожденном тензорами х Э у — у Э х (хеи5, уен й). Если !енТ" и !'ьн ТР, то ф(!)ф(!') =ф(!!') по определению умножения в 6. Поэтому ф является гомоморфизмом алгебр, и ясно, что ф(1)=1. Если х, у — элементы из й, то х ® у— — у Э х ~ Т' и канонический образ этого элемента в Уз равен каноническому образу элемента [х, у), а потому принадлежит У,.

Отсюда ф(х Э у — у Э х) = О, что и доказывает предложение. Пусть 5 — симметрическая алгебра К-модуля й и т — канонический гомоморфнзм Т на 3. Предложение 5 доказывает, что существует, и притом один, наноничеснии гомоморфнзм !ь алгебры о на алгебру 6,. переводящий ! в 1 н такой, что !р= селт. Имеем !ь(3")=ф(Тл)=6", Пусть тл — ограничение т на Т", а э х.

инивгрслльнля оввртывлющля ллгвьвл алгввгы ли йу ю„ — ограничение ю на 3", ф„ — каноническое отображение Т' в (1„ и 0„ — каноническое отображение (1„ на сг". Определение гомоморфизма ю„доказывает, что следующая диаграмма коммутатипнз: и„ еи и ,е, Т-' Ел Повдложвнив 6, Если кольцо К нетерово и если й — модуль конечного типа, то кольцо У является нетеровым слева и справа. В самом деле, 3 — алгебра конечного типа над К и поэтому является нетеровым кольцом (Комм.

алг., гл. П1, $ 2, и' !О, следствие 3 теоремы 2). Следовательно, кольцо 6, изоморфное факторкольцу кольца 5, является нетеровым. Поэтому У нетерово справа и слева (Комм. алг., гл. П1, $ 2, и' !О, замечание 2). Слвдствив. )Тредположим, что К является полем и что алгебра й конечномерна над К. Пусть 1,, ..., 1 — правые (соотв. левые) идеалы, имеющие конечную кораэмерность в У. Тогда ппомэведение этих идеалов 1,1,... 1 также является идеалом конечной коразмерности. Из индуктивных соображений (индукция по гп) достаточно рассмотреть случай двух идеалов, например правых.

Правый 11-модуль 1, порожден конечным числом элементов и„..., и (предложение 6). Пусть оы ..., ое — элементы из У, чьи классы по модулю 1, порождают векторное пространство (111з. Тогда канонические образы элементов иго) в 1,1111т порождают это векторное пространство и, следовательно, оно является конечномериым. Поэтому б(щ»((1111)=йпг»((1/1)+бнп»(1/11з) <+ оо, Замечание. Пусть й' — другая алгебра Ли иад кольцом К, У' — ее уииверсальиая обертывающая алгебра, ӄ— множество ее элементов с фильтрацией ~л, У" (соотв.

У'") — множество иаиоиичесхих образов в У (соотв. У') одиородиых симметрических теизоров степени и алгебры й (соотв. з ). Пусть г) — гомоморфизм й в ((' и ч — соответствующий гомоморфизм У в У . Имеем ч(У„) сУ„, й(У") У В частности, главный аитиавтоморфизм алгебры У оставляет аа месте Уя и У". Далее, К-лииейиое отображение т" иа себя, переводящее к~ Я к, ф ... ~9 х„в ке ~9 к„-, ® ...

® к1 дли любых к„..., х из й, является оператором симметрии и, следовательно, оставляет' ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ на месте все симметрические тензоры степени и. Поэтому главный внтинвтоморфизм плгеГ>ры у индуцирует в каждом ул гомотетин> с коэффициентом (-1)". г. Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта Теоремд 1. Пусть й есть К-алгебра Ли, У вЂ” ее универсальная обертывающая алгебра, 6 — градуированная алгебра, ассоциированная с фильтрованной алгеброй У, и Я вЂ” симметрическая алгебра К-модуля й. Если й — свободный К-модуль, Го каноническое отображение ас 5- П язляется изоморфизмом.

В самом деле, пусть (х„), — базис К-модуля й; введем на Л отношение полного порядка (Теор. множ., гл. П1, $2, п'3, теорема 1). Пусть Р— алгебра многочлеиов К(зА)А А от переменных гы находящихся во взаимно однозначном соответствии с ХА. Для каждой последовательности М вЂ” (А„А„>, А„) элементов из Л символом гм будем обозначать одночлен >ен,г„,...гк„, а символом хм — элемент тензорной алгебры х,,Эх,,Э ... Эхь„. Элементы гм с неубывающими М образуют базис К-модуля Р (условимся, что Я вЂ” неубывающая последовательность н что яо — — 1).