С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 7

г=! ! ! Дифференцируя (П 15) по Л и приравнивая производную нулю, получим уравнение л л — — х! = О, ! ! откуда находим оценку Л* параметраХ: Продифференцируем (П,18) по и и па л а(. 2 ъ~ — = — д (х! — «1) = О. дт 2ае Д~ ! (И.19) (И. 20) и 1 %( л — — д (х! — т)1 аа 1=! Так как 1/(2 оа) а?0, имеем и ! %.! л — — Д„(х! — т)е = О, Ф 1-! откуда находим оценку Ф; и ~ (х! — х) 1=! хам л (И.2!) 3. Опенка математического ожидания н дисперсия. Метод максимального правдоподобия всегда приводит к состоятельным, хотя иногда и смещенным оценкам, имеющим наименьшую возможную дисперсию при неограниченном возрастании объема выборки.

Для нормально распределенной случайной величины получают оценки следующего вида; среднее арифметическое х для математического ожидания т„ л х= ~ х!/л 1=! и выборочную дисперсию У для дисперсии Р(Х) .! = ~яр ~(х! — х) /л. '1 1=1 Так как 1/па 710, из (П.19) имеем ч)„(х,— т) =О,откуда находим оценку ! 1 х для параметра т: ! %~ — х!. л Д Дифференцируя функцию правдоподобия по па, получим д!. л ! ! — = — — — + — д (х! — т)'=О, а* = 2 2(аа)е,(о( ! ! (И.22) ?-5?о 32 33 и «л ! %1 ( (х. т, а') = 1в — = — — !и 2а — — !в аа — — „'~ (х — т)е (И рд) аи 2 2 2аа Д( ! ! Последняя оценка получается несколько смещенной. М(Р) = —" /3(Х).

л (11.23) легко вытекающая из п ~~ (х! — х) 1.=-! и — 7~ ( х; — 2х!х + хх) =- и — 1 = — [( х! — 2х,х+ х') + ( хз з— 2ххх+ хх)+ .. + — 2х (х,+ хх+ ° + хп)+ (х'+ хх+ + х )) = =А х! ~. х! ! п и' -А Преимущество формулы (П.25) в том, что в ней нет операций вычитания близких чисел, как в формуле (11.23), что приводит к потере точности В формуле (П,25) эта операция применяется только один раз Среднее и дисперсию выборки по сгруппированным данным табл 1 вычисляют по формулам (11.26) х= — и;х* = д р*х', п,б~~„( ! „4~~,( ! ! ' Для получения несмещенной оценки Ф, надо умножить на пДп — ): и ~ЧЗ (х — х) 1(п — 1).

(!1.23) 1=! Уменьшение знаменателя в (П.23) на единицу непосредственно связано с тем, что величина х, относительно которой берутся отклонения, сама зависит от элементов выборки Каждая величина, зависящая от элементов выборки и входящая в формулу выборочной дисперсии, называется свхзью.

Можно доказать, что знаменатель выборочной дисперсии всегда равен разности между объемом выборки и и числом связей 1, наложенных на эту выборку. Эа разность (=а — ! (П.24) называется числом с!нелепей свободы выборки, В практических вычислениях для дисперсии Ф часто удобна формула х) — —:= ~~(х. — х) р* —— !'=1 (11.

27) в и1( х и — 1 хбв!о Величина Ьхг'12 называегся поправкой Шеппарда, она связана со смещением дисперсии при группировании 4. Классификация ошибок измерения, Каждый результат измерения— случайная величина Отклонение реального результата от истинного называется ошибкой наблюдении Ошибка наблюдения также есть случайная величина — она является результатом действия только случайных (неучитываемых) факторов. Если обозначить истинный результат чере! а, ошибку — через ЛХ, результат измерения — через Х, го (11.23) Х вЂ” а=аХ. Различают ошибки трех видов 1 Грубые ошибки возникают вследствие нарушения основных условий измерения, Результат, содержащий грубую ошибку, резко огличаегся по величине от остальных измерений.

На этом основаны некоторые критерии исключения грубых ошибок, 2 Систематические ошибки посзоянны во всей серии измерений или изменяются по определенному закону, Выявление их требует специальных исследований, но как только систематические ошибки обнаружены, они могут быть легко устранены введением соответствующих поправок в результаты измерения 3. Случаиные ошибки — ошибки измерения, остающиеся после устранения всех выявленных грубых и систематических ошибок При ~аком определении к случайным факторам, порождающим случайную ошибку, не относят факторы с постоянным действием (систематические ошибки) и факторы с однократным, но очень сильным действием (грубые ошибки), Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффекты действия которых с голь незначительны, что их нельзя выделить в отдельности (при данном уровне техники измерения), При этом распределение случайных ошибок симметрично относительно нуля. ошибки, противоположные по знаку но равные по абсолютной величине, встречаются одинаково час~о Из симметрии распределения ошибок следует, что истинный результат наблюдения есть математическое ожиданис соответствующей случайной величины Так как из (П 28) Х= а+!зХ и при отсутствии грубых и систематических ошибок (!!.23) м [лх[ = о, М[Х)= .

то (11.30) (П.ВП 35 В дальнейшем будут рзссматриваться только случайные ошибки измерений. 5. Закон сложения ошибок. Для независимых случайных величин свойством аддитивности обладают дисперсии, а не среднеквадратичные ошибки, Если Хн Х,, ..., Մ— независимые случайные величины; аь а,,..., а„— неслучайные величины и 2 == а,Х, + ахХп+, + а„Х„, этом равно )весла = л (ш — '1).

