Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 12

Разрешимые алгебры Ли Напомним, что отныне К вЂ” поле характеристики нуль и что .все алгебры 7и предполагаются конечномерными над К'). 1. Определение разрешимых алгебр Ли Определение 1. Алгебра Ли й называется разрешимой, если я-й член производного ряда гс)ай равен нулю для достаточно большого я. Нильпотентная алгебра Ли разрешима. Предложение 1. Подалгебра и факторалгебра разрешимой алгебры Ли разрешимы. Любое расширение разрешимой алгебры Ли при помощи разрешимой само разрешимо. Конечное произведение разрешимых алгебр Ли разрешимо. Пусть й — алгебра Ли, й' — ее подалгебра, !) — идеал в й, 1=3/5 и ~р — каноническое отображение й на 1. Если й разрешима, то Ыьй=(0) для некоторого я, следовательно, Юй'с с.Ю'й=(0) и ЫА1=ф(Я'6)=0.

Поэтому й' и 1 разрешимы. Если (! и ! разрешимы, то существуют целые числа з,1, такие, что У'() = Я'1 = (О); тогда 1к1~3 с (), откуда 1кт+~й = й1' (й~й) с '1 Читатель обратит ннииание на то, что ограничение на характеристику ,полн К не используется и пунктах ! н 2 настопщего параграфа.

т Ь б. РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 57 с:Я'Ь=(0), и й разрешима. Последнее утверждение следует из второго индукцией по числу множителей. Пведложение 2. Пусть й — алгебра Ли. Следующие условия эквивалентны; а) й разреибима; б) существует убывающая последовательность 2 =Об:»й,:»...

... ~ й„= (0) идеалов алгебры й, таких, что алгебры й~/йб+, коммутативны (1=0, 1, ..., и — 1); в) существует убывающая последовательность ц=ц'~й',:»... ...:»ц'=(0) подалгебр в й, таких, что й,'+, — идеал в й', и й'/ц',, коммутативна (б'=О, 1, ..., р — 1); г) существует убывающая последовательность й = йбч ~ й,":»... ...:»й" (О) подалгебр й, таких, что й,"+, — идеал коразмер= ности 1 в й," (1 =0, 1, ..., д — 1). а) ~ б). Достаточно рассмотреть производный ряд алгебры й. б) ~ в). Очевидно.

в) ~ г). Предположим, что условие в) выполнено; тогда любое подпространство в О,', содержащее й',+Р есть идеал в й', откуда следует г). г) М а). Это следует из того, что расширение разрешимой алгебры при помощи разрешимой разрешимо. Примеры разрешимьбх алгебр Ли. 1. Пусть й — двумерное векторное пространство над К, (е„ еб) — базис в й. Существует, н притом только одно, билинейное кососимметрическое умножение (х, у) ~ [х, у1 на такое, что [еь еб) =е,.

Легко пРовеРить, что й таким обРазом наделяется структурой разрешимой алгебры Ли. Теперь пусть Ь некоммутативная двумерная алгебра Ли над К. Покажем, что Ь изоморфна й. Пусть (/о /б) — базис в $. Элемент [/ь /б] не равен нулю (иначе Ь была бы коммутативна) н, значит, порождает одномерное подпространство 1 алгебры Ь. Имеем [Ь, Ь) = 1, Пусть (ео е') †баз в Ь, такой, что е,'чн 1. Итак, (ео еб"[=Хе,' / -1 причем ЛФО.

Заменяя е~ на А еь видим, что можно предполагать 1=1, откуда и следует наше утверждение. И. Формулы (5) 5 1 показывают, что Я1(п, К)=п(п, К). Так как п(п, К) ннльпотентна и, следовательно, разрешима, то 1(п, К) разрешима. Отсюда следует, что 61(п, К) разрешима. В частности, Ь1(2, К) изоморфна алгебре из примера 1. 2. Радикал алгебры Ли Пусть а, Ь вЂ” два разрешимых идеала алгебры Ли й.

