Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 11

Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли является нулевой. В самом деле, для любых элементов х, у нильпотентной алгебры Ли эндоморфизм айхо ай у нильпотентен и поэтому имеет нулевой след. ,Првдложвнив 2. Подалгебра, факторалгебра и центральное расширение нильпотентной алгебрьг Ли нильпотентны. Произведение конечного числа нильпотентных алгебр Ли является нильпотентной алгеброй Ли.

Пусть д — алгебра Ли„д' — ее подалгебра, () — ее идеал, 1= д/1) и ф — каноническое отображение 6 на Если 6 нильпотентна, то У~д = (О) для целого й, откуда %'~6'сдай=(0) и У"(=ф(1р~д)=(0), т. е. 6' и 1 нильпотентны. Если 1 нильпотентна и 5 содержится в центаве д, то 9~1=(0) для целого й, откуда Жьдс() и поэтому У +'де=Я. 6)=(0), так что 6 нильпотентна. Наконец, утверждение о произведениях следует, например, из утверждения а) =)р г) предложения 1.

52 ГЛ. з, АЛГЕБРЫ ЛИ Предложение 2 и определение ! показывают, что нильпотентные алгебры Ли — вто в точности те алгебры, которые получаютсн в результате конечного числа центральных расширений коммутатнвных алгебр Лв. П~едложение 3, Пусть й — нилвпотентная алгебра Ли, ໠— ее подалгебра, отличная от й. Тогда нормализатор» в й отличен от», Пусть й — наибольшее целое число, такое, что Фй+» Ф».

Тогда [йу»й+», »[с=1у»+'й+»~ », поэтому нормализатор» в й содержит У'й+». л. Теорема Энгеля Лемма 1. Пусть 1'.— векторное пространство над К. Если х — нильпотентный эндоморфизм на )г, то отображение у ь [х, у[ пространства Ы(т') в Ы(г') нильпотентно. В самом деле, если ! обозначает это отображение, то [ (у) является суммой членов вида ~х'ух!, где !+!=и. Если х»=О, то [т» '(у) =О для любого у. Теорем» 1 (Энгель).

Пусть )г — векторное пространство над К, й — конечномерная подалгебра в 31(т'), элементы которой являются нильпотентньчми эндоморфизмами на 1г. Если )г ~ (О), то существует элемент и ~ О в )г, такой, что х.и=О для любого хенй. Доказательство проводится индукцией по размерности и алгебры й. Теорема очевидна при п=О. Предположим, что она верна для всех алгебр размерности меньшей и. Пусть» — подалгебра в й размерности Гп(п. Если х~», то абзх отображает» в себя и индуцирует при факторизации эндоморфизм а(х) пространства й/». По лемме 1 абзх иильпотентен, откуда следует,- что и а(х) нильпотентен.

По предположению индукции существует ненулевой элемент в й(», который аннулируется всеми а(х), х~ ». Иначе говоря, существует уе й, уФ», такой, что [х, у[ен» для всех хин». Отсюда следует, что » — идеал в некоторой подалгебре размерности Гп + 1 алгебры й. Из доказанного выводим (последовательно, начиная с»=(О)), что й обладает идеалом» размерности п — 1.

Пусть а~2, аф». Снова используем предположение индукции: элементы и ен )г, такие, что х. и=О для всех хан», образуют ненулевое подпространство У пространства и'. Это подпространство устойчиво относительно а 5 3, и'5, предложение 5). Так как а — нильпотентный эндоморфизм иа т', то в У существует ненулевой элемент, который аннулируется а, а следовательно, и любым элементом из й.

53 $4. ННЛЬПОТЕНТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН Следствие 1. Для того чтобы некоторая алгебра 7и 3 была нильпотентной, необходимо и достаточно, чтобы для любого к~ а присоединенный зндоморфизм абх был нильпотентен. Условие необходимо (предложение 1). Предположим, что его достаточность доказана для алгебр Ли размерности ( п(п:~0), Пусть й — алгебра Ли размерности и, такая, что для любого х я й преобразование аб4х ннльпотентно.

