С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 9

Для этого односторонний критерий надо выводить из двустороннего, соответствующего вдвое большему уровню значимости, чем тот, что приняз. Чтобы сохранить для одностороннего кризерия уровень значимости р= 0,05, для двустороннего необходимо взять р-0,10, что дает критические значения Оьрв и О м Из этих критических 44 х — т„ У«. 3 'и (11. 53) Плотность вероятности ее имеет вид Е(1) =, ~1+ — ), — ьь (((+во, (11.54) )у.)),() ~ где Г()) — гамма-функция; т" — число степеней свободы выборки Если дисперсия ~ и среднее х определяются по одной и тои же выборке, то у'- « — 1. Таким обраюм, распределение Стьюдента зависит только от числа с~слепей свободы у; с которым была определена выборочная дисперсия (рис. 17), На рис 17 приведены графики плотности г-распределения для Г-1,у=5 и нормальная кривая, Кривые ьраспределения по своей форме напоминают нормальную кривую, но при малых у они медленнее сближаются с осью абсцисс при ~11 , При т" ~ дисперсия выборочная ~- оз поэтому распределение Сгьюдента сближается с нормальным; соответствует нормальному распределению, Вероятность того, что слУчайнаЯ величина попадет в некотоРый интеРвал (знз; О „,з), опРеделяется выражением Р( гтз ~1 ~1~ — взз) = 1 р = ь (11.(з5) 45 значении для одностороннего критерия останется какое-нибудь одно, например О,яь Уровень значиьюсти для одностороннего критерия равен при этом 0,05.

Этому же уровню значимости для двустороннего критерия соответствует критическое значение Ооазь Но Оовь< О „,, значит, при одностороннем критерии большее число гипотез будет отвергнуто и, следовательно, меньше будет ошибка второго рода, 10. Оценка математического ожидания иор;мальке распределенной случаиией величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений, Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оцени гь матемагическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см, гл, П.

3). Генеральную дисперсию оз нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии ~, Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки «На практике эту погрешность не учитывают при «>50 и в формуле' (П.49) для доверительного интервала генеральный парамегр о„заменяют выборочным стандартом, В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение При небольших объемах выборок для построения доверительного интервала математического ожидания используют распределение Стьюдента, или г-распределение.

Распределение Стьюдента имеет случайная величина г; Р/2 1 — Р12 (11.56) т т О,!5 + 0,03 . 2,35/4 = О,!676. « — гл х — 1 и (П. 57) — /рл, хът„+ 1, р зх/Ул . х ч. 99 — 4,30 . 0,5/ф' 3 = 97,76, если ,к — т — "уп 5 х (П.59) оценка для ! снизу имеет вид «~т — 1, а/1 и, «» 99 — 2,92 ° 0,5/~ 3 = 98,16. 1~ — 1 1 — рг или (11.00) 3 < «+ х — ! — Р (П.б!) и снизу: я из ах х — 1 — р (П.

62) Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, поэтому Учитывая симметрию 1-распределения, часто пользуются обозначением ! г, гдеу' — число степеней свободы, а р — вероятность того, что ! находится -Ю-2-1 0 ! 2 3 4 за пределами интервала(1„„, 1, „). Подставляя в (П,56) выражение (П.53) для 1, получим неравенство откуда после преобразований получим зх « — — ! тт ~«+— ! — Р12 — ! я!2 ' у л рп Значения квантилей 1, р,для различных чисел сгепенгй свободы / и уровней значимости р прйведены в табл 3 приложения. В некоторых задачах требуется найти одностороннюю оценку математического ожидания, т, е, оценку только сверху или:ольке снизу При доверительной вероятности !1 =1 — р оценка для случайной величины 1 сверху имеет вид к — гп рл~ Из неравенств (ПД9) и (П.60) получим односторонние доверительные оценки для математического ожидания сверху: Првмер 4. Вредной примесью в кормовых фосфатах является фтор Необходимо нанти возможный веркний предел содержания фтора а фосфатах по следуютнм результатам анализов в 100 кг готового продукта (Г, !): 0,18; 0,12; 0,13; 0,15.

Доверительная веро ягность 8-0,95 Решение. Обозначим через Х результат анализа содержания фтора в 100 к! кормовых фосфатов. Среднее содержание фтора по четырем параллельным определениям равно «-0,15% Ошибка воспроизводимости зх 0,03%. Число степеней свободы ошибки воспроизводимости равно 3.

Для определения возможного верхнего предела содержания фтора в готовом продукте (ю ) воспользуемся формулои (ПД1) При 8-0,95 и у"-3 по табл, 3 приложения для 2р -О,!О имеем га,ю-2,35. Отсюда Пример 5, Диаммонийфосфат кч.д.аш должен содержал не менее 99/, основного естества, Требуется проверить гипотезу статистической значимости различия между паспортными данными и следуютими результатами трех определений содержания диаммонийфосфата в реактиве: 98,3; 97,3; 97,8%. Р е ш е н и е, Обозначим через Х результат анализа, Среднее значение трех парал.