(1!.41) И окончательно л гл лй (У!« У!) 81(2(,(гзя )! +(а+ +1« (11.42) (11.ЗВ) ~й (У!« — у!) 2; (ш! — 1) "=' г=! — гл! — ! л а (т; — 1) з! г=- ! ~и лп — л г=! ~~~; лн — л г=! л 2~! ас,'~ (У!« — У!) г=! «=! (п.зв) л и! — 3 г=! «=! « 1) л,а зг л ~3~ а! (11.40) л (ш 1)( з! + я+ ''' +з«) г=! засслр л (ш — 1) тл — л 5! (гл! — !) = 38 39 равно у; -и! — 1, !я=та — 1, ..., Х„-ш„— 1. Обшая дисперсия воспроиз- водимости всех опьпов буде~ равна средневзвешенному значению част- ных дисперсий (в качестве весов берутся степени свободы); (т,— 1)за+(т,— 1) за +. +(ш„— 1)аз (п.зу) ш! +ма+ ' ' + "зв Число степеней свободы обшей дисперсии равно общему числу измерений минус число связей, использованных для определения л средних; л (вослр = Шз +в!а+ ' +ш« — Л = ~ ш! — и ° г ! Учитывая, что частные дисперсии определяются по результатам параллельных опытов по формуле Х (Уш — У!)' а «=! 5! = ! = 1, 2, ..., л, т; — 1 из (11,37) имеем (ш,— 1)з!+(шв — 1)за (- ., ! (ш П з восор шг+ша+ .

+т„— л Если число параллельных опытов при анализе каждой пробы одинаково гл! -тля —...=лг„-т, формулы для расчета дисперсии воспроизводимости упрощаются. При этом Таким образом, при равном числе параллельных опьпов общая дисперсия воспроизводимости равна среднеарифметическому значению частных дисперсий Число степеней свободы общей дисперсии при а г=! «=! л (гл — !) Число степеней свободы у общей дисперсии воспроизводимости, определяемой по формулам (1139) и (11.42), гораздо больше, чем у каждой частной дисперсии в отдельности, Поэтому общая дисперсия воспроизводимости намного точнее оценивает дисперсию генеральной совокупности оя При вычислении дисперсии воспроизводимости по текущим измерениям объединяют между собой только те пробы, которые можно рассматривать как выборки из генеральных совокупностей с равными дисперсиями, При этом каждое из значений Ф, за, ..., У„МожнО раесматривать как оценку одной и той же генеральной дисперсии, ПРимеР 3.

РезУльтаты опРеделениЯ концентРации (и) Рзоа в системе (ННг>гНРΠ— Касоа — Нко колориме гриве««им методом приведены в таблиде Определить ошибку колориметрического метода ло текущим измерениям Р е ш е н и е По данным таблицы вычислим .ггз по формуле Для вычисления обшеи дисперсии ло формуле (Н,зу) понадобятся слагаемые вида Для первои пробы имеем (т! — !) в — — 2236,49 — — = 0,62.

в 6707,6! 3 Аналогично Рля 1) ~~= 0,08! (лгв — !) Рз= 0,6!! (пза — !) ~а= 1,68; (ть — 1) Рь — — 1,806; (ть — !) г~ — — 1,О1; (т, — !) Ят= О,!4: ( — О Я = 0,046. Число степенен свободы общеи дисперсии воспроизводимости равно в а /восвр= ~ЧР~ /! = ~ зл! — 8=22 — 8= 14. з=! з=! И дисперсия воспроюводнмости а — — = 0,4279. /воспр !4 е 3 воспр Ошибка колориметрнческого метода, определенная по текущим измерениям, равна авоопр = ф~ ав = )У 0,4279 = 0,664. (П, ЛЗ) Р ( ( ае — а ) ~ ьа) = В. При этом диапазон практически возможных значений ошибки, возни- кающей при замене а на а', будет ~ са, большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью р=1 — В, (1! . 44) называемой уровнем значимости Уровень значимости часто выражают в процентах. Иначе выражение (П43) может быть интерпретировано как вероятность того, что истинное значение параметра а лежит в пре- делах (П.46) а' — к ~ а ~ ае дг ер В 8.

Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Выборочные параметры являются случайными величинами, их отклонения от генеральных (погрешности) также будут случайными Оценка этих отклонений носит вероятностный характер — можно лишь указать вероят. ность той или иной погрешности, Для этого в математической статистике пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями, Пусть для генерального параметра а получена из опыта несмещенная оценка а*, Нужно оценить возможную при этом ошибку.

Назначим достаточно большую вероятность (З вЂ” такую, что событие с вероятностью )) можно считать практически достоверным, и найдем такое значение с -/( В )- ср, для которого (П. 46) Таким образом, если бы был известен закон распределения оценки а', задача определения доверительного интервала решалась бы просто, Рассмотрим в качестве такого примера построение довери. тельного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х с известным генеральным стандартом, равным а„. Пусть имеется выборка объема и значений этой случайной величины. Наилучшей оценкой для т, является среднее выборки х: к! з=! к=— л Для построения доверигельного интервала необходимо знать распределение этой оценки Для выборок из генеральной совокупности, распределенной нормально, можно показать (например, используя свойство линейности нормального распределения), что х также имеег нормальнос распределение с математическим ожиданисм т„и средним квадратическим отклонением ок — о,/т/л Тогда, используя функцию Лапласа согласно (1.68), получим Р (1 к — зпк! с ар) = В = 2Ф (П.