Теорема 1, примененная к множеству адх (х ~ й), показывает, что центр с алгебры а не равен нулю. Итак, й является центральным расширением алгебры Ли я/с, которая нильпотентна по нашему предположению индукции. Остается применить предложение 2. Следствие 2. Пусть й — алгебра Ли, а () — ее идеал. Предположим, что (у1) нильпотентна и что для любого х ен й ограничение на () преобразования адх нильпотентно. Тогда й нильпотентна. Пусть х ен й. Так как аД нильпотентна, то существует целое число й, такое, что (аб х) (я) ~ ().

По условию существует целое й', такое, что (адх) (5) =(О). Поэтому (адх) + =(О). Следствие 2 теперь вытекает из следствия 1. Следствие 3. Пусть )т — векторное пространство и а — конечномерная подалгебра в 31(У), злементь4 которой являются нильпотентными эндоморфизмами на )т. Тогда 3 — нильпотентная алгебра Ли. Это немедленно вытекает из леммы 1 и следствия 1. Пример. Алгебра п(п, К) ($1, и'2, пример 2, 3') нильпотентна. 8. Наибольший идеал нильпотентности представления Лемма 2.

Пусть 3 — алгебра Ли, а — ее идеал, М вЂ” простой й-.иодуль. Если для любого хы е эндоморфизм хм нильпотентен, то хм=О. В самом деле, пусть У вЂ” надпространство в М, состоящее из Л4БЕМ, таких, что хч.п4=0 для любого хана. По теореме ! М Ф(0). С другой стороны, для любого уев а подпространство АГ устойчиво относительно ум 5 3, и' 5, предложение 5). Поэтому )ч' = М, что и требовалось доказать. Лемма 3.

Пусть 3 — алгебра 7и, а — ее идеал, М вЂ” некоторый й-модуль, конечномернь4й над К, и (М,)4<4 „— ряд Жордана — Гельдера й-модуля М. Следуюи(ие условия эквивалентны.' а) для любого хенв эндоморфизм хь, нильпотентен; ГЛ. К АЛГЕБРЫ ЛИ б) для любого х ен а эндоморфизм х„1 лежит в радикале ассоциативной алгебры А, порожденной 1 и всеми ум, где у~6; в) для любого хена выполняется хм (Мь) с: М„хи (М,) с: Мм ..., хи (М„,) с: М„. Если эти условия выполнены, Го идеал а ортогонален к й относительно билинейной формы, ассоциированной с й-модулем М.

б) =)» а). Так как А конечномерна над К, то ее радикал ннльпотентен (Алг„гл. Ъ'П1, $6, и'4, теорема 3), поэтому и все элементы этого радикала нильпотентны, а) ~ в). Каждый фактор Щ=М,/М1+, (0~1<и) есть простой й-модуль. Для каждого х ен а эндоморфизм хор который получается из хм взятием ограничения на М, и факторизацией, нильпотентен в силу а), а потому равен нулю в силу леммы 2; иначе говоря, хм(М,) с: М,чо в) =)ь б).

Предположим, что выполняется условие в); пусть х ен а и г я Л. Имеем г (М,) ~ М, (О ~(1 ~ (и), откуда следует, что аахм)" (М) =(0). Таким образом, Ахи — левый нильидеал в А и, значит, содержится в радикале Л (Ллг., гл. И11, $6, и' 3, следствие 3 теоремы 1). Наконец, предположим, что выполнены условия а), б), в). Пусть х Ф а и у ~ а. Только что мы убедились в том, что уихм нильпотентен. Значит, Тг(умхм)=0, что и доказывает последнее утверждение леммы. Пввдложвнив 4.

Пусть й — алгебра гуи, М вЂ” некоторый й-модуль, конечномерный над К, Л вЂ” ассоциативная алгебра, порожденная 1 и множеством х,и(хе= 3). а) Все идеалы а алгебры й, такие, что хи нильпотентен для любого кена, содержатся в одном из них, скажем, и. б) Идеал и является множеством элементов х ен й, таких, что хм принадлежит радикалу алгебры А. в) Пусть (М1)с~1<„— ряд Жордана — Гельдера й-модуля М; тогда и является также мноэхеством тех х ен й, для которых (х)м ри =0 пРи всех 1.