Алгебра (а+Ь)/Ь изоморфна а/(аПЬ) и, значит, разрешима, так же как и а + Ь, являющаяся расширением (а + Ь)/Ь при помощи Ь ГЛ, Е АЛГЕБРЫ ЛИ 4предложение 1). Отсюда следует, что максимальный разрешимый идеал в й содержит любой разрешимый идеал алгебры й, т. е, й обладает наибольшим разрешимым идеалом. Это оправдывает следующее Опгеделеиие 2. Радикалом алгебры Ли называется ее наибольший разрешимый идеал.

Пведложение 3. Радикал т алгебры Ли й есть наименьший идеал в й, такой, что радикал алгебрь1 61т равен нулю. Пусть а — идеал в й и ф — каноническое отображение й на й1а, Если радикал 61а равен нулю, то ф(т), являющийся разрешимым идеалом в ~/а, равен нулю, откуда тс: а. С другой стороны, прообраз ф (т') радикала т' алгебры й/т является, сотласнопредложению1, разрешимым идеалом в й и, следовательно, равен т; поэтому т'=(б). Пиедложение 4. Пусть йь ..., й„— алгебры Ли. Радшсал т произведения й, является произведением радикалов т; алгебр йн Произведение т' идеалов т, является разрешимым идеалом (предложение 1), откуда т'с=т.

Канонический образ т в й;— разрешимый идеал в й„а значит, содержится в тй следовательно, т с: т'. г 8. Нильпотентный радикал алгебры Ли Опгеделение 3. Пусть й — алгебра Ли. Нильпотентным радикалом алгебры й называется пересечение ядер ее неприводимых конечномерных представлений. Замечания. 1) Пусть 6 — нильпотентный радикал алгебры й. Так как любая убывающая цепочка надпространств в й стабилизируется, то существует конечное число неприводимых конечномерных представлений алгебры й, пересечение ядер которых равно 6.

Прямая сумма этих представлений полупроста и в качестве ядра имеет 6. Отсюда следует, что множество ядер неприводимых конечномерных полупростых представлений алгебры обладает наименьшим элементом, а именно 6. 2) Согласно предложению 4 в) из $4, и'3, 6 является также пересечением наибольших идеалов нильпотентности конечномерных представлений алгебры й. В частности, 6 содержится в наибольшем нильпотентном идеале алгебры й, вследствие чего является ее нильпотентным идеалом.

3) Любая линейная форма Х на й, обращающаяся в нуль на йбй, является неприводимым представлением (в пространстве Д) алгебры й, откуда Х(6) =(О). Поэтому 6 ~ ЖЬ. Кроме того, 6 со- г Ф к тьзгешимыв ьлгевгы ли ьэ держится в радикале т алгебры д согласно замечанию 2. Покажем теперь, что Ь=т()Яд. Лемма 1. Пусть У вЂ” конечномерное векторное пространство над К, д — подалгебра в д1(У), такая, что У вЂ” простой д-модуль, и а — коммутативный идеал в д. Тогда а()Ыд = (0).

Пусть 5 — подалгебра в Ы(У), порожденная 1 и а. Если Ь вЂ” идеал алгебры д, содержащийся в а и такой, что Тг Ьз =0 для всех Ь я Ь и всех зев 5, то, в частности, по определению 5 имеем Тг(Ь") =О при любом целом и ) О. Поэтому Ь вЂ” нильпотентный эндоморфизм (Алг., гл.