лельных измерений равно «-978%. Ошибка воспроизводимости г„равна 05%, Число степенен свободы ошибки воспроизводимости У-2, В качестве нулевой гипотезы рассмотрим гипотезу Ид. т -99%, т,е. исследуемый реактив доброкачественный. Альтернативная гипотеза Й ах зь99%. Используя распределение Стьюдеита, определим вначале критическую область прн двустороннем критерии. При 8-095 р -005 и квантиль г!-Ргз— 4,30 при 1 2 !табл. 3 приложения).

Критические значения нулевой гипотезы согласно (П.58) будут Физический смысл имеет только первое неравенство. Значение «-97,8 не попадает в зту критическую область, следовательно, двусторонний критерий не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу и считать реактив недоброкачс.

стаенным. По физическому смыслу задачи здесь можно применить односторонний критерии — днаммонийфосфат разлагается прн хранении на свету, поэтому выборочную опенку нужно сравнивать только с теми значениями, которые пеньи!е 99',!. При 8-095 ну-2 по табл. 3 приложения для 2р-010 имеем !ем-292. Критическое значение нулевои гипотезы Значение «97,8, меньше критического значения и следовательно, попадает в критическую область Таким образом односторонини критерий как более точный сумел прн тех же исходных данных выявить недоброкачественность реактива П. Опенка дисперсии иормадьно распределенной случайной величины.

Дисперсию генеральной совокупности оя нормально распределенной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки — выборочной дисперсии ~ Распределение выборочной дисперсии можно получить при помощи распределения Пирсона или х . распределения, Если имеется выборка л независимых наблюдений х!, х, ..., х, над нормально распределенной случайной величиной, то можно показать, что сумма 47 л х'=чь (~) (П.бз) ( кх х)2 х'=! 3 — ! = 0,73.

0,73 2 а 0,73 ° 6 6,0 х 0,103 0,24 С ог ~ 14,1, Хруг с« ~«! Ыг, 2 ь 2 (11. 66) в ~'~ (х! — х) ь=! Чь', (х! — к) в = в ух Уг2~. (1!.71) ь г ! л — ! *из (11 63) имеем «а = (ажгг ог (11.67) (11. 73) (11.68) 0,8ба ° 30 0 Вбь. 30 0,48 Свг» 1,!3. 2 (а~~ в„.м— Хг ! — р г !ьх 2 в г ' Х (11.70) Рис !8.

Плотность хх-распределе- ния 49 48 имеет распределение Хг с 7'-л — ! степенями свободы, Плотность Хг распределения зависит только от числа степеней свободы 7:. 1 2 хь 1 Р(Х) = 2172Г (П2) («а) 2 а 2, 0<«а<ее, (П.64) где Г(7) — гамма-функция, На рис, 18 приведены кривые плотности вероятности Хг-распределения при некоторых значениях Х Кривые асимметричны, степень асимметрии уменьшается с увеличением Х При доверительной вероятности () -1 — р двусторонняя доверительная оценка для Хг имеет вид односторонние оценки имеют вид Х ~«~1- « ~Х ° (11. 66) Квантили Хг при различных р и 7' приведены в табл 4 приложения Так как выбора ййая дисперсия а через элементы выборки определяется по формуле Подставляя (11,67) в (П,65), получим х 2 «,П » —,г ~Х! Решая неравенство относительно аг, ПОЛучим даверитсльные двУсто- ронние границы для генеральной дисперсии а2; Й )ь)2~!~ (11.

69) Х ! — руг Хруг Аналогично получаются односторон- ние доверительные оценки. Пример 6. Оценить ошибку воспроизводимости определен ия усвояемой Рооь в сложном удобрении сернокислотным методом по результатам трех параллельных опытов; 17,2. !6,3; 15,5. Р е ш е н и е. Выборочная оценка для дисперсии воспроизводимости равна Число степенен свободы дисперсии воспроизводимости У„-г, Задавшись довери. тельной вероятностью 0-090, по хабл 4 приложения при числе степеней свободы ь 'х ' у"-2 находим хаоь-60 и хо,ьь — О,!03 По формуле (П.69) определим двустороннюю доверительную оценку для дисперсии воспроизводимости.

Извлекая из всех частей неравенств квадратныи корень получим оценку для ошибки воспроизводимости 0,49» о„» 3,61. В связи с малым числом степеней свободы довс. ригельные границы получились резко асимметричными, С ростом числа степеней свободы асимметрия кривых распределения уменьшается, соответственно уменьшается и асимметрия доверительных границ Можно показать, что при л>30 выборочный стандарт х -распределен приближенно нормально с математическим ожиданием ш, — а и среднеквадратичной ошибкой Неизвестный генеральный стандарт в выражении (11.71) при л'Р 30 заменяют выборочным; оа ян а,у)l 2/ .

(11.72) В соответствии с (П.50) доверительные границы для генерального стандарта определяются неравенством а а х х з — — и, ~о ~а+ — и У2! У27 Пример 7. Оценить ошибку воспроизводимости о для выборки из 31 наблюдения с выборочным стандартом ь„ - 0,85. Доверительную вероятность 8 принять равной 0,9 Р е ш е н и е. Построим доверительный интервал для ошибки воспроизводимости, используя хх-распределение.