'У 1+! г) п оргогонален к й относительно билинейной формы, ассоциированной с р. Множество х ен й, таких, что хи принадлежит радикалу алгебры Л, является, очевидно, идеалом в й. Предложение, таким образом, немедленно следует из леммы 3. Опгеднлзннв 2. Идеал п иэ предложения 4 называется наибольшим идеалом нильпотентности й-модуля М или наиболь.шим идеалом нильпотентности соответствующего представления. т а НИЛЬПОТЕНТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ Понятно, что п содержит ядро этого представления.

Он У равен этому ядру в случае, когда М полупрост (предложение 4в)), но не в общем случае. Следует обратить вниманиена тот факт, что если для некоторого хен 9 эндоморфизм хат нильпотентен, то совсем не обязательно хан п. Отметим еще, что один частный случай леммы 3 дает следующий результат.

ПРедложение 5. Пусть К есть и-мгрног векторное пространство над К и 9 — подалггбра эУи алгебры 91()т), элементы которой являются нильпотентными эндоморфизмами пространства $'. Тогда существует убывающая цепочка надпространств )та, Уи ..., У„пространства 1' размерностей и, п — 1, ..., О,. таких, что х(1т,) с )т,+, для всгк хан 9 и 1=0, 1, ..., п — 1. й. гааибвльтиий нильпотептпый идеал алгебры Ли Пусть 9 — алгебра Ли, а — ее идеал. Для того чтобы а был ннльпотентным, необходимо и достаточно, чтобы для любого хани эндоморфизм ай, х был нильпотентным. Это условие, очевидно, достаточно; оно и необходимо, ибо если а нильпотентен и если х ее а, то ай,х нильпотентен и ада х отобРажает 9 в а, откуда следует, что ада х нильпотентен. Только что доказанное утверждение и предложение 4, примененное к присоединенному представлению 9, дают следующее ПРедложение 6. Пусть 9 — алгебра .7и, Š— подалгебра ассоциативной алгебры л:(9), порожденная 1 и всеми айех (х~й).

Пусть Я вЂ” радикал алгебры Е. а) Множество и элементов у ан 9, таких, что аб,у ан й,. является наибольшим нильпотгнтным идеалом в 9, б) Он ортогонален к 9 относительно формы Каллинги. Следует вомнить, что я/н мажет обладать ненулевыми нильио-. тентными идеалами. б.

Рисиаиргпиг поля сналяров ПУсть 9 есть К-алгебРа Ли, К~ — РасшиРение К и 9' = ащи Так как 9у"9'=(9т"9),кг то 9 нильпотентна тогда и только тогда, когда 9 нильпотентна. Пусть М является 9-модулем конечной размерности над К, п — наибольший идеал нильпотентности модуля М и М'=М, и Пусть (Мс)а<с<„— ряд Жордана — Гельдера 9-модуля М. Имеем х„(М,) с М +, для любого ю' и любого х ен и, откуда хм,((М,),к>) с(Мгю), для любого 1 и любого х'ене,, По-- ГЛ. Г. АЛГЕБРЫ ЛИ этому х', нильпотентен для х'~п,, так что н,, содержится в наибольшем идеале нильпотентности и' модуля М'. Убедимся, что если К, сепарабельно над К, то и'=и,, Пусть Š— ассо- циативная К-алгебра, порожденная ! и хм(лен й), Е' — ассо- циативная К-алгебра, порожденная ! и км (х'~ й'), Я и Я'— радикалы Е и Е'.

Алгебра Е' канонически отождествляется .с Е<кп. Имеем Р' = Й1кв (Алг., гл. т'П1, $7, и' 2, след- ютвие 2в) предложения 3). Если это так, то при у'~п' запил шем у'= ~ Х1уь где у, принадлежит й и Х, ~ К, линейно к ю независимы над К. Имеем ум'= ЕЛ;(уг)м, и ум ~)г"=гг1к,1. ~=! Значит, (у;)и ~Я и поэтому у, ~ и для всех 1 Отсюда выводим У' ПН П1К, И Пг С и,, В частности, если К, сепарабельно над К, то наибольший нильпотентный идеал йш 1 получается из наибольшего нильпо- 1КП тентного идеала й при расширении поля скаляров К до КР 5 5.