ЧП, $ б, п' б, следствие 4 предложения 13). В силу нильпотентности всех элементов из Ь имеем Ь=(0) ($4, и' 3, лемма 2). Применим это вначале к идеалу (д, а) алгебры д. Если хяд, аяа, зев 5, то Тг(х, а) з = Тг(хаз — ахз) =Тгх(аз — за) = О, поскольку аз = за. Стало быть, (д, а) =(0). Следовательно, элементы из д коммутируют с элементами из а, а, тем самым, и с элементами из 5. Если х, у — элементы из д и если з ен 5, то Тг(х, у) з = = Тг (хуз — ухе) = Тгх (уз — зу) = О, поскольку уз = зу. Взяв теперь в качестве Ь идеал йбд () а, получим, что йбд() а = (О). Твотвмл 1.

Пусть д — алгебра Ли, т — ее радикал, 6 — ее нильпотентный радикал. Тогда В=Яд()т. Мы уже знаем, что 6~Ы)д()т. Достаточно будет теперь только показать, что если р — простое конечномерное представление алгебры д, то р(Ыд()х) = (О). Пусть Ь вЂ” наименьшее целое положительное число„такое, что р(йр т)=(0); положим ь+~ т д'=р(д), а'=р(М'т); так как !6"т — идеал в д, то а' — идеал в д', этот идеал коммутативен, ибо р(М +'(т)) =(О). Если У— пространство представления р, то д' с: д1(У) и У вЂ” простой д'-модуль. Тогда р(Яд() Яг) с: Яд'() а'=(О).

Если предположить, что Ь>0, то йр'те=Яд, р(Я~т)=(0), что противоречило бы определению Ь. Поэтому Ф=О, т. е. р(Ыд()т)=(0). Слпдствив 1, Пусть д — разрешимая алгебра Ли, Нильпотентный радикал д равен Мд. Если р — неприводимое конечномерное представление алгебры д, то р(д) — коммутативная алгебра. Ассоциативная алгебра Т., порожденная 1 и р(д), является расширением конечной степени поля К.

Здесь т=д, откуда В=Яд. Поэтому р(Яд) =(0), что и доказывает коммутативность д'=р(д). Каждый элемент чьО из 1. обратим по лемме Шура; значит, Т. — поле. Слвдствив 2 (теорема Ли); Пусть д — разрешимая алгебра Ли; предположим, что поле К алгебраически замкнуто. Пусть М. во ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ некоторый а-модуль, конечномерный над К, и (М1),, — ряд Жордана — Гельдера модуля М. Тогда М1 1/М1 одномерен над К для 1(1'<«, и для любого хенй имеем хм,,1м,=Л1(х).1, где А1 — линейная форма на й, нулевая на м)й.

В частности, любой простой конечнамерный й-модуль является на самом деле одномерным. Пусть р1 — представление й в М1 1/М1. Ассоциативная алгебра Ь1, порожденная элементами 1 и р,(й), есть поле конечной степенн над К, равное, следовательно, К. Далее, М1 1(М1— простой Ь;модуль, откуда б(птМ1 1/М1 =1. Остальная часть следствия очевидна. Замечания.

1) Если заменить (М1) , , другим рядом Жордана — Гельдера модуля М, то последовательность (А„ ..., А,) заменится последовательностью вида (3,„<1И ..., !о„ и~), где ив перестановка (1, ..., «), что следует из теоремы Жордана— Гельдера. 2) Пусть (е„..., е,) — базис в М, такой, что е1 ~ М1 „ е1Ф М, (1(1» («). Если хек й, то эндоморфизм на М, соответствую1ций х, представим в этом базисе треугольной матрнцей с диагональными элементами, равными А1(х), ..., х,(х).

Слвдствиа 3. Предположим, что К алгебраически замкнута. Если й.— разрешимая «-мерная алгебра, то любой ее идеал является членом убывающего ряда идеалов размерностей «, « — 1, ..., О. В самом деле, любой идеал входит в некоторый ряд Жордана — Гельдера алгебры й, рассматриваемой как пространство присоединенного представления (Алг., гл. 1, 5 6, и' 14, следствие теоремы 8); остается применить следствие 2. Слвдствин 4. Предположим, что К =К. Пусть й — разреши-' мая алгебра Ли.